UPMC Séries de fonctions et intégrales dépendant d’un paramètre 2M261 printemps 2017
Amphi B, feuille d’exercices no3 : continuité et dérivabilité des intégrales dépendant d’un paramètre
Exercice 1. Pour toutR P R˚
`, on note DpRq “ tpx, yq PR2 |x2`y2 ďR2u le disque fermé de centre O “ p0,0q et de rayon R etCpRq “ tpx, yq PR2 | ´R ďx, y ďRu le carré fermé de centreO et de côtés de demi-longueurR. Pour toute fonction continuef :R2ÑRon définit son intégrale double surCpRq (resp.DpRq) en intégrant sur les « sections verticales », i.e. on pose
ij
CpRq
fpx, yqdxdy “ żR
´R
ˆżR
´R
fpx, yqdy
˙
dx, (:)
ij
DpRq
fpx, yqdxdy “ żR
´R
˜żupxq bpxq
fpx, yqdy
¸
dx, (;)
oùupxq “?
R2´x2 etbpxq “ ´upxq pour tout xP r´R, Rs.
1. En citant un résultat du cours, montrer que ci-dessus les termes de droite sont bien définis.
2. Montrer que sif est à valeurs dans R` alors ij
DpRq
fpx, yqdxdyď ij
CpRq
fpx, yqdxdy ď ij
Dp? 2Rq
fpx, yqdxdy.
On admet que le passage en coordonnées polaires px, yq “ prcosθ, rsinθq, avec r P r0, Rs et θP r0,2πs, donne la formule de changement de variable suivante :
p‹q
ij
DpRq
fpx, yqdxdy “ ij
r0,Rsˆr0,2πs
fpr, θqr drdθ“ żR
0
ˆż2π 0
fpr, θqdθ
˙ r dr.
On suppose désormais que fpx, yq “e´x2e´y2 “e´r2 et l’on poseIpRq “ żR
´R
e´x2dx.
3. En utilisant la définition, montrer que ij
CpRq
fpx, yqdxdy“IpRq2.
4. En utilisant p‹q, montrer que ij
DpRq
fpx, yqdxdy “πp1´e´R2q.
5. Montrer quelimRÑ`8IpRq “?π et lim
RÑ`8
żR 0
e´x2dx“
?π 2 .
Exercice 2 (Théorème de Fubini). Soienta ăc dans R, soientb :ra, cs ÑR une application continue1,Y un réelěmaxxPra,csbpxq et
D“ tpx, yq PR2 |aďxďc, bpxq ďyďYu.
1. On utilise la lettrebpour « bas ».
1
Soient f :D Ñ R une application continue et M un réel ą 0 tel que |fpx, yq| ď M pour tout px, yq PD. Pour tout xP ra, cson poseFpxq “
żx a
˜żY bptq
fpt, yqdy
¸ dt.
1. En utilisant des résultats du cours, montrer que F est dérivable sur ra, cs et F1pxq “ żY
bpxq
fpx, yqdy. (Pour x“a, resp.x“c, il s’agit d’une dérivée à droite, resp. à gauche.) On suppose désormais quebeststrictement monotonesurra, cs, c.-à-d. strictement croissante ou bien strictement décroissante, et l’on prend Y “maxx
Pra,csbpxq, i.e.Y “bpcq(resp.bpaq) sib est croissante (resp. décroissante).
1er cas :best strictement décroissante surra, cs. C’est alors une bijection dera, cssurrbpcq, bpaqs; on noteb´1 la bijection réciproque. Au lieu d’intégrer sur les « sections verticales », on peut aussi intégrer sur les « sections horizontales », i.e. pour toutxP ra, cson pose :
p˚q Gpxq “
żbpaq bpxq
˜żx b´1pyq
fpt, yqdt
¸ dy.
2. SoitxP ra, cr et soit hą0tel que x`hďc. Montreren faisant une figureque Gpx`hq ´Gpxq “
żbpxq bpx`hq
˜żx`h b´1pyq
fpt, yqdt
¸ dy`
żbpaq bpxq
ˆżx`h x
fpt, yqdt
˙ dy.
Montrer que pour toutyP rbpx`hq, bpxqs on axďb´1pyq ďx`h, puis que ˇ
ˇ ˇ ˇ ˇ
Gpx`hq ´Gpxq
h ´
żbpaq bpxq
fpx, yqdy ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
ď`
bpxq´bpx`hq˘ M`
żbpaq bpxq
ˇ ˇ ˇ ˇ 1 h
żx`h x
fpt, yqdt´fpx, yq ˇ ˇ ˇ ˇ
dy.
