Soit Γ l’arc paramétré défini en coordonnées polaires par :

PanaMaths

[ 1-4 ]

Mars 2012

Soit Γ l’arc paramétré défini en coordonnées polaires par :

( )

r θ = e

^θ

Calculer, lorsque c’est possible, la courbure et le centre de courbure en

( )

M θ . Préciser le lieu des centres de courbure.

Analyse

L’arc est défini en coordonnées polaires. On note immédiatement que le rayon ^r

( )

^{θ ne peut}

s’annuler et on établit facilement que tous les points de l’arc sont biréguliers.

Résolution

On note d’abord que r est définie pour toute valeur de θ. Par ailleurs, on a immédiatement : ^r

( )

^{θ =r'}

( )

^{θ =r''}

( )

^{θ =eθ.}

Alors :

( ) ( )

2 2

OM '

d r u r u e u u

d

θ θ π θ θ θ π

θ θ

θ ^{+ +}

⎛ ⎞

= + = ⎜ + ⎟

⎝ ⎠

JJJJG

G G G G

qui donne OM d 2

d e

θ

θ ⁼ JJJJG

.

Et

2 2

2 2 2

OM 2

d e u u e u u e u

d

θ θ θ

θ θ π θ π θ π θ π

θ ^{+ + + +}

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟+ ⎜ + ⎟=

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

JJJJG

G G G G G

.

D’où :

2

2 2

OM OM 0

det , 2

2 d d e

d d e e e

θ θ

θ θ

θ θ

⎛ ⎞

= =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

JJJJG JJJJG

On en déduit immédiatement que tous les points de l’arc sont biréguliers.

PanaMaths

[ 2-4 ]

Mars 2012

Il vient alors :

( ) ( ( ) ) ( ^{( )} ) ^{( ) ( )} ( ( ) ) ( ^{( )} )

2 2

3

2 2 2

2 2 3

2 3 2 3

2 ' '

'

OM OM

det ,

OM 2

2 1 2

r r r r

c

r r

d d

d d

d d e

e e

θ

θ

θ

θ θ θ θ

θ

θ θ

θ θ

θ

+ −

=

⎡ + ⎤

⎣ ⎦

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

=

=

JJJJG JJJJG

JJJJG

( )

¹

c 2

e^θ θ =

D’où le rayon de courbure ^R

( )

θ :

( )

R θ = 2e^θ

Le centre de courbure Ω est donné par la relation MJJJJGΩ =RNG . En tenant compte de ^OMJJJJG=^r

( )

θ ^uGθ

et

( ) ( )

2

OM '

d r u r u

d θ ^θ θ ^{θ π}

θ ^{= + +}

JJJJG

G G

, on a :

( ( ) )

²

( ^{( )} )

²

^{( ) ( )}

²

OM OM 1

T '

'

d d d

r u r u

ds ds d r r

θ θ π

θ θ θ

θ θ θ ⁺

⎡ ⎤

= = = ⎢ + ⎥

⎣ ⎦

+

JJJJG JJJJG

G G G

Ici :

(

^r

( )

^θ

)

²⁺

(

^r'

^{( )}

^θ

)

^{2 = 2e2θ = 2eθ. D’où :}

2 2

1 1

T

2 e u e u 2 u u

e

θ θ

θ π θ π

θ θ+ θ+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟= ⎜ + ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

G G G G G

Le vecteur étant l’image du vecteur TG

par la rotation d’angle de mesure 2

+π , il vient :

2 2 2 2 2

1 1 1

N 2 u _π u _{π π} 2 u _π u_{θ π} 2 u_θ u _π

θ+ θ+ + θ+ ⁺ θ+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟= ⎜ + ⎟= ⎜− + ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

G G G G G G G

PanaMaths

[ 3-4 ]

Mars 2012

Puis :

2 2

RN 2 1 2

e^θ u_θ u _π e^θ u_θ u _π

θ+ θ+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= × ⎜− + ⎟= ⎜− + ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

G G G G G

Finalement :

2

2

M RN

O OM RN

O

O

e u e u u

e u

θ θ

θ θ θ π

θ θ π +

+

Ω =

⇔ Ω = +

⎛ ⎞

⇔ Ω = + ⎜− + ⎟

⎝ ⎠

⇔ Ω =

JJJJG G

JJJG JJJJG G

JJJG G G G

JJJG G

2

O e u^θ _π

θ+

JJJGΩ = G

On en tire immédiatement que le point ^{Ω = Ω}

( )

^θ est l’image du point ^M=M

( )

^{θ par la}

rotation de centre O et d’angle de mesure 2 +π .

On a : ²

2

O e u e u

α π

θ θ π α

−

Ω = + =

JJJG G G

avec

2 α θ= +π .

On en déduit que le point Ω appartient à l’arc d’équation ^r

( )

^{θ =eθ−π2}, obtenu comme image de l’arc Γ par la rotation de centre O et d’angle de mesure

2 +π .

Réciproquement, tout point P de l’arc d’équation polaire ^r

( )

θ =^eθ−π2 est centre de courbure d’un point de l’arc Γ : ce point est l’image de P par la rotation de centre O et d’angle de mesure

2

−π .

L’ensemble des centres de courbure de l’arc Γ est l’arc image de Γ par la rotation de centre O et d’angle de mesure

2

+π . Il admet pour équation polaire : ^r

( )

θ =^eθ−π2.

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[ 4-4 ]

Mars 2012

Résultat final

Les points de l’arc Γ défini par :

( )

r θ =e^θ

sont tous biréguliers. En un point quelconque ^M

( )

^θ de cet arc, la courbure est donnée par :

( )

¹

2 c

e^θ θ =

et le centre de courbure Ω :

2

O e u^θ _π

θ+

JJJGΩ = G

Complément

A titre de complément, nous fournissons ci-dessous une représentation de l’arc Γ (en bleu) et, en un de ses points biréguliers, le cercle osculateur (en rouge) à l’arc en ce point, c'est-à-dire le cercle de centre Ω et de rayon 2e^θ. On a également (en vert) l’ensemble des centres de courbure.