CONCOURS BLANC N ◦ 2

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CONCOURS BLANC N ^◦ 2

I. Planètes extra-solaires et exo-biologie (d’après ENS BCPST 2015) I.1. Détection d’une planète extra-solaire.

I.1.a. Troisième loi de Kepler.

1. F ~ _e/p = −G M _e m _p R ² ~ u _r .

2. L’accélération de la planète dans R vaut ~a = ^d

^{(R~ u}

⁾

dt

_R = −Rω ² ~ u _r + R ω~ ˙ u _θ .

Le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) dans R s’écrit m _p ~a = F ~ _e/p . Par projection selon ~ u _θ on obtient ˙ ω = 0. Donc ω est constante et l’accélération est radiale, elle vaut ~a = −Rω ² ~ u _r . 3. Par projection du PFD selon ~ u _r on obtient Rω ² = G ^M _R

. On y injecte ω = ^2π _T , ce qui conduit à R ³

T ² = GM _e 4π ² . 4. On obtient T = 2π

s R ³ GM e

, d’où

— pour la Terre, T = 3, 2 × 10 ⁷ s = 365 j = 1, 0 an ;

— pour Mars, T = 6, 0 × 10 ⁷ s = 693 j = 1, 9 an ;

— pour Jupiter, T = 3, 7 × 10 ⁸ s = 4328 j = 11, 9 an.

I.1.b. Détection par la méthode des transits.

5. Lorsque b = 0, la trajectoire de la planète est dans le plan d’observation.

La durée d’éclipse par la planète vaut τ _e = ^θ

ω , où θ est l’angle décrit par la planète pendant l’éclipse (cf schéma ci-contre).

La loi de Kepler démontrée précédemment donne alors τ _e = ^q _GM ^R

e

θ.

Or le point d’observation est à une distance très grande par rapport à la distance Étoile-Planète, donc on peut négliger la parallaxe par rapport à l’étoile (les triangles ci-contre sont rectangles). On a donc sin ^θ ₂ = ^r _R

. En supposant que la planète est suffisamment éloignée de l’étoile : ^r _R

1 donc θ 1 et θ ≈ 2 sin ^θ ₂ = ^2r _R

, d’où τ e ≈ 2 r e

s R GM e

.

6. a) Si ^r _R

1, alors l’élévation de la planète peut être considérée constante égale à b pendant toute l’éclipse.

Le calcul revient alors au précédent à condition de remplacer 2r _e par le diamètre 2r ⁰ de la calotte sphérique définie par b (cf schéma ci- contre). Or par le théorème de Pythagore, on a r ⁰² + b ² = r ² _e . On en déduit τ = τ _e

s 1 − b ²

r ² _e .

1

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b)

Le seuil de 80% correspond à 0, 8 <

s 1 − b ²

r ² _e ⇐⇒ b < 0, 6 r _e .

En supposant que les valeurs de b sont distribuées aléatoirement, en-

viron 60% des éclipses ont une durée supérieure à 80% : 0 _r ^b

e

τ

τ

0,8

0,6 7. Le calcul de τ _p est le même que pour τ _e , en remplaçant r _e par r _p . D’où τ _p = 2r _p

s R GM e

.

Notons qu’il existe deux phases de ce type, une au début et une à la fin de l’éclipse, correspondant à une durée totale 2τ _p .

8. Donc ^τ _τ

e

1 ⇔ r _p r _e 1 .

9. Le flux reçu de l’étoile est en première approximation proportionnel à la surface visible de l’étoile. Donc la variation relative du flux reçu correspond à la surface relative planète-étoile :

∆Φ Φ = r ² _p

r ² _e .

10. Application numériques pour les éclipses du Soleil vues d’un autre système :

— par la Terre : τ _e = 13 h, τ _p = 7, 1 min, ^∆Φ _Φ = 8, 4 × 10 ⁻⁵ .

— par Jupiter : τ _e = 30 h, τ _p = 2, 9 h, ^∆Φ _Φ = 9, 7 × 10 ⁻³ . I.1.c. Détection par décalage Doppler.

11. Par définition du barycentre : M _e − − →

QE + m _p − − →

QP = ~ 0 ⇐⇒ − − →

QE = − m _p m _p + M _e

− − →

EP = ⇒ q = m _p m _p + M _e R .

12. La période de révolution de l’étoile est la même que celle de la planète, mais son périmètre est 2πq, d’où la vitesse v = ^2πq _T . En admettant la 3ème loi de Kepler toujours valide ¹ , on obtient v = m _p

m _p + M _e s

GM e

R . 13. a) Soit ν 0 la fréquence de l’onde émise par l’étoile, ¹

ν

est sa période. Entre deux maxima successifs de l’onde, la distance de propagation vers l’observateur a changé de ^v _ν

0

. La fréquence ν _a (et donc la période) du signal lumineux reçu par l’observateur s’en trouve modifiée selon

1 ν a

= 1 ν 0

+ v _a cν 0

⇔ ∆λ = λ a − λ 0 = v _a c λ 0 .

b) Un « décalage vers le rouge » singifie que ∆λ > 0, donc v a > 0, c’est-à-dire que l’étoile s’éloigne.

