Section technicien supérieur Cours de mathématiques
Chapitre 1
Repérage
Motivation :
Aymar de Saint-Seine Année scolaire 2014–2015
1 Repérage dans le plan . . . 2 2 Repérage dans l’espace . . . 2
Chapitre 1 Repérage
1. Repérage dans le plan
Théorème 1 :
Le plan est muni d’un repère cartésien (c’est-à-dire orthonormé direct) (O;~i,~j).
Pour tout point M(x;y) du plan distinct de l’origine, il existe un couple de réels (r;θ) vérifiant :
• r est la distance OM. C’est un réel positif ou nul, et est unique.
• θ est une mesure de l’angle orienté (→i;−OM−−−−−−→. C’est un réel quelconque
Deux arguments d’un même point M diffèrent d’un certain nombre de fois 2π.
Comme les mesures d’angles orientés, les arguments sont définis modulo 2π.
Définition 1 :
Le couple(r;θ) constitue les coordonnées polaires de M dans le repère polaire O;→i). Le couple (x;y) sont ses coordonnées cartésiennes dans le repère (O;~i,~j).
Repérage cartésien Repérage polaire
0 →u
→v
M
x y
0 →u
→v
M(z)
θ
r
Si on connait les coordonnées polaires
x = rcosθ y = rsinθ
Si on connait les coordonnées carté- siennes
r =qx2+y2
|θ|= tan−1(y
x) et est du signe de x.
2. Repérage dans l’espace
http://lyceeenligne.free.fr 2
Remarques : on a r>0,ρ>0, π6ϕ 6π et 0 6θ 6π
voirhttp://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Cinematique/coord_sph
• Conversion entre système cartésien et cylindrique :
À partir des coordonnées cartésiennes (x, y, z), on peut obtenir les coordonnées cylindriques (r, ϕ, z) grâce aux formules suivantes :
r=qx2+y2 ϕ= tan−1y x
z =z
Chapitre 1 Repérage
On peut également convertir les coordonnées cylindriques (r, ϕ, z) en coordonnées cartésiennes (x, y, z) grâce aux formules suivantes :
x=rcosϕ y=rsinϕ z =z
• Conversion entre système cartésien et sphérique :
À partir des coordonnées cartésiennes (x, y, z), on peut obtenir les coordonnées sphériques (r, ϕ, θ) grâce aux formules suivantes :
On peut également convertir les coordonnées sphériques (r, ϕ, z) en coordonnées cartésiennes (x, y, z) grâce aux formules suivantes :
x=ρsinθcosϕ (1)
y=ρsinθsinϕ (2)
z =ρcosθ (3)
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