A4904. Carrément irréductibles ****
Problème proposé par Raymond Bloch A4. Equations diophantiennes
On considère les progressions arithmétiques de trois carrés de fractions irréductibles dont la raison est un entier r compris entre 4 et 9
(4 ≤ r ≤ 9). Pour quelle(s) valeur(s) de r de telles progressions existent-elles ? Justifiez vos réponses.
PROPOSITION Th Eveilleau
La seule solution possible est r = 6.
Une solution avec les fractions 1 / 2 puis 5/2 et 7/2 . Nous avons : 49/4 = 6 + 25/4 ET 25/4 = 6 + 1 / 4
COMPLETER les solutions avec DIOPHANTE : r=5 puis r=7.
Cf remarque et explication finale de Diophante (*)
Explication pour r=6 et décomposition en produit d’entiers :
SOIT :A = a/b la première fraction ; B = c/d la deuxième fraction ; C = e/f la troisième fraction.
Soit r la raison de la progression arithmétique du texte.
4<=r<=9
Alors B² – A² = r
D’où (B-A) * (B+A) = r (*)
Nous allons étudier les différentes décompositions des entiers de 4 à 9 en produit de deux facteurs.
Ce sont : 4 = 1* 4 = 2² 5 = 1 * 5 6 = 1* 6 = 2 * 3 7 = 1 * 7 8 = 1 * 8 = 2 * 4 9 = 1 * 9 = 3² B-A ≠ B+A
1°) Ceci nous permet
d’éliminer les décompositions avec carrés : 3² pour 9 et 2² pour 4.2°) Regardons les produits obtenus avec l’unité : 1*r
Nous aurons avec la relation (*) :B – A = 1 ET B+A = r
donc B = A+1 ET 2*A +1 = r soit A = (r -1) /2
Comme A est une fraction irréductible, A ne peut être entier et r doit être pair pour que soit possible.
On élimine les produits 1*5, 1*7, et 1*9.
r est pair.
Restent donc avec le facteur 1, les décompositions 1*4, 1*6 et 1*8
Cas r = 4
= 1 * 4 Alors B-A=1 et B+A=4 ; nous aurons : A = 3/2 ; B=A+1 =5/2.
Nous avons les mêmes relations entre C et B.(puisque le cas 2*2 a été éliminé précédemment).
Cela nous mène à C = B+1 = 7/2.
Alors A² = 9/4, B²=25/4 et C² = 49/4
On a bien B² - A² = r, MAIS C² - B² = 49/4-25/4 = 24/4 = 6 ≠ 4.
Nous éliminons le cas 1* 4,
Comme 2*2 a déjà été éliminé, 4 est éliminé.
Considérons le cas r = 8
= 1 * 8 = 2 * 4SI B-A=1 et B+A=8
nous aurons : B = A + 1 2A+1 = 8 A = 7/2B=A+1 =9/2.
Nous pouvons avoir entre C et B : a) C – B = 1 et C + B = 8
Cela nous mène à C = B+1 = 11/2 mais alors C # 8 –B Et A² = 49/4, B²=81/4 et C² = 121/4
On a bien B² - A² = r, MAIS C² - B² = 121/4-81/4 = 40/4 = 10 ≠ 8.
Nous éliminons ce cas . b) C - B =2 et C + B = 4
Cela nous mène à C = B+2 = 11/2 MAIS C ≠ 4 - B Alors A² = 49/4, B²=81/4 et C² = 121/4
On a bien B² - A² = r, MAIS C² - B² = 121/4-81/4 = 40/4 = 10 # 8.
Nous éliminons ce cas.
SI B-A=2 et B+A=4 nous aurons
:B-A=2 et B+A=4 ; nous aurons :
2A+2 = 4 A = 1 c’est impossible car A est une fraction irréductible.
Cas r = 8 ÉLIMINÉ.
Considérons le cas r = 6
= 2 * 3 SI B-A=2 et B+A=3
nous aurons : B = A +2 2A+2 = 3 A = 1/2B = A+2 = 5/2.
Nous pouvons avoir entre C et B : C = B + 2 ;
Cela nous mène à C = B+2 = 9/2 Cela ne marche pas MAIS
Nous pouvons avoir C – B = 1 et C + B = 6 C=7/2 et on a bien 7/2 + 5/2 = 6 La solution unique possible est r = 6 avec A=1/2 ; B = 5/2 et C = 7/2.
Ces trois fractions ont pour carrés : 1/4 ; 25/4 et 81/4
qui sont tels que : 25/ 4 = 6 + 1/4 ET 81/ 4 = 6 + 25/4.
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(*) Il existe également des solutions avec r=5 et r=7.
En effet, la décomposition en produit n’est pas forcément obtenue avec des nombres entiers…
avec r = 5, selon les notations précédentes A=a/b, B=c/d, C=e/f, il est naturel de chercher une solution dans laquelle les dénominateurs sont identiques b = d = f.
D’où les deux équations a²/b² + 5 = c²/b² = e²/b² – 5 ou encore a² + 5b² = c² = e² – 5b². Il s’agit alors de trouver trois carrés parfaits a², c² et e² en progression arithmétique tels que la raison divisée par 5 est elle-même égale à un carré parfait. Un tableur ou un mini-programme ad hoc donne a = 31, c = 41 et e = 49 avec b = 12 (31² = 961, 961 + 720 = 1681 = 41² et 1681+ 720 = 2401 = 49²)
Les solutions pour r = 5 ne sont pas légion.
Les suivantes ont de quoi nous faire fuir : 113279/1494696, 3344161/1494696 et 47128001/1494696 puis des fractions avec numérateur et dénominateur ont 15 chiffres!
Notons que ce problème fait intervenir les nombres appelés “congruents” qui font l’objets d’analyses variées accessibles sur Internet
https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_congruent
http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/ugradnumthy/congnumber.pdf sans oublier la “Bible” de W. Sierpinski sur la théorie des nombres:
https://books.google.fr/books?id=ktCZ2MvgN3MC&pg=PA63&lpg=PA63&dq=congruent+numbers+si erpinski&source=bl&ots=DuCzYbrsOW&sig=m4VaU5TPBVJMzsSHG5b7nkOm1tU&hl=fr&sa=X&ved=0 ahUKEwj57fy83IraAhWG16QKHf3KAskQ6AEINTAB#v=onepage&q=congruent%20numbers%20sierpin ski&f=false
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