Mathématiques ECS1 AN1 - Partie 2 1. AN1 - Partie 2

AN1 - Partie 2

F ONCTIONS USUELLES

Table des matières

I Fonctions puissances et polynomiales. . . 1

II Fonction inverse - Fonctions rationnelles . . . 3

III Fonction logarithme népérien . . . 4

IV Fonction exponentielle . . . 5

V Fonctions racine carrée . . . 7

VI Fonctions circulaires . . . 8

VII Fonction valeur absolue . . . 10

VIII Fonction partie entière . . . 11

IX Dérivées usuelles . . . 12

I Fonctions puissances et polynomiales

Fonctions puissances x�→xⁿ avec n∈N

Cas oùnest pair Cas oùnest impair

0 1 1

x y

1 1

0 x

y

x

x�→xⁿ

−∞ 0 +∞ +∞

+∞ 00

+∞ +∞

x

x�→ xⁿ

−∞ 0 +∞

−∞

−∞

+∞ +∞

La fonctionx�→xⁿ est paire La fonctionx�→xⁿ est impaire Tangente horizontale en (0,0) Tangente horizontale en (0,0)

Fonctions polynomiales Définition I.1

On appellefonction polynomialetoute fonction de la forme x�−→a₀+a₁x+· · ·+anxⁿ

oùa₀, a₁, . . . , an sont des constantes réelles. C’est unecombinaison linéairede fonctions puis- sances.

Exemple. La fonctionx�→5x³−x+ 7 est une fonction polynomiale.

Proposition I.2

Les fonctions polynomiales sont définies, continues et dérivables sur R.

Cas particulier à connaître parfaitement : fonctions affines (et linéaires) Soitf :x�→ax+b aveca∈R^∗. Le tableau de variation def est :

Cas oùa >0 Cas oùa <0 x

f signe

−∞ −a^b +∞

−∞

−∞

+∞ +∞ 0

− 0 +

x

f signe

−∞ −a^b +∞ +∞

+∞

−∞

−∞

0

+ 0 −

Cas particulier à connaître parfaitement : fonctions polynomiales du second degré Soitf :x�→ax²+bx+c aveca∈R^∗. Le tableau de variation def est :

Cas oùa >0 Cas oùa <0 x

f

−∞ ⁻_2a^b +∞ +∞

+∞ ++∞∞

x

f

−∞ ⁻_2a^b +∞

−∞

−∞ −∞−∞

Remarque. Le coefficient noté iciaest appelé le coefficient dominantdef. Exemple. Soitf:x�→3−x−2x².

1. Quel est son ensemble de définition ?

2. Dresser son tableau de variation et son tableau de signe.

II Fonction inverse - Fonctions rationnelles

Fonction inverse Définition II.1

La fonction inverseest la fonctionx�→ 1

x. Elle est définie, continue et dérivable surR^∗.

1 1

0 x

x�→ 1 x

−∞ 0 +∞

00

−∞

+∞

00

La fonctionx�→ 1

x est impaire.

Asymptote horizontale d’équationy= 0 au voisinage de +∞et de−∞. Asymptote verticale d’équationx= 0.

Fonctions rationnelles Définition II.2

On appelle fonction rationnelle toute fonction définie comme quotient de deux fonctions polynomiales.

Exemple. La fonction x �→ 5x+ 1

x² est une fonction rationnelle, quotient de x �→ 5x+ 1 par x�→x².

Proposition II.3

Une fonction rationnelle est continue et dérivable sur son ensemble de définition.

III Fonction logarithme népérien

Définition III.1

On appelle logarithme népérien, et on note ln, l’unique primitive de x �→ 1

x définie sur ]0,+∞[ qui s’annule en 1.

C’est donc la fonction définie et dérivable sur ]0,+∞[ telle que ln^�(x) = 1

x et ln(1) = 0.

x

ln ln(x)

0 1 +∞

−∞

+∞ +∞ 0

− 0 +

1 1

0

Proposition III.2 : Limites remarquables Limites aux bornes : lim

x→0⁺ln(x) =−∞, lim

x→+∞ln(x) = +∞ Croissances comparées : ∀α,β>0, _x→+∞lim

�ln(x)�α

x^β = 0, lim

x→0⁺x^β�ln(x)�α

= 0 Taux d’accroissement usuel : lim

h→0

ln(1 +h)

h = ln^�(1) = 1 Proposition III.3 : Propriétés algébriques

Pour toutx >0 et pour touty >0, on a :

• ln(xy) = ln(x) + ln(y)

• ∀α∈R, ln (x^α) =αln(x)

• ∀a, b∈]0,+∞[, ln(a) = ln(b)⇐⇒a=b.

