5 Fonctions usuelles
1 Fonctions affines
On appellefonction affinetoute fonction définie surRet de la formexpÝÑmx`p, avecm, pPR. Définition 1 – Fonction affine
. En pratique. Le graphe def :xpÝÑmx`pest alors la droite de coefficient directeurmet d’ordonnée à l’originep. Si l’on connaît deux valeursfpaqetfpbqdef aveca‰b, alors m“fpbq ´fpaq
b´a .
y“mx`p
p
`1 m
y“|x| On appellefonction affine par morceaux toute fonctionf dont le domaine de défi- nition est la réunion d’un nombre fini d’intervalles disjoints sur lesquelsf est affine.
Exemple 2 La fonction valeur absolue est affine par morceaux, paire, continue surR maisdérivable surR˚ seulement.
Exemple 3 La fonctionf définie surRparxpÝÑ|x`1|´|x|`|x´2|est affine par morceaux.
En effet, pour toutxPR, fpxq “
$
’&
’%
px`1q ´x `px´2q “ x´1 sixě2 px`1q ´x ´px´2q “ 3´x si0ďxă2 px`1q `x ´px´2q “ x`3 si ´1ďxă0
´px`1q `x ´px´2q “ 1´x sixă ´1.
y“fpxq
2 Fonctions polynomiales et rationnelles
Pour toutn PZ, la fonction xpÝÑ xn est indéfiniment dérivable sur son ensemble de définition, à savoir R si ně0etR˚ sină0, de dérivéexpÝÑnxn´1. La parité d’une fonction puissance est celle de son exposant.
ną0pair ną0impair nă0pair nă0impair
Théorème 4 – Fonctions puissances entières
Démonstration.Pour toutnPN, notonsfn:xpÝÑxn. Le casnPNa été vu à l’exemple 30 du chapitre 4.
Pour toutnPZ´,fn“1{f´n est dérivable surR˚, par quotient, et fn1 “ ´ f´n1
pf´nq2 “ ´´nf´n´1
f´2n “nf´n´1´p´2nq“nfn´1.
L’expression annoncée est donc valable pour tout nPZ.
En combinant par opérations (combinaison linéaire et quotient) les fonctions puissances, on obtient les fonctions polynomiales et rationnelles.
• On appelle fonction polynomiale toute fonction f de la forme xpÝÑ anxn`an´1xn´1`. . .`a1x`a0, avec a0, . . . , an P R. Les réels ai sont appelés les coefficients de f et le plus grand exposant de x doté d’un coefficient non nul est appelé le degré def. Les fonctions polynomiales sont définies et indéfiniment dérivables surR.
• On appellefonction rationnelle tout quotient d’une fonction polynomiale par une fonction polynomiale non nulle. Une fonction rationnelle est définie et indéfiniment dérivable là où son dénominateur ne s’annule pas.
Définition-théorème 5 – Fonctions polynomiales et rationnelles
Démonstration.Conséquences du théorème4par opérations (combinaison linéaire et quotient).
. En pratique . Pour calculer les limites en ˘8d’une fonction polynomiale ou rationnelle, on factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur, puis on simplifie. Par exemple :
4x5´6x4`5“
xÑ`8ÝÑ `8
hkkikkj 4x5 ˆ
ˆ 1´ 3
2x` 5 4x5
˙ loooooooooomoooooooooon
xÑ`8ÝÑ 1
xÑ`8ÝÑ `8 et x2`2x`7 3x2´1 “
x2 ˆ
1`2 x` 7
x2
˙
3x2 ˆ
1´ 1 3x2
˙ “ 1 3ˆ
1`2 x` 7
x2 1´ 1
3x2
xÑ`8ÝÑ 1 3,
ces récritures étant licites au voisinage de `8.
3 Fonctions exponentielle, logarithme(s) et puissances
• La fonctionlogarithme (népérien), notéeln, est l’unique primitive surR˚` de la fonction inverse qui s’annule en1, ainsi
@xPR˚`, lnx“ ˆ x
1
dt t .
Cette fonction est indéfiniment dérivable surR˚` et de dérivée la fonction inverse.
Elle réalise une bijection strictement croissante de R˚`surRet ln 1“0.
• On appelle fonction exponentielle, notée exp, la réciproque de la fonction loga- rithme. L’exponentielle est définie et indéfiniment dérivable surRavecexp1“exp.
