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PCSI concours blanc : juin 2021
Exercice 1 : Fauteuil d’unité dentaire : 1. Présentation :
Le support de l’étude est une «unité dentaire». Cet équipement a été conçu et réalisé dans le but d’une adaptabilité maximale aux différentes méthodes de travail des chirurgiens-dentistes tout en garantissant un confort optimal pour le patient.
L’objet de cette étude est de valider les solutions constructives retenues pour les réglages disponibles au niveau de la têtière et de l’assise du fauteuil.
2. Etude du réglage de la têtière :
Afin d’assurer un acte dans les meilleures conditions, le praticien doit placer la tête du patient dans une position bien adaptée.
Dans un premier temps, ce n’est pas le cas. A deux mains, le praticien tient la têtière sur laquelle repose la tête du patient et appuie sur un bouton qui commande le déblocage. Tant qu’il appuie, les pièces de ce sous ensemble sont mobiles entre elles. Il relâche le bouton quand il juge que la position de la tête de son patient est adéquate. Cette position est ensuite conservée. Le déblocage des liaisons est assuré par 2 petits vérins pneumatiques à simple effet.
Le mécanisme de réglage de la têtière est représenté figures 1 et 2.
Figure 1 : mécanisme de mise en position de la têtière
La modélisation de la liaison coulisseau (1) par rapport au dossier (0) est une liaison glissière de direction 𝑥⃗.
Assise Têtière
D E
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On se propose tout d'abord d’analyser les solutions techniques retenues pour la réalisation du mouvement de translation du coulisseau (1) par rapport au dossier (0). Cette liaison est détaillée sur la figure 2.On modélise les liaisons entre le dossier (0) et le coulisseau (1) en A, B, C et K par des linéaires annulaires (ou sphère-cylindre) d’axe (𝑀; 𝑥⃗) où M désigne, selon la liaison, les points A, B, C ou K. On notera L10M la liaison au point M. Pour simplifier l’étude, on supposera que les points A, K, C, B forment un parallélogramme avec AB = KC = a et AK = BC = b.
Q1. Représenter en couleur sur votre copie en respectant l’orientation de la figure 2, deux schémas cinématiques 3D de la chaîne de solides (0-1) tout d’abord pour la liaison équivalente L10, puis pour les 4 liaisons linéaires annulaires entre (1) et (0).
Q2. Déterminer analytiquement et en détaillant la méthode (graphe de liaisons, cas (parallèle, série,..), démarche) la liaison L’10 équivalente aux liaisons L10A et L10K entre le dossier (0) et le coulisseau (1).
On s’intéresse ensuite aux trois liaisons entre le dossier (0) et la têtière (3) (Voir figure 1). On indique que L10 est une glissière selon 𝑥⃗. Le cadre est repéré par (2). On fera l’hypothèse pour la question suivante que : 𝑢⃗⃗ // 𝑥⃗ et on posera pour cette question : 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑐. 𝑥⃗.
Q3. Déterminer analytiquement au point D et en détaillant la méthode (graphe de liaisons, cas, démarche) la liaison L30 équivalente aux liaisons L10 et L21 et L32 entre le dossier (0) et la têtière (3).
Q4. Représenter sur votre copie, en couleur et en respectant l’orientation de la figure 2, le schéma cinématique 3D de la liaison équivalente L30.
3. Etude mécanique de l’assise :
On s'intéresse ici au réglage en position verticale du patient.
Pour régler la position verticale du patient, le chirurgien-dentiste appuie sur une pédale, plus ou moins fort. Un moteur électrique se met en route, sa vitesse de rotation dépendant de l'appui plus ou moins profond du chirurgien-dentiste sur la pédale. La vitesse de rotation du moteur 𝜔𝑚(𝑡) est réduite par un réducteur à engrenages. Le réducteur à engrenages entraine une vis, dont la rotation 𝜔𝑣(𝑡)entraîne, par un système vis écrou, la translation de l’assise (support de siège) en hauteur.
Données numériques complémentaires :
• moteur électrique de vitesse maximale 𝑁𝑚= 1440 𝑡𝑟. 𝑚𝑖𝑛−1;
• réducteur à engrenages de rapport kR = 1/16 ;
• mécanisme vis-écrou de pas 𝑝𝑟 = 4 mm.
