D20499. Question d’aire
On considère une courbe fermée convexeC, une corde variable AB de lon- gueur constantea+b, et le pointMde cette corde tel queAM =a, M B=b.
Quelle est l’aire intérieure à la courbe lieu deM? Solution
Quand un point M du plan se déplace, son moment cinétique par rapport àO, produit vectorielOM∧VM, a pour mesure deux fois l’aire balayée par le segmentOM dans l’unité de temps. Ici M est barycentre de A et B, en sorte que vectoriellement (a+b)OM =b.OA+a.OB. Dérivant par rapport au temps, on a pour les vitesses (a+b)VM =b.VA+a.VB.
Formons le produit vectoriel de ces expressions :
(a+b)2OM∧VM =b(a+b)OA∧VA+a(a+b)OB∧VB−ab.AB∧(VB−VA).
Le vecteurAB, de longueur constante, est perpendiculaire à (VB−VA), qui a pour mesure AB.rAB, rAB étant la vitesse de rotation du vecteur AB.
AinsiAB∧(VB−VA) = (a+b)2rAB.
Intégrant dans le temps, on obtient pour les surfaces balayées SM = (b.SA+a.SB)/(a+b)−ab.RAB/2,
oùRAB est l’angle total dont a tourné le vecteurAB.
QuandA etB font un tour complet sur la courbeC entourantO,
SA=SB=SC, aire limitée parC,RAB = 2π etSM =SC−πab(théorème de Holditch).
Remarque. Le raisonnement ne suppose pas que A et B ont le même par- cours ; cf. le cas de la “bande de papier” AB traçant pour lieu de M une ellipse d’aireπab, avec SA=SB = 0.