On poseex“exppxq, pour toutxPR, et le nombree1 est notée(«2,718).
x 0 1 `8
ln ´8 0 `8
x ´8 0 `8
exp
0 1 `8
Les graphes des fonctions exp et ln sont symétriques l’un de l’autre par rapport à la première bissectrice.
y“ex
y“lnx y“x
1
1 e
e • Réciprocité. @xPR, lnpexq “x et @xPR˚`, elnx“x.
• Transformation somme/produit.
@x, yPR˚`, lnpxyq “lnx`lny et @x, yPR, ex`y“exey.
• Croissance comparée.
xÑ`8lim lnx
x “0, lim
xÑ0xlnx“0 et lim
xÑ`8
x ex “0.
• Inégalités classiques. Pour toutxP s´1,`8r, lnp1`xq ďx, et, pour toutxPR, exěx`1.
Définition-théorème 6 – Fonctions exponentielle et logarithme
Démonstration....
Attention ! Le réel ex n’est pas «emultipliéxfois par lui-même », puisque en général xn’est pas un entier naturel – que signifierait «emultiplié?
2 fois par lui-même » ? Cette écriture n’est qu’une notation, utilisée par souci de commodité, dans la mesure où l’exponentielle transforme les sommes en produits à l’instar des puissances classiques.
Des transformations somme/produit réalisées par le logarithme et l’exponentielle, on déduit 1. @x, yPR˚`, ln
ˆx y
˙
“lnx´lny; 2. @xPR˚`, @nPZ, lnpxnq “nlnx; 3. @x, yPR, ex´y“ex
ey ; 4. @xPR, @nPZ, enx “ pexqn. Corollaire 7
Démonstration....
Exemple 8 – Deux limites classiques lim
xÑ0
lnp1`xq
x “1 et lim
xÑ0
ex´1 x “1.
Soitaun réel strictement positif et différent de1. On appellelogarithme de basea, notéeloga, la fonction définie surR˚` par
@xPR˚`, logax“ lnx lna.
En particulier, log10 est appelé le logarithme décimal et log2 le logarithme binaire. À l’instar de la fonction logarithme, on a, pour tousx, yPR˚` etnPZ,
loga1“0, logaa“1, logapxyq “logax`logay, loga ˆx
y
˙
“logax´logay et logapxnq “nlogax.
Définition-théorème 9 – Logarithme de base quelconque
Démonstration.Exercice.
Exemple 10
• Le logarithme décimal intervient en physique (décibels) et en chimie (pH).
• Sipest un entier naturel non nul, le nombre de chiffres nécessaires pour l’écriture en base10depestt1`log10pu.
En effet, il existe un unique entiern tel quep“an10n`an´110n´1`. . .`a110`a0, avecai des entiers de l’intervalleJ0,9Ketan ‰0. Alors
10n ďpă10n`1 ùñ nďlog10păn`1, soitn“tlog10pu.
Puissance d’exposant quelconque Les fonctions logarithme et exponentielle permettent de généraliser la notion de fonctions puissances du théorème 4pour un exposant réel quelconque (i.e.non nécessairement entier).
Soitxun réelstrictement positif.
• Pour toutyPR, on appellexpuissance y, notéxy, le réel défini par xy“eylnx.
• Pour toutnPN˚ (entierdonc), on appelleracinene dex, noté ?n
x, le réel défini par ?n
x“x1{n. Définition 11 – Puissances quelconques et racines nes d’un réel strictement positif
Attention !
• Cette nouvelle définitionxy“eylnxn’est valable que pour des valeursstrictement positivesdexdu fait de la présence du termelnx.
• Ici aussi, la notation « puissance » n’est qu’une notation, xy n’est pas le produit de x avec lui-même y fois.
Il n’existe aucune autre définition dexy dans le cas oùy est un réel quelconque. Par conséquent, lorsque l’on aperçoitxy quelque part, l’exponentielle et le logarithmedoiventsauter aux yeux instantanément.
Exemple 12 Pour toutxą1, xln lnlnxx “exp
´lnplnxq
lnx lnx
¯
“expplnplnxqq “lnx.
La nouvelle définition des puissances généralise effectivement l’ancienne.
(i) Pour tousxPR˚` et nPN˚, les définitions xn “
nfacteurs
hkkkkkikkkkkj
xˆ ¨ ¨ ¨ ˆx et xn“enlnx coïncident.
(ii) Pour tousx, yPR˚` eta, bPR,
lnpxaq “alnx, xa`b“xaxb, xab“ pxaqb, pxyqa “xaya et x´a“ 1 xa “
ˆ1 x
˙a
. Théorème 13 – Propriétés algébriques des puissances
Démonstration....
