MAT124 Universit´e de Grenoble
2012-2013 Centre Drˆome-Ard`eche
Feuille d’exercices n
o3
Exercice 1 : Prolongement par continuit´e On d´efinit pour x >0 les fonctions
f(x) =e−1/x et g(x) = ln(1 + 2x)
x .
Montrer que ces fonctions sont prolongeables par continuit´e en x= 0.
Exercice 2 : D´erivation
Pour chaque fonction suivante, donner le domaine de d´efinition, le domaine de d´erivabilit´e ainsi que la d´eriv´ee de la fonction.
a(x) = 1+x1 2
b(x) = cos(2x) +ex+ 4 c(x) = cos(x)ex2
d(x) =√
2x2+ 4x
e(x) = cos(sin(cos(sin(x)))) f(x) = 1+xlnx
g(x) = (1 + 2x)3 h(x) = √tanx
1+x2
i(x) = arctan(x2)
Exercice 3 : tangentes
Donner les ´equations des tangentes en x = 1 des courbes des fonctions sui- vantes et d´eterminer quelle courbe cor- respond `a quelle fonction dans le gra- phique ci-contre.
f(x) = ln(√ x) g(x) = cos(πx) +x2 h(x) = esin(πx)−x
Exercice 4 : Raccords de classe C1
Pour les fonctions suivantes, ajuster les param`etres afin d’obtenir des fonctions de classe C1(R,R)
f(x) = √
1 +x si x≥0
ax+b sinon g(x) =
αx+ lnx si x≥1 β+ex sinon
Exercice 5 : Accroissements finis 1) Etablir les in´egalit´es suivantes :
i) |sinx−siny| ≤ |x−y| pour tous les xet y r´eels.
ii)√
1 +x−1≤x pour tout x≥0.
iii) |1x − 1y| ≤ |x−y| pour tous les x ety sup´erieurs ou ´egaux `a 1.
2) Soitn ∈N∗. Appliquer le th´eor`eme des accroissements finis `a la fonction lnxsur [n, n+1]
et montrer que ln(n+ 1)−ln(n)≤ 1n. En d´eduire que la somme Sn =
Xn
k=1
1
k = 1 +1 2 +1
3 +...+ 1 n tend vers +∞ quand n→+∞.
Exercice 6 : Minimisation
1) Soit f une fonction continue sur R. On suppose quef estcoercive, c’est-`a-dire quef(x) tend vers +∞quandxtend vers±∞. Montrer quef est minor´ee et atteint son minimum.
2) On suppose en outre que f ∈ C2(R,R) et que f est strictement convexe, c’est-`a-dire que f00(x) > 0 pour tout x ∈ R. Montrer que f0 est une fonction strictement croissante.
En utilisant l’´egalit´e des accroissements finis, montrer que la courbe de f est toujours strictement au-dessus de ses tangentes (sauf au point de tangence).
3) En d´eduire que sif est coercive et strictement convexe, elle atteint son minimum en un unique point x∗ ∈R.
