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Arc-en-ciel

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

ARC−EN−CIEL 1)Expliquer ce qu'est le phénomène de réflexion totale.

2)Calculer l'angle de réfraction limite pour le dioptre air-eau sachant que l'indice relatif de l'eau par rapport à l'air est n= 4

3.

3)Soit une goutte d'eau sphérique, de centre O et de rayon R, pratiquement immobile dans l'air.

Cette sphère est éclairée par un faisceau de lumière parallèle dont un rayon x'A atteint la sphère en A où il se réfracte.

Le plan de la figure est défini par O et x'A.

L'axe X'OX a même direction et même sens que x'A.

Soit B le point où le rayon réfracté rencontre la sphère.

En B la lumière peut être soit réfractée soit réfléchie, mais on ne considère ici que le rayon réfléchi.

On pose: OA ,Ax ' =i et AO ,AB =r.

Le rayon réfléchi en B rencontre la sphère en C où il se réfracte selon Cy: α= OX ',Cy.

a. Pourquoi le rayon réfracté en A est-il dans le plan de figure?

b.Peut-il y avoir réflexion totale en B?

c. Montrer que α=22 r−i.

d. Exprimer α en fonction de i et n.

e. Étude des variations deα en fonction de i pour n constant: n= 4 3. Montrer que l'on peut restreindre cette étude à l'intervalle

[

0,π2

]

.

Calculer la dérivée partielle de α par rapport à i.

Calculer numériquement les coordonnées de l'extremum puis calculer α pour les valeurs suivantes de i exprimées en degrés: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90. La précision demandée est 0,01 degré.

Représenter α en fonction de i. Echelle: 1 cm pour 10° sur les deux axes.

f . Étude des variations deα en fonction de n pour i constant. Calculer la dérivée partielle de α par rapport à n.

En déduire la dérivée partielle de α par rapport à la longueur d'onde λ de la lumière.

Déterminer le signe de cette dérivée sachant que n est une fonction décroissante de λ.

Calculer les valeurs extrémales de α pour les extrémités rouge et violette du spectre visible pour lesquelles l'indice n vaut respectivement 1,331 et 1,337.

La partie extérieure d'un arc-en-ciel est-elle rouge ou violette?

A

X' O

B X x'

y i

r

C

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