Remarque 14 – Fonction racinene D’après le point(ii) du théorème précédent, pour tousxPR˚` et nPN˚, pxnq1{n“xnˆ1{n“x et
´ x1{n
¯n
“x1{nˆn “x.
Autrement dit, la fonction racine nexpÝÑx1{n est la réciproque de la fonction puissance xpÝÑxn, restreinte à R˚`. En particulier,x1{2“?
x.
SoitαPR.
(i) La fonctionfα:xpÝÑxα est définie et indéfiniment dérivable sur R˚` de dérivée
xpÝÑαxα´1.
En particulier, la monotonie defαest liée au signe deα.
(ii) Position relative.
Pour tousxP s0,1setα, βPR, αďβ ùñ xβďxα. Pour tousxP r1,`8ret α, βPR, αďβ ùñ xαďxβ. En particulier :
• @xP s0,1s, 0ď. . .ďx2ďxď?
xď1ď 1 x ď 1
x2 ď. . .
• @xP r1,`8r, 0ď. . .ď 1 x2 ď 1
x ď1ď?
xďxďx2ď. . .
αą1
0ăαă1
αă0 α“1
α“0
Prolongement par continuité en0, pour αą0.
(iii) Prolongement par continuité en 0 pour αą0. Lorsque α ą 0, on peut prolonger la fonction fα par continuité en0, en posant 0α“0. La nouvelle fonction obtenue est définie et continue surR` tout entier, y compris en0. Un tel prolongement est appeléprolongement par continuité.
Théorème 15 – Étude des fonctions puissances
Attention ! Pour α P s0,1r, la fonction fα est continue en 0, mais elle y admet une demi-tangente verticale, signe qu’elle n’est pas dérivable en 0, ce qui est notamment le cas de la fonction racine carrée?
¨ “f1{2.
Démonstration....
Attention ! Pour étudier (et notamment dériver) une expression de la forme upxqvpxqil est indispensable de passer à la forme exponentielle en l’écrivant sous la formeexppvpxqlnpupxqqq!
Le théorème qui suit généralise les résultats de croissance comparée du théorème6.
Le principe général est que l’exponentielle l’emporte sur les puissances qui elles-mêmes l’emportent sur le loga- rithme. Précisément, pour tousαą0 etβą0,
xÑ`8lim plnxqβ
xα “0, lim
xÑ0xα|lnx|β“0, lim
xÑ`8
eαx
xβ “ `8 et lim
xÑ´8|x|βeαx“0.
Théorème 16 – Croissances comparées
Démonstration....
Remarque 17 Les résultats précédents n’abordent que le cas essentielαą0 etβą0. En effet :
• on s’y ramène aisément par passage à l’inverse lorsqueαă0 etβ ă0;
• dans les autres cas, le calcul de limite ne souffre d’aucune indétermination.
4 Fonctions trigonométriques
Soitα, βPR.
• Pour tousx, yPR, on dit quexest congru ày modulo α, notéx”y rαs, lorsque : DkPZ, x“y`kα.
• L’ensembletxPR|x”β rαsu “ tβ`kα|kPZuest généralement notéαZ`β ouβ`αZ. Définition 18 – Relation de congruence, ensemble αZ`β
Exemple 19
• Être pair, c’est être congru à0 modulo2, tandis qu’être impair, c’est être congru à1modulo2. L’ensemble des entiers pairs correspond à2Zet celui des entiers impairs à2Z`1.
• Les mesures d’angles orientés sont définies modulo2π.
• On peut généraliser la notation «αZ`β». Par exemple, ı
´π 2 ,π
2
”
`πZ est l’ensemble des réels de la forme x`kπ, avecxP
ı
´π 2,π
2
”
etkPZ. Remarquons qu’ici on a ı
´π 2,π
2
”
`πZ“Rz
´π 2 `πZ
¯ .
4.1 Fonctions circulaires
Enroulement de la droite numérique. Soitpdqune droite numérique graduée, qui représente les réels, et dont le 0 coïncide avec le point I d’un repère orthonormé pO, I, Jqdu plan. Quand on enroule cette droite sur le cercleC de centreO et de rayon 1, dit cercle trigonométrique, la demi-droite des réels positifs dans le sens direct et la demi-droite des réels négatifs dans le sens indirect, chaque réelxvient s’appliquer sur un unique pointM du cercleC. On dit que le point M est l’image dexsur le cercleC.
Exemple 20 J est l’image de π
2, mais aussi de´3π 2 .
