Chapitre 1 – TD 1 GEO 1
Repérage dans le plan
À la fin de ce td, vous devez être capable de :
• de placer un point dont les coordonnées sont données sous forme polaire ou cartésienne ;
• de passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes et réciproquement ;
• d’apercevoir les avantages de chaque type de repérage.
1.1 Coordonnées polaires.
1. Dans un repère polaire (O;→i), placer les points :A[3;−π
4] etB[1 2;−2π
3 ].
2. Représenter l’ensemble des pointsM du plan dont les coordonnées polaires [r;θ] vérifient :
(a)
θ= 5π
6
r∈[1; 3] (b)
θ= 3π
4 r∈[0; +∞[
(c) (π
4 6θ6π 2 r∈[1; 2]
3. SoitC le point de coordonnées [4,π 4].
(a) Déterminer les coordonnées polaires du pointI milieu du segment [OC].
(b) Déterminer les coordonnées polaires du pointD tel que le triangleOCD soit rectangle isocèle direct enD.
1.2 Changement de coordonnées.
Dans un repère orthonormé (O;~i,~j) , on considère les points : A(0; 3) ; B(−2; 0) ; C(−1;−1) ; D(2√
3; 2) ; E(
√3 3 ;−1
3) et F(−√ 3 3 ;−1
3) 1. Placer les pointsA,B,C,D,E etF.
2. Sans faire de calcul, donner les coordonnées polaires des points A, B et C dans le repère polaire (O;→i).
3. Déterminer les coordonnées polaires des pointsD,E etF dans le repère polaire (O;→i).
4. Vérifier vos résultats en calculant les coordonnées cartésiennes des points A, B, C, D,E et F à partir des cooordonnées polaires calculées.
1.3 Avantage d’un repère polaire.
SoitAde coordonnées cartésiennes (0; 3) dans un repère (O;~i,~j).
1. Donner (sans calcul) les coordonnées polaires deAdans le repère polaire (O;→i).
2. En déduire les coordonnées polaires du pointB tel que le triangleOAB soit équilatéral direct.
3. Déterminer les coordonnées cartésiennes deB.
Certains logiciels de calcul formel (ou calculatrice) possède des fonctions pour convertir directements des cooordonnées. Ci-dessous, un exemple avec Xcas (logiciel que nous utiliserons plus tard dans l’année).
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Chapitre 1 – TD 2 GEO 1
Repérage dans l’espace
À la fin de ce td, vous devez être capable de :
• Lire les coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphériques d’un point donné ;
• de passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques ou sphériques et récipro- quement ;
1.4 Lire des coordonnées.
Sur la figure ci-dessous,ABCDEF IJ est un cube etEGHJKLM N est un parallélépipède rectangle tel queHM =CI et JH= 2JI
1. Déterminer les coordonnées cartésiennes des pointsN ,G, Det A: (a) dans le repère (J;−JD;−−→ −JI;→ −JE).−→
(b) dans le repère (N;−N D;−−−→ −N M−−−−→;−N K−−−→).
(c) dans le repère (H;−HG;−−−→ −HM;−−−−→ −HI−→).
2. Déterminer des coordonnées cylindriques des points C, B, I, F, K, D et L dans le repère (J;−JD;−−→ −JI;→ −JE).−→
3. Déterminer des coordonnées sphériques des pointsN,H,A,E,K,FetGdans le repère (J;−JD;−−→ −JI;→ −JE).−→ 1.5 Changement de coordonnées.
1. SoitAle point de coordonnées cylindriquesρ=√
3 ,θ=−π
3 etz= 1.
(a) Faire un schéma et placer les valeurs deρ,θet z.
(b) Donner les coordonnées cartésiennes du pointA.
(c) Donner les coordonnées sphériques du pointA.
2. SoitB le point de coordonnées sphériques :r= 4 , θ= π
6 etϕ= 2π 3 . (a) Faire un schéma et placer les valeurs der,θ etϕ.
(b) Donner les coordonnées cartésiennes du pointB. (c) Donner les coordonnées cylindriques du pointB.
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Chapitre 1 – TD 2 GEO 1
Repérage dans l’espace–Corrigé
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1.
(J;−JD;−−→ −JI→;−JE)−→ (N;−N D;−−−→ −N M;−−−−→ −N K)−−−→ (H;−HG;−−−→ −HM−−−−→;−HI)−→
N (-1 ;0 ;0) (0 ;0 ;0) (0 ;1 ;2)
G (0 ;2 ;1) (0.5 ;1 ;1) (1,0,0)
D (1 ;0 ;0) (1 ;0 ;0) (0 ;-1 ;2)
A (1 ;0 ;1) (1,0,1) (1 ;-1 ;2)
2. C= (√ 2,π
4,0).
B= (√ 2,π
4,1).
I= (1,π 2; 0).
F = (1;π 2; 1).
K= (1;π; 1).D= (1; 0; 0).
L= (√ 5;π
2 + tan−1(1 2); 1).
3. N = (1;π;π 2).
H = (2;π 2;π
2).
A= (√ 2; 0;π
4).
E= (1; 0; 0).
K= (√ 2;π;π
4).
F = (√ 2,π
2;π 4).
G= (√
5; tan−1(2);π 2).
Utiliser Xcas pour les conversions.
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1. SoitAle point de coordonnées cylindriquesρ=√
3 ,θ=−π
3 etz= 1.
Coordonnées cartésiennes :
x =ρcosθ=√
3 cos(−π 3) =
√3 2 . y =ρsinθ=√
3 sin(−π 3) =−3
2. z =z= 1
(x; y ; z) = (
√3 2 ; −3
2 ; 1) Coordonnées sphériques :
r=p
x2+y2+z2= r
(
√3
2 )2+ (−3
2)2+ 12= r3
4+9
4 + 1 = 2.
cos(ϕ) =z r =1
2 doncϕ= π 3. cosθ= x
rsin(ϕ)=
√3/2 2 sin(π/3) = 1
2. sinθ= y
rsin(ϕ) = −3/2 2 sin(π/3) =−
√3 2 .
− π 3 1 2
−
√3
2
doncθ=−π 3
(r; θ; ϕ) = (2 ; −π 3 ; π
3)
3
2. SoitB le point de coordonnées sphériques :r= 4 , θ= π
6 etϕ= 2π 3 . Coordonnées cartésiennes :
x =rsinϕcosθ= 4 sin(2π 3 ) cos(π
6) = 3 y =rsinϕsinθ= 4 sin(2π
3 ) sin(π 6) =√
3 z =rcosϕ= 4 cos(2π
3 ) =−2
(x; y ; z) = (3 ; √ 3 ; −2) Coordonnées cylindriques :
z=−2.
ρ=p
x2+y2= q
32+ (√
3)2=√
12 = 2√ 3.
cosθ= x ρ = 3
2√ 3 =
√3 2 sinθ=y
ρ =
√3 2√
3 = 1 2
π 6 1
2
√3
2
doncθ= π 6
(r; θ; z) = (2√ 3 ; π
6 ; −2)
