CPI1 - EIL-CO Calais - ULCO Analyse 1.2 D´ecembre 2016 - Contrˆole Continu, Semestre 1 Dur´ee de l’´epreuve : 1h30 Aucun document autoris´e. Calculatrice autoris´ee
Exercice 1 Soit la fonctionf d´efinie par f(x) =
|x|√ +x+ 1 si x≤1 x(x2+ 2) six >1 1. Montrer quef est continue sur R− {1}.
2. ´Etudier la continuit´e de f en 1.
3. En d´eduire la continuit´e de la fonctionf sur son ensemble de d´efinition.
Exercice 2
1. Rappeler les grandes lignes de
— la m´ethode de dichotomie,
— la m´ethode de la s´ecante,
— la m´ethode de Newton.
On consid`ere l’´equation (E) : x3+ 3x−2 = 0.
2. Justifier que (E) admet une unique solution α dans R. 3. Proposer un encadrement de α d’amplitude 10−3. Soient u etv deux r´eels.
4. D´emontrer que (u+v)3+ 3(u+v)−2 = u3+v3+ 3(uv+ 1)(u+v)−2.
5. En d´eduire que si u et v v´erifient le syst`eme
u3+v3 = 2
uv =−1 , alors u+v est solution de (E).
6. D´emontrer que, pour tous r´eelsu etv non nuls,
u3+v3 = 2 uv =−1 ⇔
( (u3)2−2u3−1 = 0 v =−1
u 7. R´esoudre dans R l’´equation (E0) :X2 −2X−1 = 0.
8. En d´eduire la valeur exacte deα.
Exercice 3 Trouver toutes les applicationsf :R? →Rtelles que :
∀x∈R?, f(x) + 3f 1
x
=x2.
Exercice 4 Soit la fonctionf d´efinie sur R par f(x) =
x2sin
1 x
si x6= 0 0 si x= 0
Montrer quef est continue sur R.
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