1.1G´en´eralit´es 1IntroductionauxProbabilit´es

Probabilit´ es Math´ ematiques 218

1 Introduction aux Probabilit´ es

1.1 G´ en´ eralit´ es

Le hasard est le fait d’´ ev` enements qu’on ne peut pas pr´ evoir et qui font partie de notre quotidien. Les exemples sont nombreux :

–Les jeux de hasard bien sˆ ur, mais aussi,

–La dur´ ee de vie d’un individu ou d’une lampe;

–Le nombre d’appels t´ el´ ephoniques dans un central t´ el´ ephonique;

–Les mouvements d’une particule (mouvement brownien);

–L’h´ er´ edit´ e des caract` eres g´ en´ etiques;

–Les ph´ enom` enes m´ et´ eorologiques; etc

Beaucoup de ph´ enom` enes naturels sont consid´ er´ es comme le fruit du hasard (“ph´ enom` enes al´ eatoires”), pour la simple raison qu’on ne maˆıtrise pas tous les param` etres intervenant dans la description de ces ph´ enom` enes. La d´ esin- t´ egration d’un atome de radium, par exemple, d´ epend de faits que nous ne pouvons prendre en consid´ eration ` a l’heure actuelle.

On cherche ` a d´ ecrire un mod` ele math´ ematique qui rende compte plus ou moins fid` element d’une exp´ erience al´ eatoire; c’est facile pour certaines (jet d’un d´ e), difficile ou impossible pour d’autres (m´ et´ eo). On note

• Ω l’ensemble de tous les r´ esultats ´ el´ ementaires possibles appel´ e univers.

Par exemple, pour le lancer d’un d´ e, Ω = {1, ..., 6};

Pour le jeu de pile ou face avec n jets, Ω = {0, 1} ⁿ ;

Pour la dur´ ee de vie, Ω = R ⁺ ou N si on compte en unit´ es de temps;

Pour le central t´ el´ ephonique, Ω = N ^d s’il y a d r´ ecepteurs;

Pour le mouvement d’une particule, Ω = R ³ ou Z ³ ; etc

• A, l’alg` ebre des ´ ev` enements; c’est l’ensemble de tous les ´ ev` enements li´ es ` a l’exp´ erience, qui s’expriment ` a l’aide des r´ esultats ´ el´ ementaires. Par exemple, pour le lancer d’un d´ e, A =“Obtenir un nombre pair”;

Pour le jeu de pile ou face avec n jets, B =“Avoir 3 PILE successifs”;

Pour le mouvement d’une particule : “la particule ne coupe pas le plan xOy” ;

etc

On peut tout naturellement d´ efinir des op´ erations sur les ´ ev` enements, que l’on traduit par des op´ erations logiques (union, intersection, etc) ce qui revient ` a identifier un ´ ev` enement ` a une partie de Ω. Ainsi ∅ est l’´ ev` enement impossible et Ω l’´ ev` enement certain; l’´ ev` enement contraire ` a A est not´ e A ^c , la conjonction des ´ ev` enements A et B, A∩ B et la disjonction des ´ ev` enements A et B, A ∪ B. On les a r´ esum´ ees dans le tableau :

A = ∅ A jamais r´ ealis´ e A = Ω A toujours r´ ealis´ e

A ^c ou A r´ ealis´ e quand A n’est pas r´ ealis´ e A ∩ B r´ ealisation simultan´ ee de A et B.

A ∪ B r´ ealisation de A ou B (ou non exclusif) A\B A est r´ ealis´ e mais B ne l’est pas A ⊂ B B est r´ ealis´ e d` es que A l’est

∪ ^∞ _n=1 A _n r´ ealisation d’un au moins des A _n , n ≥ 1

∩ ^∞ _n=1 A _n r´ ealisation de tous les A _n , n ≥ 1

Rappelons les quelques r` egles ` a connaˆıtre en th´ eorie des ensembles.

. Ω ^c = ∅ et (A ^c ) ^c = A;

. (A ∪ B) ^c = A ^c ∩ B ^c et (A ∩ B) ^c = A ^c ∪ B ^c ;

. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) et A ∩ (∪ _n B _n ) = ∪ _n (A ∩ B _n ).

• P la probabilit´ e d´ efinie sur (Ω, A). On essaie d’estimer au mieux la probabilit´ e que l’´ ev` enement A ait lieu; pour cela on s’inspire de la notion empirique de fr´ equence : on r´ ep` ete N fois une exp´ erience (penser au lancer d’un d´ e) et on note N _A le nombre de fois o` u A est r´ ealis´ e. Alors, la fr´ equence d’apparition de A est

f _A = N _A N

Clairement la fr´ equence poss` ede les propri´ et´ es suivantes : 0 ≤ f A ≤ 1;

f _Ω = 1;

f A∪B = f _A + f _B si A ∩ B = ∅.

