Enonc´e noE537
Rouges et bleus `a ´egalit´e
On remplit une grille carr´ee de cˆot´e n avec les entiers 1,2,3, . . . , n2, pris dans cet ordre `a partir de la premi`ere case en haut `a gauche jusqu’`a la derni`ere case en bas `a droite. C’est ainsi que la premi`ere rang´ee contient les entiers 1,2,3, . . . , n; la deuxi`eme rang´ee les entiersn+ 1, n+ 2, . . . ,2n; la troisi`eme rang´ee les entiers 2n+ 1,2n+ 2, . . . ,3n, etc., jusqu’`a la derni`ere rang´ee qui contientn2−n+ 1, n2−n+ 2, . . . , n2.
On choisit n nombres distincts de cette grille de telle sorte que deux quel- conques d’entre eux ne se trouvent ni sur la mˆeme rang´ee ni sur la mˆeme colonne. La somme de ces nombres est ´egale `a 5335. Quelle est la dimension nde la grille ?
On colorie ensuite chacune des n2 cases soit en rouge soit en bleu de telle mani`ere que sur chaque rang´ee comme sur chaque colonne il y a le mˆeme nombre de cases rouges et de cases bleues. D´emontrer que les sommes des nombres inscrits dans les cases rouges et dans les cases bleues sont identiques.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
En rang´eeiet colonne j, on trouve le nombre n(i−1) +j.
Le choix des n nombres se traduit par le choix de n couples (ik, jk). La r`egle de choix fait que tant les ik que les jk forment des permutations de 1,2, . . . , n.
AinsiPk(n(ik−1) +jk) =nPk(ik−1) +Pkjk=
=n2(n−1)/2 +n(n+ 1)/2 =n(n2+ 1)/2.
L’´equationn(n2+ 1)/2 = 5335 conduit `a n= 22.
La r`egle de coloriage en rouge et bleu exige que n soit pair. Il y a alors n/2 cases rouges et n/2 cases bleues dans chaque rang´ee, et de mˆeme dans chaque colonne.
Dans la rang´eei, la partie n(i−1) des nombres inscrits apporte une mˆeme contributionn(i−1)n/2 au total rouge et au total bleu. De la mˆeme fa¸con, dans la colonnej, la partiej des nombres inscrits apporte une mˆeme contri- bution jn/2 au total rouge et au total bleu. Au final, les deux totaux sont
´egaux, CQFD.
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