O I
C J
` x, M cosx sinx
0 2 1
´1 y
La longueur du cercle trigonométrique C, i.e.son périmètre, étant 2π, deux réelsxet x1 ont même point image par cet enroulement sur C si et seulement si leur distance correspond à un nombre entier de tours de C, autrement dit s’ils sont congrus modulo2π.
Tout point de C est l’image d’une infinité de réels. Précisément, si x est l’un deux, alors les autres sont les éléments dex`2πZ.
Théorème 21
SoitM l’image d’un réelxsur le cercle trigonométrique C. On appelle respectivementcosinus de xetsinus de x, noté cosxetsinx, l’abscisse et l’ordonnée deM.
Définition 22 – Cosinus et sinus d’un réel
• Les fonctionssinus et cosinus sont définies et indéfiniment dérivables surRet2π-périodiques. La fonction sinus est impaire, la fonction cosinus paire et en outre :
1
´1
y“sinpxq
π 2
π 3π
2 2π
sin1 “cos et cos1 “ ´sin
1
´1
y“cospxq π
2 π
3π 2
2π
• Une inégalité. Pour toutxPR, |sinx|ď|x|.
• Lien avec le cercle trigonométrique.Pour toutθPR, sin2θ`cos2θ“1.
Réciproquement, pour tout couplepx, yq PR2tel quex2`y2“1, il existe un réel θ, unique modulo 2π, tel que px, yq “ pcosθ,sinθq. Géométrique- ment, ce résultat signifie que tout point du cercle trigonométrique a des coordonnées de la formepcosθ,sinθq.
θ θ
cosθ sinθ
cosy siny
y
´y
π´y • Résolution d’équations.Pour tousx, yPR,
# sinx “ siny ðñ x ” y r2πs ou x ” π´y r2πs cosx “ cosy ðñ x ” y r2πs ou x ” ´yr2πs Ces équivalences se lisent sur le cercle trigonométrique, ce qu’illustre la figure ci-contre.
• Angles associés.Les relations suivantes se lisent toutes sur le cercle trigonométrique. Pour toutxPR, sinpπ`xq “ ´sinx sinpπ´xq “sinx sin
´π 2 `x
¯
“cosx sin
´π 2 ´x
¯
“cosx† cospπ`xq “ ´cosx cospπ´xq “ ´cosx cos
´π 2 `x
¯
“ ´sinx cos
´π 2 ´x
¯
“sinx Définition-théorème 23 – Fonctions sinus et cosinus, lien avec le cercle trigonométrique
Démonstration.Cf. annexeC.
Exemple 24 – Deux limites classiques lim
xÑ0
sinx
x “1 et lim
xÑ0
cosx´1 x “0.
Pour tousx, yPR,
sinpx`yq “sinxcosy`cosxsiny sinpx´yq “sinxcosy´cosxsiny cospx`yq “cosxcosy´sinxsiny cospx´yq “cosxcosy`sinxsiny
sinxsiny“ 1
2pcospx´yq ´cospx`yqq sinxcosy“ 1
2psinpx`yq `sinpx´yqq cosxcosy“ 1
2pcospx`yq `cospx´yqq Pourx“y, ces relations s’appellentformules de duplication: sin2x“1´cosp2xq
2 , cos2x“ 1`cosp2xq
2 ,
sinp2xq “2 cosxsinx et cosp2xq “cos2x´sin2x“2 cos2x´1“1´2 sin2x.
Théorème 25 – Formules d’addition et de produit
Démonstration.Cf. annexeC.
†. Cette égalité traduit la propriété géométrique : « le cosinus (co-sinus) d’un anglexest égal au sinus de l’angle complémentaireπ 2´x».
Exemple 26 D’après les relationssinpx`πq “ ´sinxetcospx`πq “ ´cosx, ajouterπdans un sinus ou un cosinus revient à le multiplier par ´1. Ainsi, a fortiori, pour toutkPN˚, ajouterkπ“π`. . .`π
looooomooooon
kfois
revient à multiplier par
kfois
hkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkj
p´1q ˆ. . .ˆ p´1q “ p´1qk et cela reste vrai pourkPZ. Finalement, pour tousxPRet kPZ, sinpx`kπq “ p´1qksinx et cospx`kπq “ p´1qkcosx.