On va s’inspirer de ces propri´ et´ es pour d´ efinir les axiomes d’une probabilit´ e.

Retenons d´ ej` a

(1) 0 ≤ P (A) ≤ 1;

(2) P (Ω) = 1;

(3) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) si A ∩ B = ∅.

Commen¸cons par le cas simple o` u Ω est un ensemble fini.

1.2 Probabilit´ es finies et combinatoire

Lorsque Ω est un ensemble fini {ω ₁ , ..., ω _n }, on peut ´ enum´ erer toutes les parties de Ω, P (Ω), qui sont elles-aussi en nombre fini. Les singletons {ω i } sont les ´ ev` enements ´ el´ ementaires et A = P (Ω) : tout ´ ev` enement est une union finie d’´ ev` enements ´ el´ ementaires. La propri´ et´ e (3) s’´ ecrit

P (A) = ^X

i;ω

⊂A

P ({ω _i })

Dans ce cas particulier une probabilit´ e est donc enti` erement d´ efinie par les probabilit´ es des ´ ev` enements ´ el´ ementaires, not´ ees p 1 , ..., p n ; en r´ esum´ e

Une probabilit´ e sur un ensemble fini {ω ₁ , ..., ω _n } est la donn´ ee de n nombres p ₁ , ..., p _n tels que

•0 ≤ p _i ≤ 1, et ^{P n} ₁ p _i = 1

•P (A) = ^P _i;ω

_⊂A p _i

•P (A ∪ B) = P (A) + P (B) si A ∩ B = ∅.

† Cas particulier important Fr´ equemment dans les jeux de hasard, pour des raisons de sym´ etrie, les ´ ev` enements ´ el´ ementaires ont la mˆ eme prob- abilit´ e (´ equiprobables); si Ω a n points, n´ ecessairement, pour r´ ealiser ^{P n} ₁ p i = 1, on doit avoir p _i = 1/n pour tout i. Ainsi

P (A) = ^X

i;ω

⊂A

1 n = |A|

n = |A|

|Ω|

en notant |A| le nombre de points de l’ensemble A (ou le cardinal de A, not´ e encore #A).

On dit que P est la probabilit´ e uniforme sur Ω et on l’exprime par la phrase mn´ emotechnique “Nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles.” Ceci nous am` ene tout naturellement au d´ enombrement et ` a la combinatoire.

Exemples simples 1. On lance un d´ e; les faces sont ´ equiprobables

et si p _i est la probabilit´ e d’amener i, p _i = 1/6, i = 1, 2, ..., 6. Si A est

l’´ ev` enement “on a obtenu un nombre pair” et B “on a obtenu un multiple de 3”, P (A) = 1/2 et P (B ) = 1/3 tandis que P (A ∩ B ) = 1/6.

2. On lance deux d´ es; on choisit comme mod` ele, conforme ` a l’exp´ erience, Ω = {(i, j), 1 ≤ i, j ≤ 6}

l’ensemble des couples (ordonn´ es au sens o` u (x, y) 6= (y, x) si x 6= y), avec la probabilit´ e uniforme. Il faut donc calculer

|Ω| = 36;

L’´ ev` enement A “la somme des points obtenus est 4” est la r´ eunion des

´

ev` enements ´ el´ ementaires {(1, 3), (2, 2), (3, 1)} et P (A) = 3/36 = 1/12.

3. On lance n fois une pi` ece. Un ´ ev` enement ´ el´ ementaire est une suite de n “pile” ou “face”, not´ es P et F , et Ω, repr´ esent´ e par {P, F } ⁿ , a 2 ⁿ ´ el´ ements.

L’´ ev` enement A = “on a obtenu un seul pile” a comme probabilit´ e n/2 ⁿ .

†† Rappels de combinatoire

1. Cardinal d’un ensemble fini. A savoir :

|A × B| = |A|.|B|

ce qu’on a d´ ej` a utilis´ e pour calculer {0, 1} ⁿ = 2 ⁿ . Ainsi le nombre de k-uplets d’´ el´ ements pris dans Ω de cardinal n est

|Ω| ^k = n ^k . Par ailleurs

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

d’o` u l’additivit´ e du cardinal lorsque les ensembles sont disjoints.

2. Arrangements. On appelle arrangement de k objets (distincts) parmi n, et on note A ^k _n , le nombre d’´ echantillons (ordonn´ es) de taille k parmi n.

Attention!

Ne pas confondre “´ echantillon de taille k” et “k-uplet”

Un k-´ echantillon est une partie ordonn´ ee de k ´ el´ ements, sans r´ ep´ etition;

Un k-uplet est une partie ordonn´ ee de k ´ el´ ements

avec r´ ep´ etition possible.

