comme le volume de la sph`ere est 4πR3/3, le volume commun aux trous est 16R3/3

Enonc´e n^oD314 (Diophante) Deux clins d’oeil d’Archim`ede

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Question 1 – Commen¸cons par le clin d’oeil d’Archim`ede `a travers deux trous cylindriques que je perce dans un cube en bois homog`ene de masse

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egale `a 1000 grammes. Chacun des trous traverse deux faces oppos´ees du cube et leurs traces sont des cercles de mˆeme rayon R qui sont plac´es au centre des faces. Quel est en fonction de R le volume commun aux deux trous cylindriques ? Quelle est la surface du volume commun aux deux trous ?

Coupons ce volume par un plan parall`ele aux axes des cylindres. L’in- tersection est un carr´e, le cercle inscrit dans ce carr´e est le mˆeme que l’intersection du plan avec une sph`ere de rayonR centr´ee `a l’intersection des deux axes.

J’en conclus, le cˆot´e du carr´e ´etant le diam`etre du cercle, – que l’aire du carr´e est 4/πfois l’aire du cercle,

– que le p´erim`etre du carr´e est 4/πfois le p´erim`etre du cercle.

Ce mˆeme rapport vaut pour le volume de chaque tranche ´el´ementaire ; comme le volume de la sph`ere est 4πR³/3, le volume commun aux trous est 16R³/3.

Ce rapport vaut aussi pour la contribution de chaque tranche ´el´ementaire

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a la surface de la sph`ere et du volume commun : en effet, la sph`ere ´etant tangente aux cylindres, les ´el´ements de surface font le mˆeme angle avec le plan des deux axes. On peut aussi raisonner `a partir du volume en notant qu’il se d´ecompose en pyramides ´el´ementaires de hauteur R ayant pour base les ´el´ements de surface. Ainsi, comme l’aire de la sph`ere est 4πR², l’aire du volume commun aux trous est 16R².

Question 2 – Continuons avec un deuxi`eme clin d’oeil d’Archim`ede `a tra- vers le troisi`eme trou cylindrique qui comme les deux autres traverse les deux faces restantes oppos´ees du cube. Ses traces sont aussi des cercles plac´es au centre des faces. Les traces des trois trous cylindriques ont tous la mˆeme surface ´egale au quart de la surface de chaque face.

Sur le plateau de gauche d’une balance Roberval dont la sensibilit´e est de 10 grammes, je place le cube trou´e et sur le plateau de droite les morceaux que je viens de r´ecup´erer du per¸cage du cube. De quel cˆot´e penche la balance ?

Prenons des axes de coordonn´eesOxyz selon les axes des trois cylindres.

La section du volume commun aux cylindres d’axes Ox et Oy, `a la cote z=Rsinϕ, (0< ϕ < π/2), est un carr´e de cˆot´e 2Rcosϕ.

Si ϕ > π/4, ce carr´e est enti`erement contenu dans le 3e cylindre (d’axe Oz).

Si 0< ϕ < π/4, ce carr´e est amput´e par le 3e cylindre en ses 4 coins.

Je divise le carr´e par ses diagonales, partageant la partie hors 3e cylindre en 8 triangles curvilignes de mˆeme aire ; l’un d’eux est d´efini par

√

R²−x² < y < x < Rcosϕ.

Subdivisant ce triangle en quadrilat`eres ´el´ementaires par des plans pas- sant par l’axe Oz, d’´equation y = xtanα, la distance `a Oz dans un tel quadrilat`ere va deR `a Rcosϕ/cosα, pourϕ < α < π/4.

L’aire ´el´ementaire est (cos²ϕ/cos²α−1)R²dα/2, expression ayant pour primitive (cos²ϕtanα−α)R²/2.

Ainsi l’aire d’un triangle curviligne est (cos²ϕ−sinϕcosϕ+ϕ−π/4)R²/2,

soit pour 8 triangles et pour une tranche ´el´ementaire d’´epaisseur dz = Rcosϕ dϕ, un volume

(4 cos³ϕ−4 sinϕcos²ϕ+ 4ϕcosϕ−πcosϕ)R³dϕ.

Cette sxpression a pour primitive 1

(3 sinϕ+ (1/3) sin(3ϕ) + (4/3) cos³ϕ+ (4ϕ−π) sinϕ+ 4 cosϕ)R³. L’int´egrale sur 0< ϕ < π/4, qui vaut R³(4√

2−16/3), est la part z >0 du volume commun aux cylindres d’axes Ox et Oy qui est ext´erieure au cylindre d’axeOz. En d´esignant les trous parV_i (i= 1,2,3), ce volume est la demi-diff´erence entre le volume calcul´e `a la question 1 (16R³/3 =Vj∩V_k) et le volume commun aux trois trous, que je note | ∩_iV_i|.

Ainsi | ∩_iV_i|= 16R³/3−2R³(4√

2−16/3) =R³(16−8√ 2).

L’ensemble des morceaux r´esultant du per¸cage constitue la r´eunion ∪_iVi, son volume est fourni par la formule de Poincar´e

| ∪_iVi|=^X

i

|V_i| −^X

j,k

|V_j∩Vk|+| ∩_iVi|

= 3aπR²−3(16R³/3) +R³(16−8√

2) = 3aπR²−8R³√ 2) Comme πR² = a²/4, a = 2R√

π, la masse des morceaux en fraction de kilogramme est le rapport de leur volume `aa³ = 8R³√

π³, soit

| ∪_iVi|/a³ = 3/4−^p2/π³. La masse du cube trou´e est 1− | ∪_iV_i|/a³ = 1/4 +^p2/π³,

et comme π³ <32, la diff´erence `a l’avantage du cube trou´e est 2^p2/π³−1/2 = 0,007949. . .kilogramme, soit moins de 8 grammes.

Elle n’est pas sensible sur la balance de l’´enonc´e.

Remarque. L’´enonc´e n’´evoque pas l’aire du volume commun aux trois trous. Elle se d´etermine comme `a la question 1 en consid´erant que le volume se d´ecompose en pyramides ´el´ementaires de hauteur R, d’o`u la somme des aires des bases de ces pyramides 3R²(16−8√

2).

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