14. Applications numériques :

a) Terre-Soleil : q = 4, 5 × 10 ² km, v = 9, 0 × 10 ⁻² m.s ⁻¹ , et ∆λ = 1, 5 × 10 ⁻⁷ nm.

Jupiter-Soleil : q = 7, 4 × 10 ⁵ km, v = 12 m.s ⁻¹ , et ∆λ = 2, 0 × 10 ⁻⁵ nm.

b) En travaux pratiques, la précision obtenue avec un prisme est de l’ordre du nanomètre. Avec un réseau on atteint le dixième de nanomètre. La détection des décalages Doppler des étoiles dus aux planètes est donc difficile car nécessite une précision bien supérieure.

c) Dans les deux cas l’étoile a une vitesse très faible par rapport à c, donc on peut raisonnablement négliger la correction relativiste de l’effet Doppler dans ce cadre.

1. En réalité elle doit être un peu corrigée pour prendre en compte le mouvement de l’étoile.

2

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I.2. Recherche de vie sur des planètes extra-solaires.

I.2.a. Limites de la zone habitable.

15. a) Diagramme (p, T) ci-contre.

b) Le point triple est le seul point du diagramme (p, T) du corps pur « eau » tel les trois états solide liquide et vapeur puissent coexister à l’équilibre.

c) On sait que le point de fusion de l’eau à la pression atmosphérique P atm = 10 ⁵ Pa est T fus = 273, 15 K.

La pente de la courbe de fusion, qui est négative, est donc 273,16−273,15 ⁶¹¹⁻¹⁰

≈ −10 ⁷ . Cette pente est donc très forte, la température de fusion est quasi- indépendante de la pression.

d) Une température inférieure à 273 K ne permettra donc pas l’existence d’eau liquide. On peut donc fixer T min = 273 K.

16. On obtient R min = r _e 2

T _e ²

T _max ² = 8, 6 × 10 ⁷ km = 0, 58 ua et R max = r _e 2

T _e ²

T _min ² = 1, 5 × 10 ⁸ km = 1, 0 ua.

La présence d’une atmosphère créant un effet de serre naturel augmente en fait la température de la Terre obtenue par le calcul précédent ce qui décale la zone d’habitabilité vers des orbites un peu plus élevées que celles trouvées.

I.2.b. Bio-signature d’une présence de vie.

17. L’équilibre d’une couche d’atmosphère d’épaisseur dz dans le référentiel de la planète supposé galiléen s’écrit 0 = P (z)S − P (z + dz)S − ρ(z)Sdz, en prenant un axe vertical ascendant. On en déduit la loi de la statique : dP = −ρgdz .

18. Comme le gaz est supposé parfait, on a ρ = _RT ^µP

p

, d’où dlnρ

dz = − µg

RT _p = ⇒ ρ(z) = ρ(0) exp

− z H

avec H = RT _p µg .

19. On obtient H = 7, 9 km, ce qui est de l’ordre de 1% du rayon terrestre, donc on peut raisonnable- ment ² considérer le champ de pesanteur uniforme dans le calcul du champ de pression et de masse volumique.

20. La perte de flux lumineux stellaire du à l’atmosphère est proportionnelle à 1 − ε (partie absorbée complé- mentaire de la partie transmise) et à sa surface. L’atmosphère représente une couche très fine d’épaisseur H et de périmètre 2πr _p , donc de surface 2πr _p H. Finalement la variation relative est donc

∆Φ at

Φ = (1 − ε) 2r _p H r ² _e .

2. Plus précisément, on a une variation relative du champ de pesanteur de

g

≈ −2

T

= −2,5 %.

3

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II. Étude d’une installation nucléaire REP (d’aprèsCentrale-Supélec MP 2016)

Cycle de Carnot

1. On effectue les bilans énergétique et entropiques de l’eau dans le circuit secondaire, sur un cycle réversible de fonctionnement. On note W le travail reçu pas le fluide, Q _{f r} le transfert thermique reçu de la part de la source froide et Q _ch celui reçu de la part de la source chaude.







