Les notations de l’algèbre linéaire
¦ Avant tout, un rappel des objets manipulés en algèbre linéaire.
• Les espaces vectoriels : ce sont des ensembles dont les éléments sont appelés vecteurs. On peut réaliser des opérations sur ces vecteurs (somme, produit par un scalaire et, plus généra- lement, combinaisons linéaires). Les sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel sont eux- mêmes des espaces vectoriels.
• Les vecteurs : ce sont les éléments d’un espace vectoriel.
• Les applications linéaires : ce sont des applications d’un espace vectorielEdans un autre.
• Les matrices.
• Les familles de vecteurs. Il s’agit toujours de familles d’éléments d’un même espace vectoriel E, en général ce sont des familles finies.
B Écrire une égalité entre des objets de types différents (par exemple entre une application linéaire et un sous-espace vectoriel) n’aaucun sens et est généralement signe d’une confusion qu’il faut identifier et éviter.
La notationVect. Siu1, . . . ,unsont des éléments d’un espace vectorielE, Vect(u1, . . . ,un) désigne le plus petit sous-espace vectoriel deEcontenantu1, . . . ,unou, de manière équivalente, l’ensemble de toutes les combinaisons linéaires deu1, . . . ,un. Par conséquent, Vect(u1, . . . ,un) est un sous-espace vectoriel deE. ÉcrireE=Vect(u1, . . . ,un) signifie que la famille (u1, . . . ,un) est génératrice deE.
La notationdim. Elle ne peut s’appliquer qu’à un espace vectoriel (et donc à un sous-espace vec- toriel) et il faut que cet espace soit de dimension finie. SiEest un espace de dimension finie, dimE représente la dimension deE, c’est à dire le nombre de vecteurs dans n’importe quelle base deE.
B La notation dim appliquée à autre chose qu’un espace vectoriel (application linéaire, famille de vecteurs, matrice, etc.) n’aaucun sens.
Les notationsKeretIm.
• Appliquées à une application linéairef :E→F, elles sont définies par :
Kerf ={x∈E|f(x)=0F} et Imf ={y∈F| ∃x∈E, y=f(x)}
En particulier, Kerf est un sous-espace vectoriel deEet Imf est un sous-espace vectoriel de F.
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• Appliquées à une matriceM ∈Mn,p(K), KerM et ImM désignent respectivement le noyau et l’image de l’application linéaire canoniquement associée àM. En particulier, KerM est un sous-espace vectoriel deKpet ImMest un sous-espace vectoriel deKn. On a également :
KerM={x∈Kp|M x=0} et ImM=Vect(C1, . . . ,Cp) avecC1, . . . ,Cp∈Knles colonnes deM.
La notationrg. C’est l’une de celles qui possède le plus de significations distinctes.
• Si (u1, . . . ,un) est une famille de vecteurs d’un espace vectorielE, alors par définition rg(u1, . . . ,un)=dim Vect(u1, . . . ,un)
B Rappelons que dim(u1, . . . ,un) n’aaucun sens.On peut être amenés à parler dunombre d’élémentsde la famille (u1, . . . ,un), on utilise pour cela la notation card(u1, . . . ,un) (qui vautn ici).
• Si f :E →F est une application linéaire et Imf est de dimension finie, alors rgf désigne la dimension de Imf.
• SiM∈Mn,p(K), alors rgM désigne le rang de l’application linéaire canoniquement associée àMou encore de manière équivalente :
rgM=rg(C1, . . . ,Cp) avecC1, . . . ,Cp∈Knles colonnes deM.
La notation+.
• Six ety sont deux éléments d’un même espace vectorielE,x+y est leur somme, c’est un élément deE.
• Sif etgsont deux applications linéaires deEdansF, alorsf+gest l’application : f +g: E → F
x 7→ f(x)+g(x) Ainsi, f+gest également une application linéaire deEdansF.
• SiFetGsont des sous-espaces vectoriels deE, alorsF+Gest défini par : F+G={x+y|x∈Fety∈G}={x∈E| ∃x0∈F,∃x00∈G, x=x0+x00} Ainsi,F+Gest un sous-espace vectoriel deE.
• La notation+a également un sens lorsqu’elle désigne la somme de deux matrices de même taille.
B La notation+s’applique à des éléments de même type (vecteur, application, sous-espace, etc.) et représente un élément du même type également. Il y a cependant une exception ; six est un vecteur deEetFun sous-espace vectoriel deE, alorsx+Fdésigne l’ensemble :
x+F={x+y|y∈F}
C’est un sous-ensemble deEmais ce n’est en général pas un sous-espace vectoriel deE. Cette nota- tion est utilisée pour décrire des ensembles de solutions d’équations linéaires.
La notation⊕. Elle ne s’applique qu’à deux sous-espaces vectorielsFetGd’un même espace vec- torielE. La notationF⊕G représente la sommeF+G et signale également que cette somme est directe. L’utilisation la plus fréquente est l’écritureE=F⊕Gqui signifie queFetGsont deux sous- espaces supplémentaires deE.
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