Exemple 27 – Dérivéeskesde sin et cos. De sin1x“cosx“sin
´ x`π
2
¯
et cos1x“ ´sinx“cos
´ x`π
2
¯ , pour tout xPR, on déduit, par récurrence immédiate surkPN,
@xPR, @kPN, sinpkqx“sin ˆ
x`kπ 2
˙
et cospkqx“cos ˆ
x`kπ 2
˙ .
Attention ! On évitera les erreurs gravissimes suivantes concernant le sinus et celles similaires pour le cosinus :
Pour tousx, yPR, sinx“siny ðñ x“y r2πs. Pour tousx, yPR, cosx“cosy ðñ x“yr2πs.
Exemple 28 Pour toutxPR, sinx“cosx ðñ x”π 4 rπs.
En effet, sinx“cosx ðñ sinx“sin
´π 2 ´x
¯ ðñ x”π
2´xr2πs ou x”π´
´π 2 ´x
¯
r2πs ðñ 2x” π
2 r2πs ou 0”π 2 r2πs looooomooooon
Impossible
ðñ x”π 4 rπs.
.En pratique. Factorisation de a cos(t) + b sin(t) Soitaet bdeux réels avecpa, bq ‰ p0,0q. Dans la mesure où
ˆ a
?a2`b2
˙2
`
ˆ b
?a2`b2
˙2
“1
il existe ϕPRtel que
ˆ a
?a2`b2, b
?a2`b2
˙
“ pcosϕ,sinϕqet il vient, pour touttPR, acost`bsint“
aa2`b2rcosϕcost`sinϕsints “a
a2`b2cospt´ϕq.
Remarque 29 Avec les notations précédentes et en supposantaet bpositifs, l’égalité acost`bsint“a
a2`b2cospt´ϕq
exprime que la somme des signaux sinusoïdauxtpÝÑacostettpÝÑbsint, d’amplitudes respectivesaetb, est encore un signal sinusoïdal d’amplitude ?
a2`b2et déphasé de´ϕ.
Exemple 30 Pour touttPR,
?
2 cost`
?
6 sint“? 2`6
„1 2cost`
?3 2 sint
“2? 2 cos
´ t´π
3
¯ .
Ainsi la somme des signaux sinusoïdaux t pÝÑ?
2 cost et tpÝÑ?
6 sintest un signal sinusoïdal d’amplitude 2? 2 et déphasé de ´π
3.
y“tanpxq
π
´π 2 2
´π
π
On appelle fonction tangente la fonc- tion définie sur
ı
´π 2,π
2
”
`πZ par la relation :
tan“ sin cos.
Elle est indéfiniment dérivable sur son ensemble de définition, π-périodique et impaire. En outre,
tan1“1`tan2“ 1 cos2.
θ cosθ
sinθ tanθ
#ThéorèmeDeThalès
Les formules suivantes sont vraies pour toutes les valeurs réels dexety pour lesquelles chaque tangente est correctement définie.†
• Résolution d’équations. tanx“tany ðñ x”y rπs.
• Angles associés. Pour toutxP ı
´π 2 ,π
2
”
`πZ, tanpπ`xq “tanx et tanpπ´xq “ ´tanx.
• Formules d’addition et de duplication.
tanpx`yq “ tanx`tany
1´tanxtany, tanpx´yq “ tanx´tany
1`tanxtany et tanp2xq “ 2 tanx 1´tan2x. Définition-théorème 31 – Fonction tangente
Démonstration....
Exemple 32 Pour toutxP s´π , πr `2πZ, si l’on poset“tanx 2, alors cosx“ 1´t2
1`t2, sinx“ 2t
1`t2 et, lorsquexP ı
´π 2 ,π
2
”
`πZ, tanx“ 2t 1´t2.
Il est important (conformément au programme) de savoir retrouver ces formules, notamment utiles pour certains calculs d’intégrales.
En effet, on a facilement
tanx“tan´ 2ˆx
2
¯
“ 2 tanx2
1´tan2x2 “ 2t 1´t2, puis
sinx“2 sinx 2cosx
2 “2 tanx 2 cos2x
2 “ 2 tanx2
1`tan2x2 “ 2t 1`t2 et enfin, puisquexı0 rπs,
cosx“ sinx tanx “
2t 1`t2
2t 1´t2
“1´t2 1`t2.
†. Le sens de cette phrase est que la bonne définition detanpx`yqassure notamment la non nullité du dénominateur 1´tanxtany dans la formule d’addition de la tangente. Idem pour les autres formules.
