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CT 2012/1

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Academic year: 2022

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Preuve et Analyse des Algorithmes

10 janvier 2013

Q 1. Une implantation d’un algorithme traite une instance de taille 1024 en 1 seconde, une instance de taille 2048 en 4 secondes.

1. Quelle est la complexit´e probable de l’algorithme ? 2. Donner un exemple d’algorithme ayant cette complexit´e.

Q 2. L’algorithme1 de tri du professeur Tee est un algorithme de tri comparatif qui trie un tableau de taille n en utilisant au plus n( log(log(n)))2 comparaisons.

1. Une implantation de l’algorithme trie une instance de taille 65536 en 10−6 seconde.

Estimer le temps de calcul d’une instance de taille 4294967296.

2. Que pensez du professeur Tee ?

Q 3. On consid`ere l’algorithme de tri par s´election.

1. Donner une implantation en langage C.

2. Etablir une formule sur le nombre de comparaisons.

Q 4. Soit x un entier de n bits qui s’´ecrit en base 2 (xn. . . , x2x1). Par d´efinition le miroir sur n-bits dex est ˜x= (x1x2. . . , xn).

1. Ecrire une fonctionmir(x,n)en langage C pour caculer le miroir d’un entierx <2n 2. Pr´eciser le domaine de validit´e de la fonction.

3. Pr´eciser un contexte d’utilisation de cette notion.

Q 5. On consid`ere le tableau de 8 entiers

0 4 2 6 1 5 3 7

1. D´etailler avec soin l’action du tri par tas sur ce tableau.

2. Combien de comparaisons ont ´et´e effectu´ees ?

Q 6. On consid`ere les permutations de l’ensemble {0,1, . . . , n−1}. Une permutation π est repr´esent´ee naturellement par un tableau de taille n. L’orbite de x suivant π est la plus petite partie de{0,1, . . . , n−1}stable parπ contenantx. Elle contient x,π(x), puis π(π(x)) etc. . .

1. D´eterminer les orbites correspondant au tableau de l’exercice pr´ec´edent.

2. Ecrire une fonctionomega(x, p, n) qui d´etermine la taille de l’orbite dex suivant la permutation p.

3. Ecrire une fonctionchi(p, n) qui calcule le nombre d’orbites de la permutationp.

4. Pr´eciser le temps de calcul.

1implantation disponible uniquement sous Macintosh (Mac OS 9 et Mac OS X avec iTunes 2.0)

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