1 Premier arc-en-ciel

TSI1 – Physique-chimie DM1 : Optique et quantique – à rendre le 07/11/2017

DM1 : Optique et quantique

Exercice 1: L’arc-en-ciel

1 Premier arc-en-ciel

1. Réflexion : Le rayon réfléchi se trouve dans le plan d’incidence et l’angle de réflexion est égal à l’angle d’incidence.

Réfraction : Le rayon se trouve dans le plan d’incidence et l’angle de réfractioni2est relié à l’angle d’incidencei1par : n1sini1=n2sini2, oùn1etn2sont les indices optiques du milieu 1 et du milieu 2.

2. Lorsque l’angle de réfractioni2est supérieur àπ/2, il n’existe pas de rayon réfracté et la lumière est totalement réfléchie.

L’angle d’incidence au dela duquel il y a réflexion totale est donné parn1sinilim = n2 doncilim = arcsin(n2/n1).

Lorsque les deux milieux sont l’eau et l’air, on trouveilim'48,8°.

3. La loi de Descartes pour la réfraction donne directementnsinr=sini.

4. Comme OA = OB, le triangleAOB est isocèle et on aα = r. La réflexion enB ne peut donc pas être totale car sinr=sini/r <1/r(cari < π/2).

5. On a déjà montré queα=r, un raisonnement similaire montre queα=β=γ=r. Et la loi de la réfraction appliquée enCdonne sini⁰ =nsinγ=nsinr=sinidonci⁰=i.

6. EnAle rayon incident est dévié dans le sens horaire dei−r, il est ensuite dévié deπ−2renBet à nouveau dei−r enC. Au total la déviation subie par le rayon estD= 2i−4r+π

7. Pour trouver l’expression demandée, on dérive la relation de réfractionnsinr=sinipar rapport à l’angle d’incidence i. On obtientncosr^dr_di =cosi, d’où finalement ^dr_di =_n^cos_cosⁱ_r

8. En partant toujours de la même relation on a directementr(i) =arcsin ^sin_nⁱ. 9. En dérivant l’expression deDpar rapport ài, on obtient :

dD

di = 2−4dr

di = 2−4 cosi ncos(arcsin ^sin_nⁱ

) soit dD

di(im) = 0⇔ cosim

ncos arcsin^sin_n^im= 1 2

10. On élève l’équation précédente au carré, on obtient : cos²i_m

n²

1−^sin_n²2^im

=1

4 ⇔ cos²i_m n²−sin²i_m =1

4 ⇔4cos²i_m=n²−(1−cos²i_m)⇔cos²i_m= n²−1 3

11. D’après la question précédente on a i_m = arccosq

n²−1

3 . En injectant cette expression dans l’expression deD(i)on obtient :

Dm=D(im) =π+ 2arccos

rn²−1

3 −4arcsin

sinim

n

Or sinim=p

1−cos²im= q4−n²

3 et ^sin_n^im = q4−n²

3n² . D’où l’expression demandée :

Dm= 2arccos

rn²−1

3 −4arcsin

r4−n² 3n² +π 12. Avecn= 1.33on trouveDm'2,4 rad'137,5°.

13. Pour observer l’arc-en-ciel, une personne doit se placer dos au soleil, et regarder dans une direction formant un angleα avec la direction de l’ombre de sa tête. On voit sur le schéma ci-dessous queα=π−Dm'42,5°.

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2 Deuxième arc-en-ciel

14. EnAle rayon subit une déviation dans le sens trigo dei−r, puis deπ−2renB etC, et enfin dei−renE. Ce qui donne une déviation totale dans le sens horaire :D= 2π+ 2i−6r= 2i−6r

15. Voir schéma ci-dessous :

16. Le second arc-en ciel est moins lumineux que le premier car la lumière a été atténuée par une réflexion interne (non totale) supplémentaire.

17. (voir Schéma ci-dessus). La bande sombre correspond à la zone dans laquelle les gouttes d’eau ne renvoie vers l’observa- teur aucun rayon ayant subit une seule réflexion interne (déviation trop importante) et aucun rayon en ayant subit deux (déviation trop faible).

Exercice 2: Spectre solaire

1. E₁ E₂ E₃E₄ E

2. On lit sur le graphique les longueurs d’onde des raies de l’hydrogène :λα ' 656 nm,λβ ' 486 nm etλγ ' 434 nm.

Qui correspondent aux énergiesE = ^hc_λ. SoitEα = 3,03·10⁻¹⁹J = 1,9 eV,Eβ = 4,09·10⁻¹⁹J = 2,56 eV etEγ = 4,58·10⁻¹⁹J=2,86 eV.

3. On aE=hν= ^hc_λ Doncλ= ^hc_E

4. L’énergie d’un photon émis lors du passage d’un niveaunà un niveaun⁰(n > n⁰) est :

E=E_n−E_n⁰ =E₁ 1

n²− 1 n⁰²

= hc λ donc

1

λ = −E1

hc 1

n⁰² − 1 n²

et R=−E1

hc '1,1·10⁷m⁻¹

5. La longueur d’onde est maximale lorsque l’énergie est minimale. Or, l’énergie est minimale lorsque le photon effectue la transitionE₂ →E₁. Dans ce cas, l’énergie du photon émis estE =−13.6×(1/4−1) = 10,2 eV. Cela correspond à une longueur d’onde dans le videλ=122 nm. (ultraviolet)

6. La longueur d’onde est minimale lorsque l’énergie est maximale, donc lorsqu’on effectue une transition E_∞ → E₃. Dans ce cas l’énergie du photon émis estE = 13.6/9 =2,42 eV. Celà correspond à une longueur d’onde dans le vide λ=822 nm (infrarouge).

7. Donc toutes les transitions vers le niveauE₁auront une longueur d’onde plus courte que 122 nm et seront dans l’ul- traviolet. Et toutes les transitions vers le niveauE₃auront une longueur d’onde plus grande que 833 nm et seront dans l’infrarouge. Seules les transitions vers le niveauE2peuvent produire des photons visibles.

8. On trouve numériquement que les raiesH_α,H_βetH_γcorrespondent respectivement aux transitionsE₃→E₂,E₄→E₂ etE5→E2.

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