4.2 Fonctions circulaires réciproques
Du fait de leurs propriétés respectives de périodicité, les fonctions sinus, cosinus et tangente ne sauraient être injectives sur leurs ensembles de définition respectifs et a fortiori bijectives. En revanche, le théorème de la bijection peut être appliqué à des restrictions ad hoc de ses fonctions. Précisément,
• larestrictionde la fonction sinus à l’intervaller´π{2, π{2sest continue et strictement croissante, elle réalise donc une bijection der´π{2, π{2s surr´1,1s;
• larestriction de la fonction cosinus à l’intervalle r0, πs est continue et strictement décroissante, elle réalise donc une bijection der0, πs surr´1,1s;
• la restriction de la fonction tangente à l’intervalle s´π{2, π{2r est continue et strictement croissante, elle réalise donc une bijection des´π{2, π{2rsurR.
Ces choix privilégiés de restrictions mènent à la définition et au théorème suivants.
• La fonctionarc sinus, notée Arcsin, est la réciproque de sin|r´π{2,π{2s. Elle réalise une bijection strictement croissante der´1,1ssurr´π{2, π{2s, est impaire, continue surr´1,1set indéfiniment dérivable surs´1,1r.
Pour toutxP r´1,1s,Arcsinxest l’unique réel αder´π{2, π{2stel quesinα“x.
• La fonction arc cosinus, notée Arccos, est la réciproque de cos|r0,πs. Elle réalise une bijection strictement décroissante der´1,1ssurr0, πs, est continue surr´1,1set indéfiniment dérivable surs´1,1r.
Pour toutxP r´1,1s,Arccosxest l’unique réelαder0, πstel quecosα“x.
• La fonctionarc tangente, notéeArctan, est la réciproque detan|s´π{2,π{2r. Elle réalise une bijection strictement croissante deRsurs´π{2, π{2r, est impaire et indéfiniment dérivable surR.
Pour toutxPR,Arctanxest l’unique réel αdes´π{2, π{2rtel quetanα“x.
On dispose par ailleurs des formules suivantes
@xP s´1,1r, Arcsin1pxq “ 1
?1´x2 et Arccos1pxq “ ´1
?1´x2 et @xPR, Arctan1pxq “ 1 1`x2. Définition-théorème 33 – Fonctions arc sinus, arc cosinus et arc tangente
Démonstration....
y“x π{2
´π{2
´π{2
π{2
y“sinx
y“Arcsinx
x ´1 0 1
Arcsin ´π{2 0 π{2
y“x π
π{2
π{2 π
y“cosx y“Arccosx
x ´1 0 1
Arccos
π π{2
0
y“x
π{2
´π{2 π{2
´π{2
y“tanx
y“Arctanx
x ´8 0 `8
Arctan ´π{2 0 π{2
Remarque 34 Les fonctions arc sinus et arc cosinus ne sont pas dérivables en˘1, dans la mesure où les dérivées de leurs fonctions réciproques s’annulent aux abscisses correspondantes. En ces points leurs représentations graphiques possèdent une demi-tangente verticale.
Attention ! La fonction arc bidule n’est pas la réciproque de la fonction bidule, mais d’une de ses restrictions privilégiée. Par conséquent
Vrai :@xP r´1,1s, sinpArcsinxq “x. Vrai : @xP r´π{2, π{2s, Arcsinpsinxq “x.
Faux :@xPR, Arcsinpsinxq “x.
Vrai :@xP r´1,1s, cospArccosxq “x. Vrai :@xP r0, πs, Arccospcosxq “x.
Faux :@xPR, Arccospcosxq “x.
Vrai :@xPR, tanpArctanxq “x. Vrai :@xP s´π{2, π{2r, Arctanptanxq “x.
Faux :@xP s´π{2, π{2r `πZ, Arctanptanxq “x.
Exemple 35 Arcsin ˆ
sin5π 6
˙
“ π
6, Arccos
´ cos
´
´π 3
¯¯
“π
3 et Arctan
ˆ tan5π
6
˙
“ ´π 6.
Exemple 36 Pour toutxr´1,1s, cospArcsinxq “?
1´x2 et sinpArccosxq “? 1´x2.
Exemple 37 L’unique solution de l’équationArcsinx“Arccos4 5 est 3
5.
Exemple 38 Pour toutxP r´1,1s, Arcsinx`Arccosx“ π 2.
Exemple 39 Arctanx`Arctan1 x“
$
’&
’% π
2 sixą0,
´π
2 sixă0.
.En pratique. Le résultat de l’exemple précédent permet de ramener l’étude de la fonction arc tangente à l’infini à son étude en0.
