Approche du nombre dérivé
Conformément au programme de 1ère STG, nous nous proposons de chercher la position de la sécante à une courbe qui permet de minimiser les écarts au voisinage du point d’intersection.
Nous construisons une séquence de cours, sur ordinateur, destinée à être le support de l’introduction du nombre dérivé.
Pour permettre une approche rapide, nous changerons la position du point de tangence sur la courbe (en modifiant l’abscisse du point) et, dans chaque cas, nous ferons varier la position de la sécante.
Ceci doit permettre de convenir avec les élèves qu’il existe une position de la sécante qui minimise les écarts au voisinage du point, que cette position correspond à la tangente et que le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a à la courbe représentant la fonction carré est 2a.
Dans une deuxième étape, nous validerons ce résultat.
Première étape : phase de recherche.
Création de l’écran ci-dessous.
Construction Mettre en page et effectuer les réglages
• Partager l’écran en deux verticalement.
• Dans le demi-écran de gauche, cliquer et choisir : Graphiques & géométrie.
Notes
Construction Définir l’abscisse du point de tangence
• Cliquer dans la demi-page de droite et choisir Tableur & listes.
• Dans la case A11, écrire un nombre (entre – 3 et 3) et le stocker comme variable a. La case A11 apparaît alors sur fond gris.
Tracer la courbe et placer un point à l’endroit souhaité
• Revenir au graphique.
• Définir la fonction f1 en bas de page : f1(x) = x 2 et faire tracer la courbe.
Déplacer la définition de la fonction en haut d’écran.
• Placer un point sur la courbe. Ses coordonnées s’affichent.
• Avec le pointeur, désigner l’abscisse de ce point (qui s’affiche sur fond gris).
Appuyer sur var et lier cette abscisse à la variable a.
Le point se déplace de telle façon que son abscisse soit le nombre figurant dans la cellule A11 du tableur. Le vérifier en changeant ce nombre.
Tracer la sécante
• Définir la fonction f2 en bas de page : f2(x) = m *(x – a) + a 2.
Quand on fait varier le curseur, i.e. la variable m, la droite tourne alors autour du point K(a ; a 2).
Créer la table des écarts
• Dans la cellule A1, écrire = a11 – 0.04.
• Dans la cellule A2, écrire = a1+0.01, valider par ENTER.
• Dans la cellule B1, écrire = f1(a1), valider par ENTER.
• Dans la cellule C1, écrire = f2(a1), valider par ENTER.
• Dans la cellule D1, écrire = c1 – b1, valider par ENTER.
• Réduire les largeurs des colonnes A, B et C avec la souris, positionnée entre les têtes de colonnes, de telle façon que l’on visualise correctement la colonne D.
• Avec la souris, placer en surbrillance les cellules B1, C1 et D1. Placer le pointeur dans le coin en bas à droite de la cellule D1, une croix apparaît.
Tirer les formules sur la ligne 2.
• Renouveler l’opération en plaçant en surbrillance les cellules A2 à D2.
Tirer les formules jusqu’à la ligne 9.
Choisir, par exemple, a = 2 (dans la cellule A11). En faisant varier le curseur, on modifie la position de la sécante. On minimise les différences verticales entre la courbe et la droite quand la droite prend la position de tangente à la courbe.
Relever alors la valeur approchée m0 de m qui correspond à cette position.
Renouveler ce travail en d’autres points de la courbe (par exemple, a = 1, a = –2, a = 3). En déduire une valeur probable de m0 en fonction de a.
Il s’agit maintenant de valider ce résultat. C’est l’objet de l’activité 2 suivante.
Notes
Deuxième étape : phase de validation Création de l’écran ci-dessous.
Construction Mettre en page et effectuer les réglages
• Ouvrir une nouvelle activité et choisir : Graphiques & géométrie. Afficher Plan géométrique. Afficher ensuite la zone analytique.
• Positionner la zone graphique et saisir les extrémités des axes pour la dimensionner comme dans l’écran ci-dessus. Modifier alors les paramètres de la fenêtre pour obtenir la fenêtre (−5 ; 5 ; 1 ; −3 ; 25 ; 1).
Créer un curseur
• Dans le menu Actions, choisir Contrôle curseur. Par un clic-droit, accéder aux Réglages du curseur.
• Etirer les extrémités du curseur (voir ci-dessus), puis, p
• Appeler a la variable. Choisir −5 et 5 comme minimum et maximum, puis 0.1 comme incrément. Cette dernière valeur servira si on automatise la position de la tangente.
Tracer la courbe et la droite
• Définir la fonction f1 en bas de page : f1(x) = x 2 et faire tracer la courbe.
• Définir la fonction f2 en bas de page : f2(x) = 2a *(x – a) + a 2.
Notes
