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èreL Repérage dans le plan et dans l’espace
Dans ce chapitre, il n’y a pas de formule, en particulier, il n’y aura pas de formules dans l’espace.
On va d’abord reprendre le cas du plan à 2 dimensions (2D) puis on passera à l’espace à 3 dimensions (3D).
I. Repérage cartésien des points du plan (rappels) 1°) Comment définir un repère du plan
On doit se donner un point O (origine du repère) et 2 axes passant par O.
2 dimensions 2°) Représentation conventionnelle
x y
O I
J
M
On prend usuellement un axe horizontal et un axe vertical.
Chaque axe est gradué (flèche d’orientation positive).
Les points I et J sont les points unités sur chaque axe.
Le repère est noté (O, I, J).
On peut repérer tous les nombres sur les axes.
O correspond à 0 ; I et J correspondent à 1.
On peut repérer où sont les nombres positifs et où sont les nombres négatifs sur chaque axe.
3°) Repérage des points
Chaque point M du plan est repéré par deux nombres x et y appelés coordonnées cartésiennes de M.
x : abscisse de M ; y : ordonnée de M.
On note M(x ; y) (qui se lit « le point M de coordonnées x et y »).
L’invention des coordonnées dans le plan est due à Descartes (mathématicien, physicien et philosophe du XVIIe siècle, célèbre entre autres pour son Discours de la méthode publié en 1637).
La légende raconte que l’idée lui en serait venue en regardant se déplacer une mouche sur les carreaux d’une vitre.
Sa découverte eut un retentissement énorme en géométrie : elle est à l’origine du développement de la géométrie analytique c’est-à-dire avec les coordonnées.
En hommage à Descartes, on parle de repère cartésien et de coordonnées cartésiennes.
II. Repérage cartésien dans l’espace 1°) Comment définir un repère du plan
On doit se donner un point O (origine du repère) et 3 axes passant par O.
3 dimensions 2°) Représentation conventionnelle
Comment représenter un repère dans l’espace 2 axes
Changement par rapport à la 2D (axes Ox et Oy dans ce plan)
O J I
Angle droit dans la réalité.
Angle de 110° - 120° (comme on veut) sur le dessin Eviter angle de 135° (tentant quand on a des carreaux)
Cf. boîte parallélépipédique :
Les angles droits codés sur la figure sont droits dans la réalité (mais ne sont pas droits sur la figure).
On trace un 3e axe perpendiculaire à (OI) et à (OJ).
Problème de la représentation en 3D ; on utilise la perspective cavalière.
On va représenter un plan horizontal (représentation conventionnelle en parallélogramme).
Dans ce plan, on représente deux axes orthogonaux.
On représente ensuite un axe vertical.
axe des abscisses
axe des ordonnées axe des cotes
I
J K
O
Le repère est noté (O, I, J, K).
Chaque axe est gradué ; il y a des nombres positifs et des nombres négatifs.
On peut repérer où sont les nombres positifs et où sont les nombres négatifs sur chaque axe grâce à l’origine O et aux flèches.
L’axe des abscisses est tracé « de travers » ; on fait une droite « de travers » « au hasard ».
Si on regarde au-dessus, voici ce que l’on voit :
O ordonnée
abscisse
Plan (xOy) auquel on est habitué.
Autre vision car d’ordinaire, on n’a pas l’habitude que les axes soient placés ainsi.
L’axe des abscisses en diagonale : on peut avoir des configurations un peu spéciales.
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3°) Repérage des points
Chaque point M de l’espace est repéré par 3 nombres x, y, z appelés coordonnées de M.
On note M(x ; y ; z) (qui se lit « le point M de coordonnées x, y, z »).
x : abscisse de M y : ordonnée de M z : cote de M
Ordre de lecture des coordonnées : 1) l’abscisse ;
2) l’ordonnée ; 3) la cote.
Pas de formule dans l’espace au programme de 1ère L.
Attention : Quand on a deux coordonnées nulles, le point est situé sur l’un des axes de coordonnées.
III. Comment placer des points dans un repère 1°) Dans le plan
Vu au collège.
2°) Dans l’espace Exemple 1 :
Placer le point A de coordonnées (3 ; 5 ; 4).
Méthode :
Pour placer le point A dans l’espace, on effectue un trajet à partir du point O.
axe des abscisses
axe des ordonnées axe des cotes
I
J K
O 3
5 4
A
Explication :
➀ On fait 3 unités suivant l’axe (OI) dans le sens positif.
On arrive en un point.
➁ On repart de ce point en effectuant 5 unités parallèlement à l’axe (OJ) dans le sens positif.
On arrive en un nouveau point.
➂ On repart de ce point en effectuant 4 unités parallèlement à l’axe (OK) dans le sens positif.
On arrive au point A.