Exemple 40 La fonctionf :xpÝÑxArctanxadmet en`8une asymptote d’équationy“ π 2x´1.
5 Fonctions hyperboliques
Les fonctionssinus hyperbolique etcosinus hyperboliques, notées respectivementsh etchet définies surRpar shx“ ex´e´x
2 et chx“ ex`e´x
2 ,
sont indéfiniment dérivables surR, avecsh1“chetch1“sh. La fonction sinus hyperbolique est impaire et réalise une bijection strictement croissante deRsur R. La fonction cosinus hyperbolique est paire et réalise une bijection strictement croissante deR` surr1,`8r. On a en outre
@xPR, ex“chx`shx et ch2x´sh2x“1.
x ´8 0 `8
ch `8
1
`8
sh ´8 0 `8
Définition-théorème 41 – Sinus et cosinus hyperboliques
Démonstration....
y“shpxq y“chpxq
1
Remarque 42
• Les fonctions sinus et cosinus hyperboliques sont respectivement la partie paire et la partie impaire de la fonction exponentielle.
• À l’instar des fonctions sinus et cosinus qui permettent de paramètrer le cercle trigonométrique, la relation ch2´sh2 “ 1 peut s’interpréter géométriquement en considérant l’hyperbole équilatèreHd’équationx2´y2“1.
La fonction sh étant bijective de R sur R, pour tout pointpx, yqdeHd’abscisse positive, il existe un unique réel ttel quepx, yq “ pcht,shtq. Ainsi, l’application
ˇ ˇ ˇ ˇ
R ÝÑ R2 t pÝÑ pcht,shtq
est un paramétrage de la branche droite de l’hy- perboleH, l’autre branche étant paramétrée par
ˇ ˇ ˇ ˇ
R ÝÑ R2 t pÝÑ p´cht,shtq.
cht sht
Exemple 43 Les solutions de l’équationchx“3sontln` 3˘2?
2˘ .
La fonctiontangente hyperbolique, notéethet définie surRpar thx“ shx
chx“ e2x´1 e2x`1, est impaire et indéfiniment dérivable surRavec
@xPR, th1x“ 1
ch2x“1´th2x.
Elle réalise une bijection strictement croissante deRsurs´1,1r.
x ´8 0 `8
th ´1 0 1
y“thpxq Définition-théorème 44 – Tangente hyperbolique
Démonstration....
A Table des dérivées des fonctions usuelles
Fonctionf Dérivéef1 Domaine de dérivavilité
1 xα pαPRq αxα´1
$
’’
&
’’
%
R siαPN
s´8,0r ou s0,`8r siαPZ´
s0,`8r sinon
2 lnx 1
x s0,`8r
3 ex ex R
4 sinx cosx R
5 cosx ´sinx R
6 tanx 1
cos2x “1`tan2x
ı
´π 2,π
2
”
`πZ
7 shx chx R
8 chx shx R
9 thx 1
ch2x “1´th2x R
10 Arcsinx 1
?1´x2 s´1,1r
11 Arccosx ´1
?1´x2 s´1,1r
12 Arctanx 1
1`x2 R
Remarque 45 Toutes les fonctions usuelles de la table ci-dessus sont indéfiniment dérivables sur leurs ensembles de dérivabilité respectifs.
B Valeurs remarquables des fonctions trigonométriques
Les valeurs remarquables des fonctions trigonométriques doivent être connuespar cœur!
x 0 π
6 π 4
π 3
π 2
sinx 0 1
2
?2 2
?3 2
1
cosx 1
?3 2
?2 2
1
2 0
tanx 0 1
?3 1 ? 3
x ´1 ´
?3
2 ´
?2 2 ´1
2 0 1
2
?2 2
?3
2 1
Arcsinx ´π 2 ´π
3 ´π 4 ´π
6 0 π
6 π 4
π 3
π 2 Arccosx ´π 5π
6 3π
4 2π
3 π 2
π 3
π 4
π
6 0
x 0 1
?3 1 ?
3 `8
Arctanx 0 π
6 π 4
π 3
π 2
C Preuves des théorèmes 23 et 25
Parité et périodicité. Les propriétés de parité et de2π-périodicité des fonctions sinus et cosinus découlent directement de leur définition géométrique.
Identité cos2`sin2“1. Simple conséquence du théorème de Pythagore.
