Révisions : trigonométrie

Math 4^èmes : Révisions : trigonométrie FLOSSY S. – HOFFAIT G. – LEQUEUX S. – WINTGENS D.

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Révisions : trigonométrie

1. Représente un cercle trigonométrique et places-y les angles suivants : 𝛼 = 45°, 𝛽 = 140°, 𝛾 = 200° et 𝛿 = 350°.

2. a) Représente un cercle trigonométrique ainsi qu’un angle quelconque du troisième quadrant.

b) Représente ensuite les différents nombres trigonométriques associés à cet angle en trois couleurs différentes.

3. Représente un cercle trigonométrique et, dans celui-ci, deux angles dont le sinus vaut 0,5.

4. Représente un cercle trigonométrique et, dans celui-ci, deux angles dont la tangente vaut 1,5.

5. Détermine à l’aide du tableau de valeurs particulières : a) cos 45 ° =

b) tan 45 ° = c) sin 30° = d) tan 60 ° =

e) tan 90° = f) sin 0° = g) cos 270° = h) cos 180° =

6. Calcule (sans calculatrice) :

a) sin 𝛼 et tan 𝛼 sachant que cos 𝛼 =²

5 et que 𝛼 ∈ 𝐼𝑉.

b) sin 𝛼 sachant que tan 𝛼 = √2, cos 𝛼 =^2√2₃ et que 𝛼 ∈ 𝐼.

c) sin 𝛼 et tan 𝛼 sachant que cos 𝛼 =³

2 et que 𝛼 ∈ 𝐼𝑉.

d) cos 𝛼 et tan 𝛼 sachant que sin 𝛼 =^−√6

4 et que 𝛼 ∈ 𝐼𝐼.

e) cos 𝛼 sachant que tan 𝛼 = √3, sin 𝛼 =^−√3₂ et que 𝛼 ∈ 𝐼𝐼𝐼.

f) cos 𝛼 sachant que sin 𝛼 =³

7 et que 𝛼 ∈ 𝐼𝐼.

7. Vrai ou faux ? Justifie par un schéma.

a) tan 70° > sin 70°

b) cos 60° = cos 300°

c) sin 60° = sin 300°

d) sin 150° = cos 300°

e) Le sinus d’un angle du troisième quadrant est un nombre positif f) tan 330° = tan 30°

g) tan (135°) < 0

8. A l’aide du tableau de valeurs particulières et d’un schéma, détermine la valeur des nombres trigonométriques suivants :

a) sin 150° = b) cos 150° = c) tan 210° =

d) cos 225° = e) sin 240 ° = f) cos 315° =

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2 9. Démontre les identités trigonométriques suivantes :

1) 1 + tan²𝛼 = ¹

cos²𝛼 4) 1

1+sin

a

a

2 cos²

a

2) 1 + ¹

tan²𝛼 = ¹

sin²𝛼 5) sin⁴𝛼 − cos⁴𝛼 = 2 sin²𝛼 − 1 3)

(

a )

(

^a )

_a

10. Problèmes trigonométriques :

1) Détermine la hauteur d’un arbre dont l’ombre s’allonge de 12m lorsque le soleil passe de 52° à 30° au-dessus de l’horizon.

2) Détermine l’aire d’un carré dont la longueur d’une diagonale vaut 5 cm.

3) Calcule les données manquantes pour le triangle suivant.

a)









 32 , 73

54 , 3

19 , 51





m a

b)

m c

m b

m a

6 4 8







4) Dans le cadre de leur cours de topographie, des étudiants ont effectué des relevés (en mètres) sur terrain et ont fait un croquis sur base de leurs observations. Quelle est la superficie du terrain ?

5) Deux observateurs distants de 2km observent une montgolfière sous des angles respectifs de 25,12° et de 51,18°. Cette montgolfière étant située entre les 2

observateurs (mais pas à mi-distance), calcule son altitude ainsi que sa distance à l’observateur le plus proche.

6) Calcule la longueur du côté [𝐴𝐶].

