Arc-en-ciel

ARC−EN−CIEL

3) a .1^ère loi de Descartes pour la réfraction: le plan de réfraction (OA,AB) est confondu avec le plan d'incidence.

b. L'angle d'incidence en B est égal à r.

Or la première réfraction implique que rλ. Donc pas de réflexion totale en B.

c.

AB et BC sont symétriques par rapport à OBD:

ADB= BDC=r−i−r =2r−i α= ADC=22 r−i =4 r−2 i.

d. α=4arcsin



^{sin in}



−2i car sin i=nsin r.

e. Etude des variations deα en fonction de i pour n constant : n= 4 3. α. Si Ax' est tangent à la sphère alors i= π

2 et si Ax' est confondu avec X'X alors i = 0.

β.



^∂α∂r



n

=4



^∂i∂i



n

−2 or cosi=n cos r



^∂∂ir



n

⇒



^∂α∂i



n

= 4 n

cos i

cos r−2= 4 n

cos i



^{1−sin in22−2=4}

cos i



^{n2−sin2i−2.}



^∂∂αi



n

=0 ⇒ 2 cos i=



^{n2−sin2i ; 4 cos2i=n2−sin2i ; 3 cos2i=n2−1; cos2i= n2}₃^{−1; cos i=}



^{n2−13 .}

γ. cosi_max=



¹³

^

^{169 −1}

^

⁼

^

^{277 ; imax=arccos}

^

^{277 =59,39° ;}

r_max=arcsin



³4 sin i_max



^{=40,20° ;}

α_max=2



^{2 r}max−i_max



^=42,03°.

i 0 15 30 45 60 75 90

r 0 11,19 22,02 32,03 40,50 46,42 48,59 α 0 14,77 28,10 38,11 42,02 35,69 14,36 f . Etude des variations deα en fonction de n pour i constant . α.



^∂∂^αn



_i⁼⁴



^∂∂nr



i

avec sin i=n sin r ⇒ 0=sin rn cos r



^∂∂nr



i

:



^∂∂nr



i

= −1 ntan r.



^∂∂^αn



i

=−4

ntan r= −4 n

sin i



^{n2−sin2i0.}

β.



^∂∂αλ



i

=



^∂∂αn



i

. d n

dλ. Or nλ est décroissante donc d n

dλ0 d 'où



^∂∂αλ



i

0.

γ. cos²i_max= n²−1

3 =1−sin²i_max  sin²i_max= 4−n² 3 . α_max=2



^2arcsin

^

¹ⁿ

_

⁴⁻³ⁿ²

^

^−arcsin

_

⁴⁻³ⁿ²



^.

pour le rouge: n =1,331  αmax=42,37° extérieur de l 'arc

pour le violet: n =1,337  α_max=41,50 ° intérieur de l 'arc

A

X' O

B

X x'

y i

r

C

r

D α

r

r

i

0 15 30 45 60 75 i 45

30 15 α