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cor 2012 ct/1

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Texte intégral

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D13 : arithm´etique

10 janvier 2013

On consid`ere les entiers p= 89,q = 97 et on note n=pq.

1. p et q sont-ils premiers ? Oui. Il suffit de tester la divisibilt´e de p par les entiers premiers inf´erieurs `a 9. Or pn’est pas disvisible par 2, 3, 5, et 7. Idem pour q.

2. D´eterminer des entiersuetv tels 89u+ 97v = 1. On applique l’algorithme d’euclide

´

etendu du cours qui consiste `a combiner les relations lin´eaires (x, y, z) satisfaisant x97 +y89 =z :

1 0 97

0 1 89

1 -1 8

-11 12 1

D’o`u la solution : u= 12 etv =−11.

3. R´esoudre x2 = 1 modulo n. D’apr´es le cours, comme n est produit de deux pre- miers distincts, il y a quatre solutions correspondants aux solutions (±1,±1) par le th`eor`eme chinois des restes.

Une solution non triviale est donn´ee par

−11∗89∗(−1) + 12∗97∗1 = 2135 les autres solutions sont : 1, -1 et -2135.

4. Calculerφ(n). La fonction est multiplicative,

φ(n) = (p−1)∗(q−1) = 96∗88 = 8448

5. Pour RSA, quelle est la clef secr`ete associ´ee `a l’exposant publique e = 5 ? Il faut r´esoudre Bˆachet-B´ezout pour 8448 et 5 :

1 0 8448

0 1 5

1 -1689 3

-1 1690 2

2 -3379 1

La clef secr`ete vaut :

d= 5069.

6. Calculer le chiffr´e dex= 2. C’est tout simplement 32. Le d´echiffrement de 2 aurait

´

et´e un peu plus long `a obtenir.

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