Angles associés. Pour toutxPR, notonsMpxqle point de coordonnéespcosx,sinxq. Les formules concernant les angles associés découlent des remarques géométriques suivantes :
• π`x: Mpx`πqest le symétrique deMpxqpar rapport à l’origine du repère ;
• π´x: Mpπ´xqest le symétrique deMpxqpar rapport à l’axe des ordonnées ;
• π
2 ´x: M
´π 2 ´x
¯est le symétrique deMpxqpar rapport à la première bissectrice ; et de la relation π
2`x“π´
´π 2 ´x
¯.
Preuve du théorème 25. On considère le plan euclidien muni d’un repère orthonormé ´ O,~i,~j
¯. Rappelons que si
~
u1 “x1~i`y1~jet~u2“x2~i`y2~j, alors
~
u1¨~u2“k~u1k k~u2kcosp~u1, ~u2q “x1x2`y1y2.
• cospa´bq. Soita, bPR. Dans un repère orthonormé direct´ O,~i,~j
¯, considérons deux vecteurs unitaires~uet~vtels que´
~i, ~u¯
“bet´
~i, ~v¯
“a. On a alors~u“ pcosb,sinbqet~v“ pcosa,sinaq, d’où
~
u¨~v“cosacosb`sinasinb.
Mais on a aussi~u¨~v“cosp~u, ~vq “cospa´bq, puisque, d’après la relation de Chasles, p~u, ~vq “
´
~ u,~i
¯
`
´~i, ~v¯
“ ´
´~i, ~u¯
`
´~i, ~v¯
“a´b.
• sinpa´bq. Pour touta, bPR, sinpa´bq “cos
´π 2 ´a`b
¯
“cos
´π 2 ´a
¯
cosb´sin
´π 2
¯
sinb“sinacosb´sinbcosa.
• cospa`bqetsinpa`bq. Découlent des deux formules précédentes et des propriétés de parité desinetcos.
Les autres formules de produit et de duplication sont alors immédiates.
Dérivabilité et dérivées.
• sin1p0q “1. Pour toutxP ı
0,π 2
”, notonsM le point de coordonnéespcosx,sinxq,Ile point de coordonnéesp1,0qet N le point d’intersection de la droitepOMqavec la perpendiculaire à l’axe des abscisses passant parI. Il est alors clair que
Aire(triangleOIM)ďAire(secteurOIM)ďAire(triangleOIN) ðñ sinx
2 ď x
2 ďtanx
2 “ sinx 2 cosx
sinxą0ðñ 1ď x sinx ď 1
cosx ÝÑ
xÑ0`
1, ainsi, par encadrement et inverse, lim
xÑ0`
sinx
x “1. Or, par imparité du sinus, pour tout xă0,
sinx
x “ sinp´xq
´x ÝÑ
xÑ0´
1, par composition de limites. Au total, on a donc lim
xÑ0
sinx x “1.
O I
x cosx sinx
M N tanx
• cos1p0q “0. Pour toutxP ı
´π 2,π
2
”z t0u,cosx`1‰0et
cosx´cos 0
x “pcosx´1q pcosx`1q
xpcosx`1q “ cos2x´1
xpcosx`1q “ ´sin2x
xpcosx`1q “sinx
x ˆ ´sinx 1`cosxÝÑ
xÑ01ˆ0 2“0, par opérations sur les limites. Ainsicosest dérivable en0etcos10“0.
• sin1“cos. Pour tousxPReth‰0, sinpx`hq ´sinx
h “ sinxcosh`cosxsinh´sinx
h “ sinh
h cosx`sinxcosh´1
h ÝÑ
hÑ01ˆcosx`0ˆ0“cosx, par opérations sur les limites. Ainsisinest dérivable surRetsin1“cos.
• cos1“sin. Pour toutxPR,cosx“sin´ x`π
2
¯, ainsicosest dérivable surR, par composition, et, pour toutxPR,
cos1x“1ˆsin1
´ x`π
2
¯
“cos
´ x`π
2
¯
“ ´sinx.
On en déduit par récurrence immédiate surNque les fonctions sinus et cosinus sont indéfiniment dérivables surR.
Inégalité|sinx|ď|x|.
• Surr0, πs. La fonction sinus est concave surr0, πs(sin2“ ´sinď0), on a donc, pour toutxP r0, πs, 0ďsinxďsin10px´0q `sin 0“x.
• Surr´π ,0s. Découle du point précédent par imparité du sinus. En effet, pour toutxP r´π ,0s,
|sinx|“|´sinp´xq|“|sinp´xq|ď|´x|“|x|.
• SurRz r´π , πs. L’inégalité est triviale, dans la mesure où le sinus est à valeurs dansr´1,1s.
