Enonc´e noD331 (Diophante) L’exp´edition au grand air
J’ai install´e sur le m´eridien de Greenwich un campement `a partir duquel je r´ealise une exp´edition au grand air faite de six tron¸cons. Sur les cinq premiers de dix kilom`etres chacun je maintiens le cap successivement vers l’ouest, le sud, l’ouest, le sud, enfin l’ouest. Sur le sixi`eme et dernier tron¸con qui me ram`ene au campement, je garde toujours le cap plein nord. Je ne passe jamais deux fois par le mˆeme endroit. D´eterminer la longueur du dernier tron¸con et la latitude du campement.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Assimilant la terre `a une sph`ere, dix kilom`etres font un arc de 1/4000 de m´eridien, soit e= 0,09 degr´e ou π/2000 radian.
Le campement est `a la longitude 0 et la latitude `, compt´ee positivement vers le nord, entre−π/2 et π/2.
Le parall`ele`a une longueur 40000 cos`, et dix kilom`etres font faire 1/(4000 cos`) de tour vers l’ouest.
Le second tron¸con, sur le nouveau m´eridien, am`ene `a la latitude `−e.
Le troisi`eme tron¸con, sur le nouveau parall`ele, fait faire 1/(4000 cos(`−e)) de tour vers l’ouest.
Le quatri`eme tron¸con, sur le nouveau m´eridien, am`ene `a la latitude `−2e.
Le cinqui`eme tron¸con, sur le nouveau parall`ele, fait faire 1/(4000 cos(`−2e)) de tour vers l’ouest.
Le sixi`eme tron¸con, vers le nord, aboutit au campement, ce qui veut dire que le cinqui`eme tron¸con a ramen´e au m´eridien 0. Le 6e tron¸con, sur ce m´eridien, ram`ene `a la latitude `par un arc 2ede ce m´eridien, soit 20 kilom`etres.
On a fait un tour complet (pas plus, puisque on n’est pas repass´e par le mˆeme endroit) lors des trajets vers l’ouest, donc
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4000 cos`+ 1
4000 cos(`−e) + 1
4000 cos(`−2e) = 1
La r´esolution approch´ee de cette ´equation, compte tenu de la valeur de e, donne pour la latitude du campement
89,98199858◦ de latitude nord, `a 2002 m`etres du pˆole Nord,
ou 89,80199858◦ de latitude sud, `a 22002 m`etres du pˆole Sud (dont on est distant de 2002 m`etres lors du 5e tron¸con).
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