Correctif interrogation de calcul vectoriel : 1. a) Représente un triangle quelconque EFG et construis ensuite le point M, milieu de [FG] ainsi que le point N tel que

Correctif interrogation de calcul vectoriel :

1. a) Représente un triangle quelconque EFG et construis ensuite le point M, milieu de [FG] ainsi que le point N tel que 𝐸𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

b) Démontre que 𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ en détaillant les hypothèses, la thèse et en justifiant les étapes de la démonstration.

Hypothèses : Thèse : Démo :

EFG triangle quelconque 𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ par Chasles

M milieu [FG] = 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ car 𝐸𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ par hypothèse 𝐸𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑀𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ car M milieu [FG]

= 𝐹𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ par commutativité de l’addition

= 𝐹𝑁⃗⃗⃗⃗⃗ par Chasles

2. Montre à l’aide d’une égalité vectorielle que le quadrilatère RSTU ,dont on donne les sommets suivants, est un parallélogramme :

R( 3 ; -5 ) ; S( 5 ; 1 ) ; T( 9 ; 2 ) et U( 7 ; - 4) Par exemple, on peut montrer que 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑈𝑇⃗⃗⃗⃗⃗ = (2

6)

3. On considère les points A( 1 ; 2 ) , B( 5 ; -1 ) et C ( -3 ; 4) dans un repère orthonormé.

a) Que vaut la norme du vecteur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ? 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = ( 4

−3) donc ‖𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √4²+ (−3)² = √16 + 9 = 5 b) Quelles sont les coordonnées du milieu du segment [𝐵𝐶] ? (⁵⁻³₂ ;⁻¹⁺⁴

2 ) = (1;³

2) c) Quelles sont les composantes du vecteur 𝑢⃗ =¹

2𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ? 𝑢⃗ =¹

2(−8

5 ) − ( 4

−3) = (−8

11 2

) d) Détermine les coordonnées d’un point D(𝑥, 𝑦) qui serait tel que 2𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

2 (−4

2 ) = ( 5 − 𝑥

−1 − 𝑦) ⟺ (−8

4 ) = ( 5 − 𝑥

−1 − 𝑦) ⟺ {−8 = 5 − 𝑥

4 = −1 − 𝑦 ⟺ {𝑥 = 13

𝑦 = −5 Concl : 𝐷(13; −5)

4. Représente le vecteur 𝑣 = 2𝑎 −¹

3𝑏⃗ dans les deux quadrillages proposés.

5. On considère le repère (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ) suivant.

a) Trace un représentant du vecteur 𝑢⃗ ( 2

−3) b) Détermine les composantes du vecteur 𝑛⃗ (−1

−¹

2

)

6. Cfr cours de théorie, attention aux lettres qui ne sont pas identiques ! 7. Vrai ou faux ? Si c’est faux, corrige la proposition.

a) Les composantes de vecteurs opposés sont égales. Faux, elles sont opposées

b) Si 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ , on peut dire que la droite qui passe par 𝐴 et 𝐵 est parallèle à celle passant par 𝐶 et 𝐷. Vrai

c) 2𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐺 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Faux, 2𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗⃗