p hcE ! ! ! c1000 8mcL 8mcL 8mcL 8mcL h h h h 2 2 2L m " p 15h 7h 5h 3h 8mL 8mL 8mL 8mL ()() a2 h2 ! ha h ! sin " ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! a !

(1)

1

RUDIMENTS DE MÉCANIQUE QUANTIQUE – corrigé des exercices

A. EXERCICES DE BASE

I. Incertitudes de Heisenberg et diffraction

• L'incertitude sur la position du photon qui traverse la fente correspond à Δy ≈ a

2 (de part et d'autre de la position moyenne sur l'axe).

• L'incertitude sur la direction du vecteur quantité de mouvement est Δθ ≈ !

a, ce qui correspond à Δp_y ≈ p .!

(

sin

( )

"

)

^≈^h_!^{Δθ ≈}_a^h^.

• Le produit des incertitudes est donc Δy . Δp_y ≈ h 2^≥

!

2, ce qui correspond effectivement à l'ordre de grandeur de la précision maximum autorisée par la relation de Heisenberg (si on diminue a, cela augmente automatiquement θ).

II. Incertitudes de Heisenberg et mécanique classique

• L'incertitude sur la quantité de mouvement est dans ce cas Δp = m Δv = 0,01 kg.m.s^-1 ; l'incertitude minimum sur la position est par conséquent Δx ≈

!

2"p ^{≈ 5.10}

-33 m, ce qui justifie totalement l'utilisation d'une mécanique du point matériel non quantique.

III. Niveaux d'énergie dans un “puits de potentiel infini”

1.

• La quantité de mouvement est p₁ =

!

2L^{≈ 5.10}

-25 kg.m.s^-1.

• La vitesse est v₁ =

!

p₁

m = 5.10⁵ m.s^-1 ≈

!

c

1000 ; l'électron est donc non relativiste.

2.a.

• L'énergie des photons doit être : E_γ = hν = E₄ - E₁ = 15

!

h² 8mL²^.

• La longueur d'onde des photons est : λ₁₄ = cT =

!

hc

E_" ⁼

!

8 mcL²

15 h = 2,18 nm ; il s'agit de rayons X.

2.b.

• Les énergies des photons sont : E₄ - E₃ = 7

!

h²

8mL²^{; E}³^{- E}²^{= 5}

!

h²

8mL²^{; E}²^{- E}¹^{= 3}

!

h² 8mL²^.

• Les longueurs d'onde sont : λ₄₃ =

!

8 mcL²

7 h = 4,66 nm et λ₃₂ =

!

8 mcL²

5 h = 6,53 nm (rayons X) ; λ₄₃ =

!

8 mcL²

3 h = 10,9 nm (rayons UV extrêmes).

2.c.

• Dans la mesure où le puits de potentiel est supposé “infini”, il faudrait un photon d'énergie infinie ; c'est impossible.

(2)

2

B. EXERCICES D'APPROFONDISSEMENT IV. Largeur des raies spectrales

1.

• L'incertitude sur la durée des “trains d'onde” émis est forcément inférieure à leur durée ; la relation de Heisenberg ΔE . Δt ≥

!

2 impose par conséquent une limite supérieure à l'incertitude sur l'énergie des photons émis : ΔE ≥

!

! 2"t^{≈ 10}

-26 J ≈ 10^-7 eV.

2.

• Les niveaux d'énergie de l'atome d'hydrogène sont E_n = E₀

n² ^{avec E}⁰^{= -}

!

µq_e²q_p²

8"₀h² = -13,6 eV. Or la masse réduite est µ = m_pm_e

m_p+m_e ≈ m_e. 1!m_e m_p

"

#$

%

&

'. Le passage au deutérium (≈ doublement de masse du noyau) correspond donc à une variation δµ ≈ -m_e²

2m_p et la proportionnalité entre E₀ et µ donne donc : δE ≈

≈ E₀!µ µ ^{≈ - E}⁰

m_e²

2m_p ≈ 3,7.10^-3 eV.

• Cette différence, très supérieure à la largeur des raies spectrales, est donc tout à fait observable.

V. Quantification du moment cinétique 1.a.

• L'aire de la bande sphérique est :

S =

!

R d"R sin

( )

"

##

^d$^{= 2πR}²

!

sin

( )

"

"1

"2

#

^d"^{= 2πR}²^.[cos(θ¹^{) - cos(θ}²^)].

• L'aire de la bande en projection sur le cylindre est (en notant ϕ l'angle de rotation axiale) : Sʼ =

!

R d"

##

dz = 2πR.(z₁ - z₂) = 2πR.[R cos(θ₁) - R cos(θ₂)].