Autre explication :
En horizontal, on compte 3 unités selon l’axe (OI).
Ensuite, on compte 5 unités selon l’axe (OJ).
Enfin, on monte à 4 unités.
Attention : pas d’addition des coordonnées.
Traces laissées pour la construction :
- pointillés suivant les axes (éventuellement parallélogramme dans le plan horizontal).
- valeurs des coordonnées suivant les axes.
Exemple 2 :
Placer le point A de coordonnées (3 ; 5 ; –2).
O
3
5
A I
J K
IV. Lignes de niveau 1°) Courbes d’altitude
N
O E
|–––|
1 km
S
Tous les points qui sont sur une même ligne sont à la même altitude, du moment qu’ils sont posés sur le sol (ce serait faux pour un avion ou pour un oiseau par exemple).
–2 –2
Exemple :
Le point M est à l’altitude 250 m.
Le point M’ est à l’altitude 100 m.
Entre les deux points, il y a une différence d’altitude de 250 –100 m = 150 m (dénivelé ou dénivellation).
La distance MM’ peut être évaluée sur la carte à vol d’oiseau en tenant compte de l’échelle.
Ce n’est pas la distance réelle.
L’altitude du point M’’ est comprise entre 150 m et 200 m.
2°) Courbes de profondeur
N
O
0 Terre –50 –100
–150 E
S
Un voilier sur la mer est à l’altitude 0.
3°) Liens avec les coordonnées cartésiennes dans l’espace
x y
O
L’axe (Oz) est vu de dessus, ce qui explique qu’on ne le voit pas ; on voit le plan (xOy).
Les altitudes et les profondeurs correspondent à la 3e coordonnée des points (avec l’axe (Oz) non représenté).
Les axes sont souvent donnés par axe Nord-Sud ; axe Est-Ouest.
L’axe qu’on ne voit pas est l’axe des altitudes.
V. Le théorème de Pythagore 1°) Enoncé 1
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
2°) Enoncé 2
ABC est un triangle.
Si ABC est rectangle en A, alors BC2AB2AC2.
hypoténuse (le côté le plus long)
A B
C
3°) Utilisation dans un pavé droit (voir exercice)
VI. Echelle sur une carte 1°) Définition
L’échelle d’une carte est le rapport défini par : distance sur la carte distance réelle
e , les deux distances étant
exprimées dans la même unité.
2°) Exemple
Une carte est donnée à l’échelle 1 50 000.
Sur une carte, la distance entre deux points mesure 3 cm.
Quelle est la distance réelle entre les deux points ?
On peut écrire : 1 3
50 000distance réelle. On effectue les produits en croix.
1 distance réelle 50 000 3 distance réelle150 000cm distance réelle 1, 5 km
VII. Coupes de terrain Voir exercices.
Appendices
I. Les grands domaines des mathématiques et le pont de Descartes II. Images en 3D
1. Livre de seconde collection Math’x page 287
Comment représenter le David de Michel Ange dans une application multi-média ?
Une technique très utilisée consiste à approcher la surface par un maillage formé de petits triangles. Plus le nombre de triangles est grand, plus la représentation est précise, mais les capacités d'un ordinateur, aussi puissant soit-il, sont limitées en stockage, mémoire et puissance de calcul.
Une carte graphique moderne peut afficher 180 millions de triangles par seconde – voire plusieurs millions pour des simulateurs de vols !
Pour le David de Michel-Ange, 700 000 triangles et 350 000 sommets suffisent pour reconnaître la statue dans une application multimédia, mais il en faut près de 2 milliards si l'on souhaite retrouver les traces de l'outil utilisé par le sculpteur !
Source : P. Alliez, INRIA, Sophia Antipolis Méditerranée
2. Des atomes au ballon rond ?
3. Synthèse d’images 3D (images de synthèse) : voir article « Infographie 3D » sur Wikipedia
4. Dossier Pour la Science N°52 - juillet - septembre 2006 Détails du David sur silicium
P.Alliez INRIA Sophia-Antipolis
5. THÈSE DE L'UNIVERSITÉ DE LYON Algorithmes et structures de données ...
6. Des atomes au ballon rond (Math’x seconde page 281)
Découverts en 1985, les fullerènes sont des molécules composées d’atomes de carbone. Le fullerène C60 représenté ici est composé de 60 atomes de carbone. Il a la même structure qu’un ballon de football avec 12 anneaux pentagonaux et 20 hexagonaux !
Le ballon n’a en effet de rond que le nom…
Voici un de ses patrons :
Coordonnées dans l’espace : figure animée de très bonne qualité sur le site de Daniel Mentrard
Thème de recherche :
Comment calculer des distances inaccessibles (distance de la Terre à la Lune, par exemple) Site : cinemath.chez-alice.fr beaucoup d’activités sur Maths et astronomie.
