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Arc-en-ciel

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

ARC−EN−CIEL

3) a .1ère loi de Descartes pour la réfraction: le plan de réfraction (OA,AB) est confondu avec le plan d'incidence.

b. L'angle d'incidence en B est égal à r.

Or la première réfraction implique que rλ. Donc pas de réflexion totale en B.

c.

AB et BC sont symétriques par rapport à OBD:

ADB= BDC=r−i−r =2r−i α= ADC=22 r−i =4 r−2 i.

d. α=4arcsin

sin in

−2i car sin i=nsin r.

e. Etude des variations deα en fonction de i pour n constant : n= 4 3. α. Si Ax' est tangent à la sphère alors i= π

2 et si Ax' est confondu avec X'X alors i = 0.

β.

∂αr

n

=4

∂i∂i

n

−2 or cosi=n cos r

∂ir

n

∂αi

n

= 4 n

cos i

cos r−2= 4 n

cos i

1−sin in22−2=4

cos i

n2−sin2i−2.

αi

n

=0 ⇒ 2 cos i=

n2−sin2i ; 4 cos2i=n2−sin2i ; 3 cos2i=n2−1; cos2i= n23−1; cos i=

n2−13 .

γ. cosimax=

13

169 −1

=

277 ; imax=arccos

277 =59,39° ;

rmax=arcsin

34 sin imax

=40,20° ;

αmax=2

2 rmax−imax

=42,03°.

i 0 15 30 45 60 75 90

r 0 11,19 22,02 32,03 40,50 46,42 48,59 α 0 14,77 28,10 38,11 42,02 35,69 14,36 f . Etude des variations deα en fonction de n pour i constant . α.

αn

i=4

nr

i

avec sin i=n sin r ⇒ 0=sin rn cos r

nr

i

:

nr

i

= −1 ntan r.

αn

i

=−4

ntan r= −4 n

sin i

n2−sin2i0.

β.

αλ

i

=

αn

i

. d n

dλ. Or nλ est décroissante donc d n

dλ0 d 'où

αλ

i

0.

γ. cos2imax= n2−1

3 =1−sin2imax  sin2imax= 4−n2 3 . αmax=2

2arcsin

1n

4−3n2

arcsin

4−3n2

.

pour le rouge: n =1,331  αmax=42,37° extérieur de l 'arc

pour le violet: n =1,337  αmax=41,50 ° intérieur de l 'arc

A

X' O

B

X x'

y i

r

C

r

D α

r

r

i

0 15 30 45 60 75 i 45

30 15 α

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