◊ remarque : pour le signe, il faut considérer que θ₂ > θ₁ correspond à z₁ > z₂.

• On constate effectivement que S = Sʼ.

1.b.

• Pour un moment cinétique

!

J de norme donnée, avec une répartition isotrope, la probabilité de trouver une orientation dans des intervalles dθ et dϕ est proportionnelle à l'aire de la surface correspondante sur la sphère. Puisque l'aire est la même pour la surface correspondante en projection sur le cylindre de même rayon, la probabilité de trouver une projection J_z dans un intervalle donné (qui est proportionnelle à l'aire sur le cylindre) est aussi uniforme.

2.a.

• La valeur moyenne du carré de la projection J_z = J cos(θ) du spin sur l'axe (Oz) peut s'écrire (en simplifiant les intégrations sur j compte tenu de l'invariance par rotation) :

!

J_z² =

!

J_z²sin

( )

"^d"

0

$

#

sin

( )

"^d"

0

$

#

= J²

!

cos²

( )

" ^sin

( )

^"^d"

0

$

#

sin

( )

"^d"

0

$

#

=

!

J² 3 ^.

2.b.

• On obtient

!

J² = J² comme on peut classiquement s'y attendre.

3.a.

• La valeur moyenne est :

!

J_z² =

!

( )

k! ²

"j

#

j

"jk

#

j ^{= ħ} 2

!

k²

"j

#

j

2j+1 ^.

(3)

3

3.b.

• On considère la pyramide suggérée par l'énoncé, dont le nombre de cubes correspond à

!

k²

1

"

j

(avec l'exemple pour j = 5).

• La première tranche (au fond) est la moitié du carré moins la moitié de la diagonale :

!

1k

"

j ⁼

!

j. j

(

+1

)

2 . La seconde tranche donne 1 (j - 1) +

!

(j"1).j

2 ; la troisième donne 2 (j - 2) +

!

(j"2). j

(

"1

)

2 ; ... ; la dernière tranche (devant) donne (j - 1) 1 +

!

2.1 2 ^.

• Au total (compte tenu de j - j = 0) :

!

k²

1

"

j ⁼

!

k. j

(

"k

)

1

#

j ⁺

!

1 2

!

k. k

(

+1

)

1

"

j . En développant puis en

regroupant les termes on en déduit :

!

3 2

!

k²

1

"

j ⁼

!

j+1 2

"

#$ %

&

'^.

!

1k

"

j donc finalement :

!

k²

1

"

j ⁼

!

j. j+1 2

"

#$ %

&

'. j

(

+1

)

3 .

• On obtient ainsi :

!

J_z² = ħ²

!

k²

"j

#

j

2j+1 ⁼

!

j. j

(

+1

)

3 ħ².

3.c.

• Ceci correspond à

!

J² = j.(j + 1) ħ² > (jħ)², ce qui n'est pas a priori attendu.

VI. Signification de l'onde de De Broglie

1.a.

• L'énergie mécanique est : E = E_c + E_p avec E_c =

!

1

2m v² =

!

p²

2m ; l'énergie potentielle E_p dépend de la position, mais ne dépend pas de la vitesse (ni de p).

1.b.

• On peut écrire E = h ν = ħ ω ; de même p =

!

h

" = ħ k.

• La vitesse est : v =

!

d"

dk =

!

dE dp⁼

!

dE_c dp ⁼

!

p

m ; on retrouve la relation newtonienne.

2.a.

• Si on ajoute une constante à E_p, cela ajoute une constante à E, donc de même pour ω : la pulsation et la fréquence de l'onde changent.

2.b.

• La quantité de mouvement et la longueur d'onde ne changent pas ; par contre, la célérité de propa- gation des ondes c_DB =

!

"

k change.

• La vitesse qui s'en déduit ne change pas, car l'expression de l'énergie cinétique n'est pas modifiée.

Les ondes interfèrent différemment, mais le paque d'ondes décrit la même particule.

• Que la fréquence et la célérité des ondes puissent être modifiées d'une constante arbitraire, cela n'est l'habitude qu'on se fait des ondes. En particulier pour les ondes lumineuses, mais les photons n'ont pas d'interaction faisant intervenir une énergie potentielle.

• Il existe en physique d'autres quantités arbitraires, par exemple le référentiel galiléen selon lequel on applique les lois de Newton, ou le repère mathématique choisi ce référentiel. Un changement de notations modifie plus ou moins l'allure des calculs qui représentent les phénomènes physiques se produisant, mais ne change rien aux phénomènes physiques eux mêmes (rebond d'une balle sur le sol, etc).