PCSI : DS N°8-Juin 2021

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PCSI : DS N°8-Juin 2021

Exercice 1 : Pelle de pelleteuse

On considère la pelle d’une pelleteuse constituée de 3 solides soudés les uns aux autres. Ces trois solides sont :

• Un demi-disque (dd1)

• Un corps ayant la forme d’un demi-tube (2)

• Un autre demi-disque (3) identique en tous points au demi-disque (dd1)

Etude d’une plaque demi-disque :

Dans cet exercice on se limitera seulement à l'étude du demi- disque (dd1). Ce demi disque est réalisé dans une plaque d’acier homogène de masse volumique . L’épaisseur ede cette plaque est constante.

Données :

• Rayon du demi-disque : R=0,4 m

• Masse volumique du demi-disque : =7.8 kgdm⁻³

• Epaisseur de la plaque :e=8 mm

• Accélération de la pesanteur :g g y 98 y



−

=



−

= . (m.s^-²)

• dS=rdrd

• O₁P r u



=

Q1. Déterminer le vecteur O₁G₁en projection dans le repère

(

)

, ,

; , représentant la position du point G1 centre d’inertie du demi-disque 1. Le point O1 est situé sur la face avant du demi-disque.

Q2. Exprimer littéralement la résultante et le moment en O1 du torseur représentant l’action mécanique de pesanteur s’exerçant sur le demi-disque 1 :

 











= 

→

→

→

1

1 1

1

1 O₁ pes dd

dd pes dd

pes M

R T o

o 



Q3. Calculer R_pes→dd1

(dd1) (2) (3)

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Exercice 2 : Vanne de climatisation dans un local industriel A. Présentation :

On s’intéresse à une bouche de climatisation dans un local industriel.

L’air climatisé arrive par le réseau d’air climatisé du bâtiment et est distribué par plusieurs bouches. Le débit d’air entrant sur chaque bouche est initialement réglé par l’intermédiaire d’un clapet (1) dont l’ouverture est commandée par un vérin (2,3).

Le schéma cinématique du système de réglage du débit d’air dans la position clapet fermé (𝛼 =^𝜋

6) est donné ci-dessous.

Constituants et paramétrage :

• Le repère 𝑅₀(𝑂; 𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑧⃗)est lié au conduit (0) considéré comme fixe.

• Le repère 𝑅₂(𝐷; 𝑥⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑦⃗, 𝑧₂ ⃗⃗⃗⃗) est lié à la tige (2) du vérin, avec ₂ 𝛼 = (𝑥⃗, 𝑥⃗⃗⃗⃗⃗) = (𝑧⃗, 𝑧₂ ⃗⃗⃗⃗). On ₂ rappelle que 𝛼 =^𝜋₆ lorsque le clapet est fermé

• On donne 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑐 ∙ 𝑦⃗ + 𝑑 ∙ 𝑧⃗.

Hypothèses :

• Les liaisons sont considérées comme parfaites.

• L’action de la pesanteur sur les différents solides sera négligée sauf pour le clapet (1) de masse m, de centre de gravité G, tel que 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 ∙ 𝑦⃗ − ℎ ∙ 𝑧⃗ + 𝑒 ∙ 𝑥⃗.

𝑧⃗

𝑥⃗

𝑦⃗

𝑥₂

⃗⃗⃗⃗⃗

G M

Figure 1 : schéma cinématique d’une bouche de climatisation en position clapet fermé.

Arrivée d’air

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• 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑦⃗ ; 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑎 ∙ 𝑦⃗ − 𝑓 ∙ 𝑧⃗

Avec : a= 50 cm ; h= 50 cm ; c= 15 cm ; d= 30 cm ; f= 60 cm ; e= 0,2 cm ; L= 20 cm.

• L ‘action mécanique de la tige (2) sur le clapet (1) est modélisée par : {𝑇_2→1} =

𝐵{𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗_2→1 0⃗⃗ } =

𝐵{𝑋_𝐵∙ 𝑥⃗⃗⃗⃗⃗₂ 0⃗⃗ }

• L ‘action mécanique de l’air sur le clapet (1) est modélisée par : {𝑇_𝑎→1} =

𝑀{𝐹⃗⃗⃗⃗_𝑎 0⃗⃗} =

𝑀{𝐹_𝑎∙ 𝑥⃗

0⃗⃗ }

Objectif : Déterminer, dans la position clapet fermé, la valeur de la force exercée par la tige de vérin sur le clapet afin de le maintenir fermé.

B. Détermination de l’action mécanique exercé par l’air sur le clapet.

On suppose que la répartition de la pression de l’air sur le clapet n’est pas uniforme et que toute la face arrière du clapet n’est pas sollicitée par la pression de l’air. Voir la figure ci-dessous :

La force élémentaire exercée par l’air sur la face arrière du clapet est définie en Q de la manière suivante :

𝑑𝐹_{𝑄 𝑎→1}

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑝_𝑄∙ 𝑑𝑆 ∙ 𝑥⃗

Avec :

• 𝑝_𝑄 = 𝑝_𝑀𝑎𝑥−^{𝑝𝑀𝑎𝑥}_3∙𝑑2^∙𝑧2

• 𝑑𝑆 = 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 Q1. Déterminer 𝐹⃗⃗⃗⃗ = ∫_𝑎 𝑑𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗_{𝑄 𝑎→1}

𝑄∈𝑆 en fonction de 𝑝_𝑀𝑎𝑥, d et L. Calculer ‖𝐹⃗⃗⃗⃗‖ en prenant 𝑝_{𝑎 𝑀𝑎𝑥} = 235 𝑃𝑎.