0 = W + Q _{f r} + Q _ch 0 = ^Q _T

f r

+ ^Q _T

ch

D’où :

ρ _C = −W

Q _ch = Q _ch + Q _{f r}

Q _ch = 1 + Q _{f r}

Q _ch ⇒ ρ _C = 1 − T _{f r} T _ch

2. A.N. : ρ _C = 44, 2 % 3. Rendement réel : ρ _R = P _e

P _t = 32, 3 % < ρ _C . Ce rendement est inférieur au rendement maximal de Carnot, à cause d’irréversibilités dans le cycle réel provenant de l’hétérogénéité de température dans les phases de génération de vapeur et de liquéfaction au contact des sources chaude et froide.

Cycle de Rankine

4. En traçant le cycle, on voit bien que T _B < T _D .

En phase liquide, les isothermes sont quasi-verticales (liquide quasi-incompressible). Rq : elles pourraient être représentées verticales, dans le cas du modèle incompressible utilisé ici, tout comme la courbe d’ébul- lition, mais l’ensemble devient moins lisible.

Enfin, l’isotherme à T _D est, en phase liquide, confondue avec l’adiabatique réversible (donc isentropique) D → A. En effet, pour une phase condensée incompressible et indilatable :

dU = CdT = T dS ⇒ S(T )

L’entropie n’est fonction que de la température, donc si T est constante (isotherme), S l’est également (isentrope).

5.

A’ B D

liquide saturant, P = P 2 vapeur saturante P = P 2 liquide saturant P = P 1

T ( ^◦ C) 270 ^◦ C 270 ^◦ C 30 ^◦ C

h (kJ.kg ⁻¹ ) 1190,10 2788,46 125,22

s (J.kg ⁻¹ .K ⁻¹ ) 2,9853 5,9226 0,4348

4

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6. Ces quatre points sont sur la courbe de saturation. A ⁰ et D sur la courbe d’ébullition, aux températures respectives 270 ^◦ C et 30 ^◦ C. De même, B est sur la courbe de rosée à 270 ^◦ C.

La position du point C est obtenue en se plaçant sous la courbe de saturation, à 30 ^◦ C, en suivant la courbe isentrope venant de B (transformation B → C adiabatique réversible, donc isentropique). Pour le placement des points, voir figure 2.

7. Pour un fluide en écoulement stationnaire, en négligeant les variations d’énergie cinétique et le travail du poids (énergie potentielle de pesanteur), on a :

∆h = h _s − h _e = w _u + q

où h _s et h _e désignent les enthalpies massiques du fluide respectivement en sortie et en entrée du dispositif étudié, dans lequel se fait l’écoulement.

8. Pour l’eau en écoulement dans la turbine (B → C), la transformation subie par le fluide étant adiabatique, on a :

h _C − h _B = w _BC + 0 ⇒ w _BC = h _C − h _B = −990 kJ.kg ⁻¹ < 0

car on lit graphiquement h _C ≈ 1800 kJ.kg ⁻¹ . On note qu’on trouve bien w _BC < 0, le travail est bien fourni par la machine.

9. De même, sur la transformation A → A ⁰ dans le (GV) où il n’y a aucun travail utile : h _A

− h _A = 0 + q _AA

⇒ q _AA

= h _A

− h _A

• La transformation D → A étant isentropique, cela signifie qu’elle se déroule à T constante (car S ne dépend que de T pour un liquide), ce qui est d’ailleurs confirmé par l’énoncé. Ainsi, son enthalpie ne varie pas (H ne dépend que de T pour un liquide), donc h _A ≈ h _D , d’où :

q _AA

≈ h _A

− h _D = +1060 kJ · kg ⁻¹ > 0

• Une autre manière de terminer le calcul de q _AA

consiste à utiliser la capacité thermique de l’eau liquide :

q _AA

= h _A

− h _A = c(T _A

− T _A ) ≈ c(T _A

− T _D ) = 1000 kJ · kg ⁻¹

Rq : Cette deuxième méthode est en réalité moins satisfaisante car elle nécessite de considérer la capacité thermique de l’eau constante, ce qui est correct jusqu’à 100 ^◦ C, mais pas sur des plages de températures allant de 30 ^◦ C à 270 ^◦ C, où elle subit en fait une variation non-négligeable :

Figure 1 – Evolution de la capacité thermique à pression constante de l’eau. Source : Wikipedia

5

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10. De même :

q _A

B = h _B − h _A

= +1600 kJ · kg ⁻¹ > 0 11. Le rendement du cycle de Rankine est donné par :

ρ = −w BC

q _AB = −w BC

q _AA

+ q _AB ≈ 37 % Rq : en prenant q _AA

= 1000 kJ · kg ⁻¹ on trouve un rendement ρ = 38%.

Cette valeur est comprise entre le rendement réel et le rendement de Carnot : ρ _R < ρ < ρ C . Le cycle de Rankine permet donc de s’approcher du rendement réel (par rapport au cycle idéal réversible de Carnot) mais il ne décrit pas encore parfaitement le cycle réel.

12. — À la sortie de la turbine, en C, l’eau est sous forme liquide en équilibre avec sa vapeur.