3. Montrer alors queGest dérivable à droite en x, de dérivée à droite G1dpxq égale àF1pxq. 2ème cas :best strictement croissante surra, cs. C’est alors une bijection dera, cssurrbpaq, bpcqs; on note encore b´1 la bijection réciproque. On intègre à nouveau sur les sections horizontales, i.e. pour toutxP ra, cs on pose :
p˚˚q Gpxq “ żbpxq
bpaq
˜żb´1pyq a
fpt, yqdt
¸ dy`
żbpcq bpxq
ˆżx a
fpt, yqdt
˙ dy.
4. SoitxP ra, cr et soit hą0tel que x`hďc. Montreren faisant une figureque Gpx`hq ´Gpxq “
żbpx`hq bpxq
˜żb´1pyq x
fpt, yqdt
¸ dy`
żbpcq bpx`hq
ˆżx`h x
fpt, yqdt
˙ dy.
Soitεą0. Montrer comme précédemment qu’il existeδ ą0 tel que ˇ
ˇ ˇ ˇ ˇ
Gpx`hq ´Gpxq
h ´
żbpcq bpx`hq
fpx, yqdy ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
ă ε 2
2
pour touthP s0, δs. Puis montrer que ˇ
ˇ ˇ ˇ ˇ
żbpcq bpx`hq
fpx, yqdy´ żbpcq
bpxq
fpx, yqdy ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
ď`
bpx`hq ´bpxq˘ M.
En déduire queGest dérivable à droite en x, de dérivée à droiteG1dpxq égale àF1pxq. De la même façon, on obtient que la dérivée à gauche G1gpxq égale F1pxq pour tout xP sa, cs, et l’on obtient les mêmes résultats pour tout domaine de la forme
U “ tpx, yq PR2|aďxďc, Y ďyďupxqu où u : ra, cs Ñ R est continue et strictement monotone et Y “ minx
Pra,csupxq. Considérons maintenant un domaineD de la forme suivante :
u1pxq
b1pxq b2pxq u2pxq
a c
α γ
β
0 D
i.e. on se donne a, c P R tels que a ă0 ă c et deux fonctions continues b, u :ra, cs Ñ R telles quebpxq ďupxq pour tout x, queb etu prennent enaetc la même valeur β, que la restriction b1 de b à ra,0s (resp.u2 de u à r0, cs) soit strictement décroissante, et que la restriction u1 de u à ra,0s (resp.b2 de b à r0, cs) soit strictement croissante. Soient α “ bp0q “ minx
Pra,csbpxq et γ “ up0q “ maxxPra,csupxq. Noter que b1 est une bijection de ra,0s sur rα, βs; on note b´11
la bijection inverse, qui est également continue. On définit de même u´11, b´21 et u´21. Enfin, on définit les fonctionsℓ, r :rα, γs ÑRpar
ℓpyq “
$
&
%
b´11pyq si yďβ u´11pyq si yěβ
rpyq “
$
&
%
b´21pyq siyďβ u´21pyq siyěβ.
Alors on a
D“ tpx, yq PR2 |aďxďc, bpxq ďyďupxqu “ tpx, yq PR2|α ďyďγ, ℓpyq ďxďrpyqu. 5. Soitf :DÑRune fonction continue. En utilisant ce qui précède, montrer que les intégrales
doubles définies en prenant des sections verticales ou horizontales coïncident, c.-à-d. que l’on a :
żc a
˜żupxq bpxq
fpx, yqdy
¸ dx“
żγ α
˜żrpyq ℓpyq
fpx, yqdx
¸ dy.
3
Exercice 3. On définit la fonctionf :RÑRpar fpxq “ ż`π{2
´π{2
e´xsinptqdt.
1. En citant des résultats du cours, montrer quef est continue et dérivable surR, de dérivée f1pxq “ ´
ż`π{2
´π{2
e´xsinptqsinptqdt.
2. Montrer de même que f est deux fois dérivable et déterminer f2.
3. En utilisant une intégration par parties dans l’intégrale définissantf1, montrer que f1pxq “x
ż`π{2
´π{2
e´xsinptqcos2ptqdt.
4. Montrer quef est solution de l’équation différentielle xf2pxq `f1pxq ´xfpxq “0.
4