Pour la suite du problème on prendra : ‖𝐹⃗⃗⃗⃗‖ = 50 𝑁 _𝑎

𝑥⃗

Surface S subissant la pression 𝑝_𝑄∙ 𝑥⃗

𝑄 𝑥⃗

𝑧⃗

2 ∙ 𝑒 𝑑

𝑑

𝑀 𝑓

𝐺 𝑝_𝑀𝑎𝑥

2 ∙ 𝑝𝑀𝑎𝑥

3

𝑄 𝑝_𝑄

𝐿

𝐿 𝑑𝑆

𝑀 𝑧⃗

𝑦⃗

Figure 2 : modélisation de l'action de l'air sur le clapet

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C. Détermination de l’action mécanique exercé par la tige du vérin sur le clapet.

Q2. A partir du schéma cinématique représenté Figure 1, on demande de compléter le schéma d’analyse à établir afin d’étudier l’ensemble de la bouche de climatisation (voir document réponse).

Afin de mener à bien l’objectif défini en début d’exercice, nous allons étudier l’équilibre du clapet (1).

Q3. Faire l’inventaire des actions mécaniques s’exerçant sur le clapet (1). Déterminer la valeur du poids 𝑃⃗⃗

du clapet sachant que la masse volumique de l’acier est de : 𝜌 = 7,8 𝑘𝑔. 𝑑𝑚⁻³. Les dimensions du clapet (considéré ici comme un parallélépipède rectangle) sont les suivantes : 100 cm x 50 cm x 0,4 cm.

Q4. Enoncer le principe fondamental de la statique en faisant apparaître de manière détaillée sous forme vectorielle les deux équations traduisant le théorème de la résultante et du moment statique. Pour le moment, choisir un point à votre convenance.

Q5. Résolution : Ecrire les six équations scalaires issues des deux équations vectorielles précédentes et en déduire la valeur de 𝑋_𝐵. Attention : Ne calculer que ce qui est nécessaire !

D. Modification de la commande du clapet.

Le concepteur du système de réglage du débit d’air souhaite remplacer le vérin par un moteur électrique pour commander l’ouverture du clapet.

L’action mécanique du moteur sur le clapet est modélisée par le torseur suivant : {𝑇_{𝑚𝑜𝑡𝑒𝑢𝑟→1}} =

𝐴 { 0⃗⃗

𝐶_𝑚∙ 𝑦⃗} Le schéma cinématique du système est alors le suivant :

Q6. En vous inspirant de la réponse à la Q4, réécrire les deux équations vectorielles du principe fondamental de la statique appliqué à l’étude de l’équilibre du clapet 1 en prenant en compte la modification.

𝑧⃗

𝑦⃗

𝑥⃗

M G

Arrivée d’air

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E. Fonctionnement du clapet en « mode libre ».

Dans ce type de fonctionnement le moteur est désaccouplé ¹du clapet et celui-ci est libre d’osciller autour de son axe de rotation. Le flux d’air étant supposé constant, le clapet s’écarte de la verticale et pivote d’un angle 𝜃 et trouve un nouvel équilibre comme indiqué par la figure ci- contre.

Q8. A partir du nouvel équilibre, donner l’expression de l’angle 𝜃 en fonction de Fa, du poids du clapet et des dimensions du système.

Faire l’application numérique.

1 Le moteur séparé du clapet ne peut plus agir sur lui

𝜃 𝑧⃗⃗⃗⃗ 1

𝑧⃗

𝑥₁

⃗⃗⃗⃗⃗

𝑥⃗ 𝑓

𝑥₁

⃗⃗⃗⃗⃗

ℎ Arrivée d’air

𝑦⃗

𝐹⃗⃗⃗⃗_𝑎

𝑃⃗⃗

𝐺 𝑀

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Document re ponses

Exercice 1 : Pelle de pelleteuse

Q1. Position du centre d’inertie G1 :

𝑂1𝐺1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =

Q2. Expression de la résultante 𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗_{𝑝𝑒𝑠→𝑑𝑑1} :

𝑅𝑝𝑒𝑠→𝑑𝑑1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =

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𝑀_{𝑂1 𝑝𝑒𝑠→𝑑𝑑1}

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =

Q3. Calcul de ‖𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ : 𝑝𝑒𝑠→𝑑𝑑1

‖𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ = 𝑝𝑒𝑠→𝑑𝑑1

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Exercice 2 : Vanne de climatisation dans un local industriel

Q1. Détermination de 𝐹⃗⃗⃗⃗_𝑎 :

‖𝐹⃗⃗⃗⃗‖ = _𝑎

Q2. Schéma d’analyse :

0

1

3

2

𝐴. 𝑀.𝑝𝑒𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒𝑢𝑟→1

𝐴. 𝑀.𝑎→1

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‖𝑃⃗⃗‖=

Q4. Enoncé du PFS

Q5. Résolution 1

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𝑋𝐵=

Q6. PFS appliqué à 1 après modification : écrire les deux équations traduisant les théorèmes généraux

Q7. Expression et calcul de 𝐶_𝑚

𝐶_𝑚 =

Q8. Expression et calcul de l’angle ^𝜃

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Expression de 𝜃

𝜃 =