— Le titre en vapeur est donné par lecture directe graphique : x _C =≈ 0, 69 . On peut aussi utiliser l’extensivité de l’enthalpie (ou de l’entropie massique) :

h C = (1 − x C )h _l (P 1 ) + x C h v (P 1 ) = (h v (P 1 ) − h _l (P 1 ))x C + h _l (P 1 ) avec P 1 = 43 mbar. D’où :

x _C = h _C − h _l (P 1 ) h _v (P 1 ) − h _l (P 1 ) ≈ 0, 69

— L’eau liquide rend l’efficacité de la turbine moindre et pourrait nuire à la résistance mécanique de ses pales.

Cycle de Rankine avec détente étagée 13. cf. figure2.

14. • Lit directement graphiquement les titres en vapeur des points C ⁰ et C ⁰⁰ : x _C

≈ 0, 84 x _C” ≈ 0, 77 > x _C Ces valeurs peuvent aussi s’obtenir comme à la question 12. :

x _C

= h _C

− h _l (P 2 ) h _v (P 2 ) − h _l (P 2 ) ≈ 0, 84

avec h _C

≈ 2460 kJ · kg ⁻¹ par lecture sur le diagramme, et le tableau de données qui fournit h _l (P 2 ) = 763,18 kJ · kg ⁻¹ et h _v (P 2 ) = h _B

= 2777, 84 kJ.kg ⁻¹ (P 2 = 10 bar).

De même pour x _C” :

x _C” = h _C” − h _l (P 1 ) h _v (P 1 ) − h _l (P 1 ) ≈ 0, 77 avec une lecture graphique de h _C” = 2000 kJ · kg ⁻¹ .

• La surchauffe a permis de limiter la quantité de liquide lors de la détente, par rapport au cas sans surchauffe.

15. Le rendement ρ ⁰ du cycle étagé devient : ρ = −(w _BC

+ w _B

_C” )

q _AB + q _C

B

= h _B − h _C

+ h _B

− h _C”

h _B − h _A + h _B

− h _C

= 0, 37 en utilisant le fait que h _A = h _D .

Le rendement obtenu est similaire à celui obtenu sans la surchauffe. Il n’y a donc pas de perte de rendement tout en ayant moins de liquide dans les détentes.

6

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l'l'crslu"c [{trr"l

,;},

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Figure 2 – Cycle de Rankine, avec et sans surchauffe 7

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Enrichissement de l’uranium par centrifugation

16. Les forces qui s’exercent sur la particule de fluide en équilibre dans le référentiel R 0 sont :

• le poids de la particule : force volumique ρ → − g (avec − → g le champ de pesanteur terrestre) ;

• les forces de pression exercées par le fluide environnant : force volumique de pression − −−−−→

gradP . 17. Le poids devient négligeable devant la force d’inertie d’entraînement dès que :

ρω ² r ρg ⇔ r g

ω ² = 0, 36 µm On pourra donc négliger le poids dans le bilan des forces.

18. Équilibre de la particule de fluide dans le référentiel R 1 non-galiléen :

−

→ 0 = − −−→

gradP + ρω ² r − → e _r ⇒



 



 



− ^∂P _∂r + ρω ² r = 0

− ^∂P _∂θ = 0

− ^∂P _∂z = 0 On retrouve bien que la pression ne dépend que de r et l’on obtient :

dP

dr = ρ(r)ω ² r

19. De plus, le fluide considéré est un gaz parfait, donc l’équation d’état donne : P = n ^∗ k _B T

De plus, ρ = mn ^∗ , d’où, avec ici la température T prise constante : dP

dr = k _B T dn ^∗

dr = mn ^∗ ω ² r ⇒ dn ^∗ n ^∗ = mω ²

k B T rdr Ce qui s’intègre en :

ln (n ^∗ (r)) = mω ² r ²

2k _B T + cte ⇒ n ^∗ (r) = n ^∗ (0)e

2r2 2kB T

20. Avec E _th = k _B T l’énergie d’agitation thermique, et E _p = − mω ² r ²

2 l’énergie potentielle de la force cen- trifuge, on retrouve la statistique de Maxwell-Boltzmann :

n ^∗ (z) = n ^∗ (0)e ⁻

Ep Eth

En effet, − −−→

grad(E _p ) = − −−→

grad ^−mω ₂

^r

= mω ² r − → e _r = − → f .

21. On voit qu’en bordure de la centrifugeuse, la densité d’uranium-238, plus lourd, est plus importante que celle en uranium-235. On pourrait donc extraire la partie centrale qui est enrichie en uranium-235 et éliminer la partie périphérique, puis on réitère cette opération de centrifugation-élimination un grand nombre de fois, jusqu’à avoir enrichi dans les proportions souhaitées.

8