3/12 CB_ mai 2021_siege_dent 3.1. Structure globale :
La figure 3 ci-dessous, représente une vue en plan du mécanisme de guidage de l’assise (S2) et montre l’installation du vérin électromécanique actionnant la rotation du bras (S1).
Les schémas cinématiques ci-dessous représentent la disposition du mécanisme représenté sur la figure ci-dessus, avec la désignation des pièces suivante :
(0) Socle (3) Carter de moteur de montée/descente
(1) Bras supérieur (4) Vis
(2) Assise (5) Ecrou
(6) Bras inférieur
Nota : pour simplifier la schématisation, on a considéré 𝛼0= 0.
Q5. A partir de la figure 3.2, établir le graphe de liaisons du système de levage.
4/12 CB_ mai 2021_siege_dent 3.2. Paramétrage cinématique :
• Les différentes dimensions sont définies sur la figure 3.
• 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐿 ∙ 𝑥⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐷𝐸1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥 ∙ 𝑥⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐶𝑂3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑐 ∙ 𝑦⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐸𝐹2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑒. 𝑦⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐻𝐷1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑠. 𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ 0
• 𝛼0 = (𝑥⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑥0 ⃗⃗⃗⃗⃗) = (𝑦2 ⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑦0 ⃗⃗⃗⃗⃗) = 14°. 2
• y le paramètre d’élévation de l’assise, on pose : 𝑦 = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑦⃗⃗⃗⃗⃗. 0
• 𝜃1= (𝑥⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑥0 ⃗⃗⃗⃗⃗) = (𝑦1 ⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑦0 ⃗⃗⃗⃗⃗) pour la position angulaire de (1) par rapport à (0) ; 1
• Lorsque 𝜃1= 𝜃1𝑚𝑖𝑛 : 𝑦 = 𝑦𝑚𝑖𝑛 = 0 ;
• lorsque 𝜃1= 𝜃1𝑚𝑎𝑥 : 𝑦 = 𝑦𝑚𝑎𝑥= 457 𝑚𝑚 ;
• 𝜃3= (𝑥⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑥0 ⃗⃗⃗⃗⃗) = (𝑦3 ⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑦0 ⃗⃗⃗⃗⃗) pour la position angulaire de (3) par rapport à (0) ; 3
• x = DE pour la position axiale de l’écrou (5) par rapport à l’ensemble {vis 4- motoréducteur 3}.
3.3. Amplitude de levée de l’assise :
L’étude sera menée à partir de la figure 3.1 page précédente.
L’objectif de cette partie est de déterminer 𝜃1𝑚𝑎𝑥
Le fonctionnement impose une élévation de l’assise de :
∆𝑦 = 𝑦𝑚𝑎𝑥− 𝑦𝑚𝑖𝑛 = 457 𝑚𝑚.
Cette élévation est obtenue avec une inclinaison allant de 𝜃1𝑚𝑖𝑛= 0° (assise en position basse) à 𝜃1𝑚𝑎𝑥 (assise en position haute).
Q6. Etablir une relation entre ∆𝑦, 𝐿 et 𝜃1𝑚𝑎𝑥. Faire l’application numérique pour obtenir 𝜃1𝑚𝑎𝑥 en degré avec 2 chiffres significatifs.
3.4. Loi de levée de l’assise :
L’objectif de cette partie est d’établir par une étude géométrique de la chaîne fermée (0-1-5-4-3-0) schématisée figure 3.2, les relations entre les paramètres géométriques de mobilités 𝜃1 , 𝜃3 et 𝑥.
L’exploitation de ces relations permettra de déterminer la course du vérin électrique {3,4,5}, et le temps minimum pour faire varier la hauteur de l’assise entre ses positions extrêmes.
Le mouvement de rotation de la vis (4) par rapport au motoréducteur (3) provoque le mouvement de rotation du bras supérieur (1) par rapport au socle (0).
Q7. Ecrire la relation vectorielle traduisant du point de vue géométrique la fermeture de la chaîne de solides (0-1-5-4-3-0). Projeter cette relation dans la base 𝐵0(𝑥⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑦0 ⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑧⃗) 0 Q8. En déduire les expressions des fonctions telles que 𝑥 = 𝐹(𝜃1) et 𝜃3= 𝐺(𝜃1)
Pour la suite de l’étude, et quelle que soit l’expression obtenue, on considère :
• 𝑥 = √(𝑓 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃1+ 𝑒 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃1− 𝑠)2+ (𝑓 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃1− 𝑒 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃1+ ℎ)2
• 𝑡𝑎𝑛𝜃3=𝑓∙𝑠𝑖𝑛𝜃1−𝑒∙𝑐𝑜𝑠𝜃1+ℎ
𝑓∙𝑐𝑜𝑠𝜃1+𝑒∙𝑠𝑖𝑛𝜃1−𝑠
• Le fonctionnement impose une inclinaison allant de 𝜃1𝑚𝑖𝑛 = 0° (assise en position basse) à 𝜃1𝑚𝑎𝑥= 70° (assise en position haute).