7) On considère le triangle rectangle suivant :

Vrai ou faux ? Justifie par un calcul ou une propriété et corrige si nécessaire.

a) |𝑂𝐵| = ²

3

b) [𝑀𝐵] est le côté opposé à l’angle 𝑀̂

c) sin 𝑂̂ =¹

3

d) 1 + (cos 𝑂̂)² = (sin 𝑂̂)²

e) sin 𝑀̂ =¹

3 f) cos 𝑀̂ =²

3 g) tan 𝑂̂ = 2√2

h) 1 + (tan 𝑀̂)² = ¹

(sin 𝑀̂)²

3 cm

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3

Solutions

Ex.1 : Ex.2 :

Ex.3 : Ex.4 :

Ex.5 : a) ^√2

2

b) 1

c) ¹

2 d) √3 e) /

f) 0 g) 0 h) −1 Ex.6 :

a) sin 𝛼 =^−√21

5 et tan 𝛼 = −^√21

2

b) Impossible car on trouverait sin𝛼 =⁴

3 qui est supérieur à 1

c) Impossible car le cosinus d’un angle doit être compris entre -1 et 1.

d) Impossible que le sinus d’un angle du 2^ème quadrant doit être positif.

e) cos𝛼 = −¹

2

f) cos𝛼 = −^2√10₇ Ex.7 :

a) vrai b) vrai c) faux d) vrai

e) faux f) faux g) vrai

Ex.8 : a) ¹

2

b) ^−√3

2

c) ^√3

3

d) ^−√2

2

e) ^−√3

2

f) ^√2

2

Ex.9 :

Math 4^èmes : Dossier de révisions examen de juin FLOSSY S. – HOFFAIT G. – LEQUEUX S – WINTGENS D.

4 1) 1 + tan²𝛼 = 1 + (_{cos 𝛼}^{sin 𝛼})²= 1 +_cos^sin2₂^𝛼_𝛼=^cos2_cos^{𝛼+ sin}_2𝛼 ^2𝛼=_cos¹_2𝛼

2) 1 + ¹

tan²𝛼= 1 + _{sin2 𝛼}¹

cos2 𝛼

= 1 +^cos2𝛼

sin²𝛼 =^{sin2𝛼+cos2𝛼}

sin²𝛼 = ¹

sin²𝛼

3) (1 +tan𝛼)²+ (1 −tan𝛼)² = 1 + 2tan𝛼 + tan²𝛼 + 1 − 2tan𝛼 + tan²𝛼 = 2 + 2 tan²𝛼

= 2(1 + tan²𝛼) = 2. ¹

cos²𝛼= ²

cos²𝛼 (vu 1)) 4) ¹

1+sin 𝛼+_{1−sin 𝛼}¹ = 1−sin 𝛼+1+sin 𝛼

(1+sin 𝛼)(1−sin 𝛼)= ²

1−sin²𝛼= ²

cos²𝛼

5) sin⁴𝛼 − cos⁴𝛼 = (sin²𝛼 − cos²𝛼)(sin²𝛼 + cos²𝛼) = (sin²𝛼 − cos²𝛼). 1 = sin²𝛼 − cos²𝛼

= sin²𝛼 − (1 − sin²𝛼) = sin²𝛼 − 1 + sin²𝛼 = 2 sin²𝛼 − 1 Ex.10 :

1) L’arbre mesure 12,62 mètres.

2) L’aire est égale à 12,5 cm².

3) a)

sinus en formule la

par 74 , 3

sinus en formule la

par 35 , 4

180 vaut e un triangl d'

internes angles

des somme la

car 49 , 55

m c

m b









 

b)















180 vaut e un triangl d'

internes angles

des somme la

car 46,56

cosinus en

formule la

par 96 , 28

cosinus en

formule la

par 48 , 104







4) Aire totale = aire triangle supérieur + aire triangle inférieur = 22718,26 + 33020,75 = 55739,01 m²

5) La montgolfière a une altitude de 680,87m et elle est située à 873,89m de l’observateur le plus proche.

6) |𝐴𝐶| = 4,28 cm

7) Vrai ou Faux pour un triangle rectangle : a) Faux, |𝑂𝐵| =^2√2

3 par Pythagore b) Faux, [𝑀𝐵] est opposé à l’angle 𝑂̂

c) Vrai

d) Faux, 1 − (cos 𝑂̂)²= (sin 𝑂̂)² e) Faux, sin 𝑀̂ =^2√2

3

f) Faux, cos 𝑀̂ =¹

3 g) Faux, tan 𝑂̂ =^√2

4

h) Faux, 1 + (tan 𝑀̂)² = ¹

(cos 𝑀̂)²