J159 – L’ECHIQUIER NOUVEAU.
Problème proposé par Raymond Bloch
Les cases d’un échiquier n x n contiennent 2021 jetons. Les nombres de jetons de deux cases voisines – par une arête commune – diffèrent de 1 exactement. Certaines cases peuvent être vides. Quelle est la plus grande valeur possible de n ?
Solution proposée par l’auteur.
Colorions les cases alternativement en noir et blanc comme un échiquier. Comme les nombres de 2 cases voisines différent de 1, tous les nombres des cases noires sont impairs et tous les nombres des cases blanches sont pairs, ou vice versa. Et n doit être impair : sinon il y aurait un nombre pair de cases blanches et de cases noires, et donc les nombres totaux de jetons sur les cases noires et sur les cases blanches seraient pairs (parce que la somme d’un nombre pair de nombres impairs est paire).
Si n est impair, on peut supposer qu’il y a (n2+ 1)/2 cases noires, et (n2 - 1)/2 cases blanches. Comme on recherche la plus grande valeur possible de n, écrivons que les cases blanches, les moins nombreuses, contiennent au plus la totalité des 2021 jetons : (n2 – 1)/2 ≤ 2021, d’où n≤ 63.
Et en effet, il est possible de disposer les 2021 jetons ainsi : 1 jeton sur chacune des (632 +1)/2 = 1985 cases noires, 2 jetons sur chacune des 18 premières cases blanches de la première rangée, soit :
1985 + 2 x 18 = 2021,les autres cases blanches restant vides en ayant une voisine noire contenant un jeton.
Le plus grand échiquier possible mesure donc 63 x 63.