Ainsi

A ^k _n = n(n − 1)...(n − k + 1), k ≤ n

(on a n choix pour le 1-er objet, n − 1 choix pour le second, etc...)

3. Permutations. Une permutation σ de {1, ..., n} est une bijection de l’ensemble qui envoie le n-uplet (x 1 , ..., x n ) sur le n-uplet (x σ(1) , ..., x σ(n) ), d´ ecrit dans un ordre diff´ erent. Le nombre de permutations de n objets est le nombre d’´ echantillons de taille n parmi n soit n!.

4. Combinaisons. On appelle combinaison de k objets parmi n, le nombre de parties ` a k objets pris parmi les n. Pour le calculer, on identifie les

´

echantillons faisant intervenir les mˆ emes objets et qui ne diff` erent que par une permutation. On en d´ eduit

C _n ^k = A ^k _n /k! = n!

k!(n − k)!

A savoir sur les coefficients binˆ ` omiaux : La formule du binˆ ome : ^{P n} _k=0 C _n ^k x ^k y ^n−k = (x + y) ⁿ et ses cons´ equences : ^{P n} _k=0 C _n ^k = 2 ⁿ , ^{P n} _k=0 C _n ^k (−1) ^k = 0.

Le triangle de Pascal et cette identit´ e : C _n+1 ^k+1 = C _n ^k+1 + C _n ^k

On peut exprimer ce qui pr´ ec` ede en termes de tirage d’objets. Il y a deux types de tirage, avec ou sans remise; deux types d’ensemble de k objets tir´ es, selon qu’on tient compte ou non de l’ordre. Voici un tableau r´ ecapitulatif

avec remise sans remise Ordonn´ e n ^k n(n − 1)...(n − k + 1) Non ordonn´ e C _n+k−1 ^k (∗) C _n ^k

On peut ´ egalement exprimer ceci en termes de r´ epartition de k objets dans n boˆıtes. Il y a deux types de placement, selon que l’on met au plus un ou plusieurs objet(s) par boˆıte ; et deux types d’objets, discernable ou non (on peut interpr´ eter ce point de vue comme un “tirage” de boˆıte avec ou sans remise...).

plusieurs objets au plus un

par boˆıte par boˆıte

discernables n ^k n(n − 1)...(n − k + 1)

Non discernables C _n+k−1 ^k (∗) C _n ^k

Exercices de base

1. Quel est le nombre de tierc´ es possibles dans une course de 20 chevaux ? 2. Quel est le nombre de mots de longueur n construits sur un alphabet de 3 lettres {a, b, c} ?

3. Quel est le nombre de solutions de l’´ equation x ₁ + x ₂ + ... + x _n = k o` u x i = 0 ou 1 ?

4. Quel est le nombre de solutions de l’´ equation x ₁ + x ₂ + ... + x _n = k avec x _i entiers ≥ 0 ?

5. Comment peut-on r´ epartir p euros entre n personnes ?

Preuve de (∗): Choisissons le second point de vue : on dispose de n boˆıtes dans lesquelles on veut r´ epartir k boules indiscernables, avec ´ eventuel- lement plusieurs boules par boˆıte. On figure les bords des boˆıtes par des | et les boules par des O. Une r´ epartition possible prend la forme suivante :

|O|OO| |OO| |

cad une configuration de k boules et n + 1 barres, commen¸cant et finissant par une barre.

Or le nombre de fa¸cons de placer k boules parmi les n +k +1−2 = n+k −1

places possibles est C _n+k−1 ^k d’o` u (∗). ♦

5. Coefficient multinˆ omial

Soit n ₁ , n ₂ , ..., n _k k entiers ≥ 0 tels que n ₁ + n ₂ + ... + n _k = n

Le nombre de fa¸cons de r´ epartir n objets indiscernables dans k boˆıtes, avec exactement n _i objets dans la i-i` eme boˆıte, vaut n!

n 1 !...n k ! .

Preuve : On note B 1 , ..., B k les k boˆıtes. Il y a C _n ⁿ

fa¸cons de choisir les n ₁ objets destin´ es ` a la premi` ere boˆıte; C _n−n ⁿ

fa¸cons de choisir les n ₂ objets destin´ es ` a la deuxi` eme boˆıte; etc; il y a finalement C _n−(n ⁿ

1

+n

+...+n

) = 1 fa¸con de choisir les n k objets destin´ es ` a la derni` ere boˆıte. Le nombre cherch´ e est donc

C _n ⁿ

C _n−n ⁿ

...C _n−(n ⁿ

1

+n

+...+n

) = n!

n ₁ !(n − n ₁ )!

(n − n ₁ )!

n ₂ !(n − n ₁ − n ₂ )! ... n − (n ₁ + n ₂ + ... + n k−2 )!

n _k−1 !(n _k )!

