ARC−EN−CIEL
3) a .1ère loi de Descartes pour la réfraction: le plan de réfraction (OA,AB) est confondu avec le plan d'incidence.
b. L'angle d'incidence en B est égal à r.
Or la première réfraction implique que rλ. Donc pas de réflexion totale en B.
c.
AB et BC sont symétriques par rapport à OBD:
ADB= BDC=r−i−r =2r−i α= ADC=22 r−i =4 r−2 i.
d. α=4arcsin
sin in
−2i car sin i=nsin r.e. Etude des variations deα en fonction de i pour n constant : n= 4 3. α. Si Ax' est tangent à la sphère alors i= π
2 et si Ax' est confondu avec X'X alors i = 0.
β.
∂α∂r
n=4
∂i∂i
n−2 or cosi=n cos r
∂∂ir
n⇒
∂α∂i
n= 4 n
cos i
cos r−2= 4 n
cos i
1−sin in22−2=4cos i
n2−sin2i−2.
∂∂αi
n=0 ⇒ 2 cos i=
n2−sin2i ; 4 cos2i=n2−sin2i ; 3 cos2i=n2−1; cos2i= n23−1; cos i=
n2−13 .γ. cosimax=
13
169 −1
=
277 ; imax=arccos
277 =59,39° ;rmax=arcsin
34 sin imax
=40,20° ;αmax=2
2 rmax−imax
=42,03°.i 0 15 30 45 60 75 90
r 0 11,19 22,02 32,03 40,50 46,42 48,59 α 0 14,77 28,10 38,11 42,02 35,69 14,36 f . Etude des variations deα en fonction de n pour i constant . α.
∂∂αn
i=4
∂∂nr
iavec sin i=n sin r ⇒ 0=sin rn cos r
∂∂nr
i:
∂∂nr
i= −1 ntan r.
∂∂αn
i=−4
ntan r= −4 n
sin i
n2−sin2i0.β.
∂∂αλ
i=
∂∂αn
i. d n
dλ. Or nλ est décroissante donc d n
dλ0 d 'où
∂∂αλ
i0.
γ. cos2imax= n2−1
3 =1−sin2imax sin2imax= 4−n2 3 . αmax=2
2arcsin
1n
4−3n2
−arcsin
4−3n2
.pour le rouge: n =1,331 αmax=42,37° extérieur de l 'arc
pour le violet: n =1,337 αmax=41,50 ° intérieur de l 'arc
A
X' O
B
X x'
y i
r
C
r
D α
r
r
i
0 15 30 45 60 75 i 45
30 15 α