• ln�1 x

�=−ln(x)

• ln�x y

�= ln(x)−ln(y)

IV Fonction exponentielle

La fonction ln est continue (car dérivable) et strictement croissante sur ]0,+∞[.

De plus, lim

x→0⁺ln(x) =−∞et lim

x→+∞ln(x) = +∞.

D’après le théorème de la bijection, pour tout k ∈]− ∞,+∞[, l’équation ln(x) = k admet une unique solutionx∈]0,+∞[.

Définition IV.1

On appellefonction exponentielle, et on note

exp: R −→ ]0,+∞[ x �−→ exp(x)

oùy= exp(x) est l’unique réel strictement positif tel que ln(y) =x.

Proposition IV.2

1. ∀a, b∈R, exp(a) = exp(b)⇐⇒a=b.

2. ∀x∈R, ∀y∈]0,+∞[, exp(x) =y⇐⇒x= ln(y).

3. ∀y >0, exp(ln(y)) =y; ∀x∈R, ln(exp(x)) =x 4. exp(0) = 1

x exp

−∞ +∞

00

+∞ +∞

1 1

0 Asymptote horizontale d’équationy= 0.

Proposition IV.3 : Limites remarquables Limites aux bornes : lim

x→−∞exp(x) = 0⁺, lim

x→+∞exp(x) = +∞ Croissances comparées : ∀α,β>0, lim

x→+∞

exp(αx)

x^β = +∞, lim

x→−∞x^β exp(αx) = 0 Taux d’accroissement usuel : lim

h→0

exp(h)−1

h = exp^�(0) = 1

Proposition IV.4 : Propriétés algébriques Pour toutx∈Ret pour touty∈R, on a :

• exp(x+y) = exp(x) exp(y)

• exp(−x) = 1 exp(x)

• exp(x−y) =exp(x) exp(y)

• ∀a∈R, exp (ax) = (exp(x))^a. Remarque.

Ces propriétés justifient la notation puissance : exp(x) = e^x , avece = exp(1)≈2,72.

Avec cette notation, ce qui précède s’écrit plus naturellement :

• e^x+y= e^x×e^y

• e^−x= 1 e^x

• e^x−y =e^x

e^y • ∀a∈R,e^ax =�e^x�^a.

• ln(e) = 1.

Puissances réelles

Plusieurs propriétés citées précédemment utilisent des puissances réelles, pas forcément entières (par exemple dans�e^x�a

aveca∈R). Il est temps de préciser ce que signifie cette notation.

Définition IV.5

Par définition, pour tous réelsaet baveca >0, a^b= e^bln(a). Exemple. 5^π=�e^ln(5)�π

= e^πln(5) (1 +x)^x= e^xln(1+x)

V Fonctions racine carrée

La fonction carrée est continue et strictement croissante sur [0,+∞[ à valeurs dans [0,+∞[.

D’après le théorème de la bijection, pour toutx∈R+, l’équationy²=xadmet une unique solution y∈R+.

Définition V.1

La fonction racine carrée est la fonction

R+ −→ R+

x �−→ √x

où, pourx�0,y=√xest l’unique réel positif tel quey²=x.

Proposition V.2

1. ∀x, y�0, √x=√y⇐⇒x=y 2. ∀x, y�0, y²=x⇔y=√x

3. ∀x�0, ∀y∈R, y²=x⇐⇒y=√xouy=−√x.

4. ∀x∈R+, (√x)²=x, ∀y∈R,�

y²=|y|=

�y siy�0

−y siy <0. 5. ∀x∈R^∗+, √x=x^1/2

x x�→√x

0 +∞

00

+∞ +∞

1 1

0

Remarque. Racine cubique : √³

x=x^1/3 pourx >0.

VI Fonctions circulaires

M

O

I +J

cos(x) sin(x)

tan(x) +

x +

Fonction sinus

−1 1

0 ^π₂

3π2

−^π₂

−^3π₂ +^π

−π+

La fonction sinus est impaire et 2π-périodique.

Fonction cosinus

−1 1

0

−π π

π2

+ _3π

2

−+^π₂ +

−+^3π₂

La fonction cosinus est paire et 2π-périodique.

Définition VI.1 : Fonction tangente Lafonction tangenteest la fonction

tan: R\�π

2 +kπ, k∈Z�

−→ R

x �−→ tan(x) = sin(x) cos(x)

−2

−1 1 2

0 ^π₂ ^3π₂

−^π₂

−^3π₂ +^π

−π +

Proposition VI.2

• La fonction tangente est impaire etπ-périodique.

• tan (0) = 0 et tan�π 4

�= 1.

• La fonction tangente est dérivable sur son ensemble de définition et tan^�(x) = 1

cos²(x)= 1 + tan²(x).

