Angles orientés - Repérage polaire + Correction

(1)

Classe de première S Année scolaire 2007-2008

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Exercices : Trigonométrie-Angles orientés - Coordonnées polaires Exercice 1

AOI est un triangle équilatéral direct tel que :

) 3

;

(_AO_AI ₌

π

, les triangles OIJ et IBA sont rectangles isocèles directs respectivement en O et en I

1) Calculer la mesure de chacun des angles géométriques : JÂO, OÂI et IÂB.

2)a) Déduisez-en une mesure de l’angle (AJ;AB) b) Que pouvez-vous dire des points A, B, J ? Exercice 2

C est le cercle trigonométrique associé au repère orthonormal ( O ;OA;OB). M est un point de C tel que : (OA;OM ) = x.

1) Placez sur C le point M tel que : sin x = 3

1_{avec x ∈[}

π

_;

π

2 ^].

2) Calculez : cos x , cos (

π

2_{+x ), sin(}

π

2+x ), cos (

π

^{+x ), sin(}

π

^+x) 3) Calculer : tan x, tan (

π

2_{+x), tan (}

π

^+x).

Exercice 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; i ; j

) Les points A et B ont pour coordonnées cartésiennes respectives ( 3 ; 1) et (-1 ; 3 ).

1) Calculer les coordonnées polaires de A et B.

2) Utilisez la relation de Chasles pour calculer une mesure de (OA;OB) 3) Déduisez-en la nature du triangle AOB.

Correction Exercice 1

Figure :

(2)

Notation: Pour A, B, C des points quelconques, l'angle orienté (AB ; AC) est noté : ABC.

1) Le triangle est isocèle en O, les angles OJA et JAO sont égaux.

on a , on en déduit

2 3

JAO J OI ₌

π

AOI ₌

π

que soit JOA .

2 3 6

5 5

2 d'où : 2 .

6 6 12

le triangle OAI est équilatéral donc . 3

Comme le triangle IBA est isocèle rectangle en I, alors : les angles IAB et IBA J OA J OI AOI

J AO J OA J AO J AO

O AI

π π π

π π

π

= − = − =

+ = = − = ⇔ =

=

sont égaux.

D'où: 2 .

2 4

2) En utilisant la relation de Chasles, on a:

anisi on a: 5 .

12 3 4

Avec la notation des vecteurs on a:

( ; ) , ( ;

I AB I AB

J AB J AO O AI I AB J AB J AB

J AB AJ AB J AO AJ AO

π π π

π π π π

+ = ⇔ =

= + + = + + ⇔ =

= =

) , ( ; ) , ( ; )

( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )

( ; ) donc les points A,B et J sont alignés.

AI AI A

O AI AO AI I AB AI AB

AJ AO AO AB AJ AB AJ AB

AJ AB

O AO

π

= =

+ + = + =

=

Exercice 2

2 2 2 2

2

On pose ( ; ) 1) Figure ci-contre

2) sin 1 avec ;

3 2

comme cos sin 1, cos 1 sin

1 8 2 2 2 2

soit cos 1 , cos ou cos

9 9 3 3

; cos 0, cos 2 2 .

2 3

cos( ) sin

2

OA OM x

x x

x x alors x x

x x x

x x donc x

x

π π

π π π

=

 

= ∈ 

+ = = −

= − = = = −

 

∈ ⇒ < = −

+ = − 1

cos( ) .

2 3

sin( ) cos sin( ) 2 2.

2 2 3

sin( ) sin sin( ) 1.

3

x x

x x x

π

π π

⇒ + = −

+ = ⇒ + = −

+ = − ⇒ + = −

(3)

sin 1 3 2

3) tan tan .

cos 3 2 2 4

sin( )

2 2 2

tan( ) 3 tan( ) 2 2

2 3 2

cos( )

2

tan( ) tan tan( ) 2

4

x x x

x

x x

x

x x x

π π π

π

π π

= = × − ⇔ = −

+ −

+ = = × − ⇔ + =

+

+ = ⇔ + = −

Exercice 3

2) En utilisant la relation de Chasles on a:

( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) 2 ( ; ) .

3 6 2

3)( ; ) or 2, donc le triangle est rectangle

2

OA OB OA i i OB OA OB OA OB

OA OB OA OB OA OB AOB

π π π

π

= + ⇔ = − ⇔ =

= ⇔ ⊥ = =

isocèle en O.

Construction

[ ]

Dans le repère orthonormal ( ; ; ), ( 3;1) et ( 1; 3) Pour tout point du plan on a:

( ; )

;

D'après les relations du cours, on a : cos

sin

O i j A B

M

M x y x et y les coordonnées cartèsiennes M r r et les coordonnées polaires

x r y r

θ θ

θ

−

=

= Application

2. posons ( ; ) et ' ( ; ).

3 1

cos sin donc ainsi on a 2; .

2 2 6 6

1 3 2 2

cos ' sin ' donc ' ainsi on a 2;

2 2 3 3

A A

B B

r OA OB i OA i OB

x y

et A

r r

x y

et B

r r

θ

θ θ

π π

θ θ θ

π π

θ θ θ





= = = = =

 

= = = = =  

 

= = − = = =  

On place les points E et F sur C avec ( ; ) et ( ; ) 2

6 3

A est le symétrique de O par rapport à E B est le symétrique de O par rapport à F

i OE ₌

π

i OF _{= −}