G10189. Assemblez les morceaux
On coupe une barre droite en trois morceaux. Les coupes ´etant faites au hasard, quelle est la probabilit´e que les trois morceaux soient les cˆot´es d’un triangle ? (On n´eglige l’´epaisseur de la barre.)
Solution
Supposons d’abord que l’on fixe les points de coupe (choisis au hasard) avant de faire la premi`ere coupe. Prenant la longueur de la barre comme unit´e, les abscisses des points de coupe sontx ety, et le point (x, y) tombe au hasard dans le carr´e unit´e.
Dans un triangle, chaque cˆot´e est inf´erieur `a la somme des deux autres. Si x < y, les barres ont pour longueurx, y−x,1−y. On peut former un triangle six <1−x, 1−y < y,y−x < x+ 1−y, ou encorex <1/2< y, y−x <1/2, ce qui d´elimite dans le carr´e unit´e un triangle d’aire 1/8. Le cas y < x en fournit autant, d’o`u une probabilit´e 1/4.
Mais le r´esultat pr´ec´edent est sensible au mode d’intervention du hasard.
Supposons maintenant que l’on fait la premi`ere coupe, puis qu’on choisit au hasard le tron¸con `a recouper, avant de choisir (toujours au hasard) le second point de coupe. Si le choix entre les tron¸cons est fait proportionnellement aux longueurs, tout se passe comme dans le cas pr´ec´edent. Si ce choix est tir´e `a pile ou face, il y a une chance sur deux qu’on recoupe le tron¸con le plus court, sans possibilit´e de former un triangle. Soitx l’abscisse de la premi`ere coupe, et supposonsx >1/2. Avec probabilit´e 1/2, la seconde coupe est faite dans le morceau le plus long et fournit des longueursy, x−y,1−xavec une distribution de probabilit´e dy/xpour 0 < y < x. Les in´egalit´es du triangle donnentx−1/2< y <1/2, la probabilit´e d’un triangle (supposantxdonn´e et la coupe faite dans le tron¸con le plus long) est (1−x)/x= 1/x−1). La probabilit´e d’un triangle est ainsi l’int´egrale de (1/2)(1/x−1)dx sur 1/2<
x < 1, qui vaut (1/2)(ln 2−1/2). Le cas x < 1/2 fournit une probabilit´e
´egale, car il suffit de remplacerxpar 1−xdans le raisonnement pr´ec´edent.
La probabilit´e totale est donc ln 2−1/2 = 0,19314718. . ..
Enfin, si apr`es la premi`ere coupe le choix se portait a priori sur le tron¸con le plus long, la probabilit´e serait double : ln 4−1 = 0,38629436. . ..
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