Symétries des fonctions circulaires

À savoir retrouver rapidement grâce au cercle trigonométrique

sin(−θ) =−sin(θ) cos(−θ) = cos(θ) tan(−θ) =−tan(θ) sin(π−θ) = sin(θ) cos(π−θ) =−cos(θ) tan(π−θ) =−tan(θ) sin(π+θ) =−sin(θ) cos(π+θ) =−cos(θ) tan(π+θ) = tan(θ) sin�π

2 −θ�

= cos(θ) cos�π 2 −θ�

= sin(θ) sin�π

2 +θ�

= cos(θ) cos�π 2 +θ�

=−sin(θ)

θ

−θ π−θ

π+θ

π 2 −θ π

2 +θ

Formules de trigonométrie cos²(a) + sin²(a) = 1

sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) sin(a−b) = sin(a) cos(b)−cos(a) sin(b)

sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)

cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b) cos(a−b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)

cos(2a) = cos²(a)−sin²(a) = 2 cos²(a)−1 = 1−2 sin²(a)

+•0; 2π π•

3π 2 ;−π

2

• + π 2•

O

π

1 6

2

√3 2

π 4

√2 2

√2 2

π 3

√3 2

12

2π 3

−¹₂ 3π

4

−^√₂² 5π

6

−^√₂³

5π 3

−^√₂³

11π 6

−¹₂

7π 4

−^√₂² 4π

3 7π

6 5π 4

VII Fonction valeur absolue

Définition VII.1

La fonction valeur absolueest la fonction : R → R

x �→ |x|=

�x six�0

−x sinon.

Exemple. |−3.2|= 3.2, |0|= 0, |157.41|= 157.41.

Proposition VII.2

1. La fonction valeur absolue est à valeurs dansR+ :∀x∈R,|x|�0.

2. La fonction valeur absolue est continue surRet dérivable surR^∗. Elle n’est pas dérivable en 0.

3. La fonction valeur absolue est paire :∀x∈R,|−x|=|x|.

x x�→|x|

−∞ 0 +∞

+∞ +∞

00

+∞ +∞

1 1

0

x y

Proposition VII.3 : Règles de calcul 1. ∀x, y∈R, |x|=|y|⇐⇒x=y oux=−y.

2. ∀x∈R, √

x²=|x|et |x|²=x²

3. ∀x, y∈R,|xy|=|x| |y|et ∀n∈N,|xⁿ|=|x|ⁿ. Siy�= 0,����x y

��

��=|x|

|y|. 4. ∀x∈R,|x|�x.

Exemple. Donner l’expression def :x�→|3−x−2x²|sans utiliser les valeurs absolues.

VIII Fonction partie entière

Définition VIII.1

La fonction partie entièreest la fonction

R −→ R x �−→ �x� où�x�est le plus grand entier relatif inférieur ou égal àx.

Exemple. �π�= 3,�−2.00001�=−3,�−5�=−5.

x y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1 0 1 2 3 4 5

Proposition VIII.2 : Caractérisation par un encadrement Soitx∈R. Étant donné unentier relatifn, on a :

n=�x� ⇐⇒ n�x < n+ 1 ⇐⇒ x−1< n�x

+ + ++ +x+ + +

�x� +

�x�+ 1 x+−1

Remarque. • La fonction partie entière est une fonction en escalier. Elle présente une dis- continuité en toutn∈Z.

• La fonction partie entière est croissante, mais n’est pas strictement croissante. En effet, elle est constante sur tout intervalle[n, n+ 1[,n∈Z.

IX Dérivées usuelles

Fonctionf Fonctionf^� Ensemble de

dérivabilité

f(x) =k,kconstante f^�(x) = 0 R

f(x) =x^a, aconstante f^�(x) =ax^a−1 dépend dea

f(x) = 1

x f^�(x) =−1

x² R^∗

f(x) =√x f^�(x) = 1

2√x ]0; +∞[

f(x) = sin(x) f^�(x) = cos(x) R

f(x) = cos(x) f^�(x) =−sin(x) R

f(x) = tan(x) = sin(x)

cos(x) f^�(x) = 1+tan²(x) = 1 cos²(x)

�−π 2;π

2

�

f(x) = e^ax,aconstante f^�(x) =ae^ax R

f(x) = ln(x) f^�(x) = 1

x ]0; +∞[

Somme (u+v)^� =u^�+v^�

Multiplication par un réel pourk∈R(constante), (ku)^�=ku^�

Produit (u×v)^�=u^�×v+u×v^�

Inverse �1

v

��

=−v^� v²

Quotient �u

v

��

= u^�×v−u×v^� v²

Composée (v◦u)^�(x) =u^�(x)×v^��u(x)�

Cas particuliers (ln(u))^� =u^�

u ; (exp(u))^� =u^�×exp(u) (uⁿ)^�=nu^�×uⁿ⁻¹; �1

u

��

=−u^� u²