Enoncé D1956 (Diophante) Promenade nagelienne
Deux côtés d’un triangle acutangle ABC ont pour longueur l’un 11 et l’autre 10. Le point de concours des trois céviennes qui aboutissent aux points de contact des côtés du triangle avec les cercles exinscrits est sur le cercle inscrit. Calculer la longueur du troisième côté.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soient a, b = 11, c = 10 les longueurs des côtés BC, CA, AB respective- ment. Le demi-périmètre estp = (a+b+c)/2. SoientD, E, F les points de contact avec BC, CA, AB des cercles exinscrits dans l’angle A, B, C respectivement.
On aBF =CE=p−a=l,CD =AF =p−b=m,AE =BD=p−c= n,p=l+m+n,a=m+n,b=n+l,c=l+m.
En coordonnées barycentriques de baseA, B, C, les céviennesAD, BE, CF ont respectivement pour équation yn = zm,zl =xn,xm = yn. Elles se coupent au pointN(l, m, n).
Tout cercle a une équation de la forme
−a2yz−b2zx−c2xy+ (x+y+z)(ux+vy+wz) = 0,
la droite d’équation ux+vy+wz = 0 étant l’axe radical de ce cercle et du cercle (O) circonscrit au triangle ABC.
Pour le cercle inscrit à ce triangle, on au=l2,v=m2,w=n2; en effet, on a alors
−a2yz−b2zx−c2xy+ (x+y+z)(l2x+m2y+n2z) =
=l2x2+m2y2+n2z2−2mnyz−2nlzx−2lmxy,
et l’intersection avec (BC) (d’équation x = 0) est le point double my− nz= 0, à distance m de B et nde C. De même pour les autres côtés.
Pour queN appartienne au cercle inscrit, il faut et il suffit que l4+m4+n4−2m2n2−2n2l2−2l2m2 = 0.
Cette condition exprime que le triangle de côtésl, m, nest plat (aire nulle).
Ainsi chaque côté est somme ou différence des deux autres.
Sil=m+n=a,a=p−a, 4a= 2p=a+b+c eta= (b+c)/3 = 7.
Sil=|m−n|=|c−b|= 1,a=p−|b−c|, 2a= 2p−2|b−c|=a+b+c−2|b−c|, a=b+c−2|b−c|= 19.
Le triangleABCétant acutangle, la solution qui convient est celle comprise entrep|b2−c2|= 4,5. . .et√
b2+c2 = 14,8. . .soita= 7.