Q9. Déterminer numériquement la course du vérin électrique ∆𝑥 en mm.
Pour la suite de l’étude on exploitera le graphe de la fonction F donné ci-dessous :
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Q10. Vérifier votre résultat précédent en exploitant le graphe (voir document réponse).Q11. Calculer ∆𝑡𝑟𝑣𝑖𝑠 puis moteur ∆𝑡𝑟𝑚𝑜𝑡𝑒𝑢𝑟 les nombres de tours que doivent effectuer la vis et le moteur pour obtenir une élévation totale (∆𝑦 = 457 𝑚𝑚).
On suppose que le moteur atteint immédiatement sa vitesse maximale.
Q12. En déduire ∆𝑡𝑙𝑒𝑣é𝑒 la durée minimale de levée totale de l’assise. Est-ce acceptable
?
Q13. Calculer 𝑣𝑙𝑒𝑣é𝑒la vitesse moyenne de levée en mm.s-1.
4. Etude de l’asservissement du mouvement de l’assise :
La chaine de transmission de puissance (hors système vis écrou) peut se représenter par le schéma blocs suivant (le composant de fonction de transfert C(p) est un correcteur) :
𝑈(𝑝), Ω𝑚(𝑝), Ω𝑣(𝑝) sont respectivement les transformées de Laplace de la tension de commande du moteur 𝑢(𝑡), la vitesse de rotation du moteur 𝜔𝑚(𝑡) et de la vitesse de rotation de la vis 𝜔𝑣(𝑡).
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L’objectif de cette partie est de modéliser l’asservissement en vitesse de rotation la vis, et d’en corriger son comportement.Q14. Déterminer le nom des composants qui réalisent les fonctions H(p) et G(p).
Q15. Exprimer la fonction de transfert en boucle fermée du système : ΩΩ𝑣(𝑝)
𝑐(𝑝) en fonction de C(p), H(p) et G(p).
Les équations de fonctionnement du moteur utilisé sont les suivantes :
• 𝑢(𝑡) = 𝑒(𝑡) + 𝑅. 𝑖(𝑡) + 𝐿.𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
• 𝑒(𝑡) = 𝑘𝑒. 𝜔𝑚(𝑡)
• 𝐽.𝑑𝜔𝑚(𝑡)
𝑑𝑡 = 𝐶𝑚(𝑡) − 𝑓. 𝜔𝑚(𝑡)
• 𝐶𝑚(𝑡) = 𝑘𝑚. 𝑖(𝑡)
Avec : u(t) : tension du moteur ; e(t) : force contre électromotrice du moteur ; i(t) : intensité dans le moteur ; Cm(t) : couple exercé par le moteur ; m(t) : vitesse angulaire du moteur. Les grandeurs physiques R, L, ke, J, f et km sont des constantes.
Q16. En supposant les conditions initiales nulles (ce qui sera également supposé dans tout le reste de l'exercice), exprimer ces équations dans le domaine de Laplace.
Q17. Monter que, dans le domaine de Laplace, le rapport entre Ωm(p) et U(p) peut s'écrire
2 2
1 1 2
) (
) (
p a p
K p
U p
n n m
+
+
=
où K, a et n sont trois constantes à déterminer.
Si on utilise un correcteur proportionnel, l'application numérique des grandeurs physiques permet de trouver la fonction suivante :
p T K p
p
t T c
v
= +
1 ) (
) (
Avec KT=0,9 et Tt=0,1 s.
Q18. Déterminer v(t) lorsque le chirurgien-dentiste demande un échelon de rotation
c(t)=c0 .u (t)1 . Exprimer le résultat en fonction de KT et Tt.
Q19. Déterminer 𝑡5% le temps de réponse à 5% du système, et effectuer l'application numérique, déterminer ensuite l'erreur statique s1.
Q20. Le patient, initialement immobile, se déplace verticalement selon le déplacement xv(t) tel que :
𝑑𝑥𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑝𝑟
2.𝜋. 𝜔𝑣(𝑡) (pr est le pas de la vis, 𝑝𝑟 = 4 mm).
