DS Produit scalaire & Géométrie analytique

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D.S. de mathématiques n°°°°9

Produit scalaire & Géométrie analytique

1

^ère

S 3

Mercredi 5 mai 2010, Calculatrices non autorisées, 1h.

Ce sujet est à rendre avec la copie.

Pour un corrigé en couleur, voir http://lhelmeg.keepandshare.com/

Note

Exercice 1 , / 3,5 Exercice 2 , / 3,5 Exercice 3 , / 5,5 Exercice 4 , / 7,5

Note , / 20

Exercice 1. 10 min

ABCD est un carré de coté a. I et J sont les points définis par

→

BI = 1 3

→

BC et

→

CJ = 1 3

→

CD .

1) Calculer les produit scalaires suivants (Justifier)

→

BI .

→

CJ et

→→→

→

AB .

→

CJ .

2) Montrer que les droites (AI) et (BJ) sont perpendiculaires.

Exercice 2. 15 min 15

( , , )

O i j

r r est un repère orthonormé du plan. A ( 2 ; 1 ) ; B ( − 1 ; 3 ) et O ( 0 ; 0 ).

Donner les équations des droites suivantes : 1) La droite (AB ).

2) La médiatrice de [ AB ].

Exercice 3. 15 min

ABC est un triangle, A’ est le milieu de [BC]. On a AB = 6 cm, AC = 4 cm et aBAC= 60°.

1) Calculer BC. (On attend une valeur exacte simplifiée autant que possible.) 2) Calculer AA’. (On attend une valeur exacte simplifiée autant que possible.) 3) Calculer l’aire a du triangle ABC. (Même consigne.)

Exercice 4. 15 min 15

( , , )

O i j r r

est un repère orthonormé du plan.

C

₁ est le cercle d’équation

2 2

4 4 3 0.

x +y − x− y+ =

1) Déterminer le centre A et le rayon de ce cercle.

2) B est le point de coordonnées (−3 ; 2) et

C

₂ le cercle de diamètre [AB]. Montrer que

2 2

4 2 0

x +y + −x y− = est une équation de

C

₂.

3) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de

C

₁ et

C

₂. 4) Déterminer une équation cartésienne des tangentes à

C

₁issues de B.

NOM:

PRENOM :

Communication : − 0 + Technique : − 0 + Raisonnement : − 0 +

////3,5 3,5 3,5 3,5

/ / / / 1,5 1,5 1,5 1,5

/ 2 / 2 / 2 / 2

////7,5 7,5 7,5 7,5

/ 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 //// 1,5 1,5 1,5 1,5 ////5,5 5,5 5,5 5,5

/ 2 / 2 / 2 / 2 / / / / 1,5 1,5 1,5 1,5

/ 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 ////3.5 3.5 3.5 3.5

/ / / / 1,5 1,5 1,5 1,5

/ 2 / 2 / 2 / 2

D.5. de mothémotigues no9

Produit scalaire & êéonétrie

Merceedi 5 moi 2010, Colculqtrices non outorisées, th_

Ce sujet est à rendre avec lo copie.

Pour un corrigé en couleur, voit. http;/,/lhelmeg.keepartclshare.comi

ABCD est un carré de coté a. I et J sont les points définis par - t - - r +B I = ; B C et CJ :, CD.

l) Calculer les produit scalaires svivants (Justi,fi.er)

_--)_,) ____+-_____,

B I . C J e t A B . C J .

2) Montrer que les droites (AI) et (BJ) sont perpéndiculaires.

"2)

" t 7 / l -

= Ae,

L--.\.---r

Bc + ÊB.c.r

\--:\--:-,

+ àf. tcT#?l=

\---1v,---

t

à -1'o" !-a3

-

t u /,ffiÀ,

, v 3 3

,-onÊLé t,"/a ,t ,k ,#-g.":*:^'Yt*a'&n,e

/àot* t-o(tae'ret r eo

(O,l , 7=) est un repère orthonormé du plan.

Donner les équations des droites suivantes :

ani,n\2- )e/\'

A ( 2 : 1 ) : B ( - l : J ) .

, ; r A ( 1 ' \ B { - l )

\ ^ l \ r /

/ 1-,5 l) La droite (AB ).

/ 2 2) La médiatrice de I AB ].

E d l-t-2\= /-l\

I 3 - / ) | L ) ,l) H é @B) é-_> nM

\ /

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l 4 t t l

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5) fæfæ__-Ërl

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@1) B r

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Exercice ?.

/lB) a- 4',--<"r I 2 x r 3 7 : - 7 : - '

ot ^br. "l = - ?Z

.4,O^

, z

.u3

a) so;+ (û f" .{oûalr;*- a" cae)

t4 e (d) r - î t T â e = > r î " A d = o '

ABC est un triangle, A' est le milieu de [BC]. On a AB: 6 cm, AC:4 cm etBAC= 60"' / 2 l) Calculer BC. (On attend ttne valeur exacte simpliJiée autant q e possible.)

/ 2 2) Calculer AA'. (On attendune valeur exacte siùplifée autant que possible.\

/!,5 3) Cafculer I'aire./ du triangle ABC. (Même cowigne-'1

J) D/o1p,à -{"- tQ.é..'.,.- J'aQ- l(n k âc"=& = Lz+.z - zV..e- 1

. 4' + 6t - ! *t+r6 *,--- 6o'

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BC = 9\1 cm.

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4 - = g n i ' * r < 2 8

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2) Ah'- ? _-'

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J'o-.-. Aftlz= ,lg

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3) -ÀÈêÊ = ?

-,\ = + t. -.,n.' A - - !*4^ê*)ç^&)' = J { ^ q

__l\ = b \J5 c'rT) -.

(d;)

"st "t repère orthonormé du plan Ct est le cercle d'équatron x ' + y 7 - 4 x - 4 Y + 3 = 0 '

/ 2 l) Déterminer le centre A et le rayon de ce cercle' / a.5 Zi g

"st le point de coordonnées (-3;2) et C, le cercle de diamètre [AB] Montrer que x2 + yz + x- 4v -2 = 0 est une équation de Ct'

/ 2 3) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de C' et C' ' / 2 4) Déterminer une équation cartésienne des tangentes à Çissues de B'

-4) tn:t'--l ^- !. -+d :, = o <=='=) @-')'- 4 * Qtr-z)"-4 + 3=o

x-2)

l " - r \ " 1 - " . ) = " < = ) - 3 ( x - ! . ) + e ( 3 - z ) = o

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