Enonc´e noI155 (Diophante) Les tourn´ees de Jones
Du lundi au vendredi, Jones fait de bon matin sa distribution de bouteilles de lait dans cinq quartiers diff´erents de la grande banlieue londonienne.
Selon les jours de la semaine, il dessert un quartier constitu´e de n2 blocs carr´es, chacun de 100 m`etres de cˆot´e, bord´es par des rues perpendicu- laires entre elles qui forment des quadrillages de dimension n×n avec n= 2,3,4,5 et 6 (voir sch´ema ci-dessus). En partant des points A,B,C,D et E, Jones d´epose ses bouteilles devant chacune des quatre fa¸cades de chaque bloc d’immeubles avant de revenir `a son point de d´epart. Comme Jones cherche `a r´eduire la dur´ee de ses tourn´ees, calculer la distance totale minimale parcourue `a la fin de la semaine.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Il va de soi que Jones traverse les rues autant qu’il le faut pour desservir les deux trottoirs `a la fois et, autant que possible, ne pas avoir `a revenir dans un tron¸con de rue o`u il est d´ej`a venu.
Il peut r´ealiser ce programme dans le r´eseau en gras repr´esent´e ci-dessus : tous les carrefours y ont un nombre pair de voies, ce qui, conform´ement `a un th´eor`eme d’Euler (c´el`ebre probl`eme des ponts de K¨onigsberg) permet un parcours ferm´e passant une fois et une seule dans chaque tron¸con. Il lui faudra cependant, pour que sa tourn´ee soit compl`ete, parcourir cha- cun des tron¸cons en maigre, partant d’une extr´emit´e et revenant sur ses pas comme s’il se terminait en impasse. (Si n est pair, une alternative
´equivalente consiste `a ignorer d’abord les tron¸cons en maigre, puis `a ter- miner en parcourant le p´erim`etre du quartier pour desservir ces tron¸cons).
Par rapport `a la longueur du r´eseau, le suppl´ement de parcours de Jones correspond aux parcours retour sur les tron¸cons en maigre.
Un quartier de n×n blocs comporte 2(n+ 1) rues de n hectom`etres.
Chaque cˆot´e du p´erim`etre doit comporter bn/2c tron¸cons en maigre, au moins, pour que tous les carrefours `a 3 branches n’aient plus que 2 branches dans le r´eseau en gras.
La longueur `a parcourir est donc
2n(n+ 1) + 4bn/2c= 2n2+ 4n−2(nmod 2) hectom`etres.
La distance minimale parcourue par Jones pour ce quartier est 2n2+ 4n−2(nmod 2) hectom`etres ou n2+ 2n−(nmod 2)
5 kilom`etres.
Le total pour la semaine est
6
X
n=2
n2+ 2n−(nmod 2)
5 = 25,6 kilom`etres.
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