Déterminer la transformée de Laplace Xv (p) de xv(t) en fonction de 𝑝𝑟, KT ,Tt et Ω𝑐(𝑝).
1 Ici u(t) représente la fonction de Heaviside : ℒ(𝑢(𝑡)) =1
𝑝
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On décide par la suite d’utiliser un correcteur Proportionnel, Dérivé et Intégral (correcteur PID), l'application numérique permet de trouver la fonction suivante :2 2
1 1 )
( ) (
p p p
p
c v
+
= +
Q21. Déterminer v(t) lorsque le chirurgien-dentiste demande un échelon de rotation
c(t)=c0 .u (t).
Q22. Déterminer si le temps de réponse à 5 % est plus faible ou plus grand que dans le cas précédent (voir abaque en fin de sujet). Calculer l'erreur statique s2, faire aussi la comparaison avec s1.
Q23. On Choisit d’optimiser les critères de précision s =0 et de rapidité t5%=0,3 s (pour a=0,7) en utilisant le dernier correcteur. Le système se mettra alors sous la forme suivante :
2 2
1 ) (
) (
p c p b
K p
p
c v
+
= +
Le chirurgien-dentiste demande un échelon de rotation c(t)=c0 .u (t)
Calculer les coefficients K2, b et c afin de respecter les critères précisés ci-dessus.
Le système ainsi calculé fait-il apparaître une résonance de pulsation 𝜔𝑟 ? Si oui, justifiez et calculez GdB(r).
Q24. Vérification de la stabilité.
Choisir parmi les paires de diagrammes de Bode tracés sur le document réponse, celle correspondant aux tracés du système obtenu.
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Exercice : Treuil de pont roulant.
I. Présentation :
Dans la galerie des machines de Nantes, certains « insectes » de grandes tailles, comme l’araignée mécanique,
sont animés de
mouvements pilotés par les visiteurs. Mais leur poids et, probablement, des raisons de sécurité
font que leur
positionnement dans le hall, horizontal et vertical, est réalisé par l’intermédiaire d’un pont roulant.
L’araignée est ainsi suspendue au pont roulant par une chaîne reliée à un treuil.
Le treuil est composé :
• d’un moteur électrique, dont La vitesse de rotation maximale du moteur est de Nm=3000 tr/min-1.
• d’un réducteur, dont la vitesse de rotation de sortie est notée Nr, le rapport de réduction 𝜔𝑟
𝜔𝑚= 𝑘.
Le modèle cinématique du réducteur est donné ci-contre. Son entrée se fait par l’arbre (1).
Remarque : les deux couronnes sont notées 0a et 0b. Elles font parties du même ensemble cinématique (i.e. le bâti 0).
• d’une poulie de diamètre d=15 cm.
Chaine cinématique
:𝜔𝑚
𝜔𝑟
𝜔𝑚 𝜔𝑟
Réducteur
Moteur Poulie
V
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II. Vérification d’un critère du cahier des charges :
Objectif : vérifier que la vitesse d’enroulement de la chaîne autour de la poulie peut atteindre V=0,6 m.s-1.
Q1. Calculer 𝜔𝑚 et préciser l’unité.
Etude du réducteur.
Q2. En prenant soin de suivre la méthode donnée en TD (Chaine basique, raison basique, formule de Willis) exprimer 𝑘1=𝜔3
𝜔1 le rapport de réduction de l’étage 1 en fonction des nombres de dents.
Q3. Par similitude avec la question précédente, exprimer 𝑘2=𝜔𝜔5
3. Q4. Exprimer 𝑘 = 𝜔𝑟
𝜔𝑚 en fonction des nombres de dents.
Q5. Compléter le tableau du document réponse.
Q6. Calculer k
Q7. Calculer V et vérifier qu’elle atteint au moins la valeur désirée.
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Annexe :
Exercice 1 : Fauteuil d’unité dentaire :
Q22. Abaque des temps de réponse :
Document réponse Exercice 1 : Fauteuil d’unité dentaire :
Q10. Vérification du résultat de la Q9 en exploitant le graphe
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Q24. Vérification de la stabilité.Diagrammes N°1 Diagrammes N°2
Diagrammes N°3 Diagrammes N°4
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Treuil de pont roulant.
Q5. Compléter le tableau :