= n!

n ₁ !...n _k !

♦

Exercices sur les probabilit´ es uniformes

1. Dans une assembl´ ee de r personnes, quelle est la probabilit´ e que toutes aient des jours d’anniversaire diff´ erents ? (On choisira un mod` ele qui ”colle” le mieux ` a la r´ ealit´ e, en pr´ ecisant Ω et en se situant dans le tableau r´ ecapitulatif)

2. On lance n balles de couleur diff´ erente dans n boˆıtes; quelle est la probabilit´ e qu’elles soient toutes occup´ ees ? (On pr´ ecisera le mod` ele choisi).

1.3 Axiomes d’une probabilit´ e

On consid` ere une exp´ erience al´ eatoire mod´ elis´ ee par (Ω, A), o` u Ω est l’en- semble des r´ esultats ´ el´ ementaires et A l’alg` ebre des ´ ev` enements. Lorsque Ω n’est plus fini, on ne peut pas d´ ecrire toute partie de Ω, encore moins lui attribuer une probabilit´ e; on se restreint donc ` a une classe d’´ ev` enements qui poss` ede les trois propri´ et´ es suivantes :

1) Elle contient ∅ et Ω.

2) Si A est dans A, l’´ ev` enement contraire y est aussi.

3) Si (A n ) est une suite d’´ ev` enements de A, la r´ eunion est encore dans A.

Noter que 2) et 3) entraˆınent que : si (A _n ) est une suite d’´ ev` enements de A, l’intersection est encore dans A.

Une probabilit´ e P sur (Ω, A) est une application P : A → [0, 1]

telle que :

•P (Ω) = 1

•P (A ∪ B) = P (A) + P (B) si A et B sont disjoints.

•P (∪ _n A _n ) = ^{P ∞} _n=1 P (A _n ) si les A _n sont disjoints deux ` a deux.

On pourrait d´ eduire le second axiome du troisi` eme mais il est plus sim- ple de le d´ egager. On aura besoin ` a l’occasion des propri´ et´ es suivantes qui d´ ecoulent imm´ ediatement de la d´ efinition encadr´ ee.

1) P (A ^c ) = 1 − P (A) 2) P (∅) = 0

3) P (A) ≤ P (B) si A ⊂ B

4) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

Preuve : Appliquons le second axiome avec B = A ^c ; puisque P (A) + P (A ^c ) = P (A ∪ A ^c ) = P (Ω) = 1, on a la premi` ere propri´ et´ e.

Ecrit en particulier avec A = Ω, 1) donne 2).

Si A ⊂ B , B peut s’´ ecrire comme union disjointe de A et B\A; ainsi P (B) = P (A) + P (B \A) ≥ P (A).

Plus g´ en´ eralement, lorsqu’on n’a plus d’inclusion de A dans B, B\A n’est autre que B\(A ∩ B); A et B\A sont encore disjoints et P (A ∪ B ) = P (A) + P (B\A); de mˆ eme B ´ etant l’union disjointe de B\A et A ∩ B , il vient

P (B\A) = P (B ) − P (A ∩ B) d’o` u 4). ♦

Exercices sur les probabilit´ es :

1) ´ Etablir une propri´ et´ e analogue ` a 4) avec trois ´ ev` enements.

2) Avec 4 ´ ev` enements, en supposant que les ´ ev` enements sont “´ echan- geables” cad :

P (A _i ) = α ∀i, P (A _i ∩ A _j ) = β ∀i < j P (A _i ∩ A _j ∩ A _k ) = γ ∀i < j < k

† Syst` eme complet d’´ ev` enements

Un syst` eme complet d’´ ev` enements est une suite d’´ ev` enements deux ` a deux disjoints et de r´ eunion ´ egale ` a Ω.

A ₁ , A ₂ , ..., A _n , ... ∈ A tels que

•A _j ∩ A _k = ∅ si j 6= k

• ∪ n A n = Ω

Comme parties de Ω, ces ensembles forment une partition de Ω.

1.4 Exercices r´ ecapitulatifs

1. Trouver la valeur des sommes

[n/2]

X

k=1

C _n ^2k ;

[n/2]−1

X

k=0

C _n ^2k+1 ,

et des sommes

n

X

k=1

kC _n ^k ;

n

X

k=1

(−1) ^k−1 kC _n ^k ;

2. Calculer le produit des C _n ^k : ^{Q n} _k=0 C _n ^k .

3. Calculer le coefficient de x ^k dans chaque membre de l’identit´ e : (1 + x) ⁿ (1 + x) ^m = (1 + x) ^n+m ; en d´ eduire la valeur de

n

X

j=1

C _n ^j C _m ^k−j , k ≤ n + m.

4. Etablir les identit´ es

n

X

0

(C _n ^k ) ² = C _2n ⁿ ,

n

X

0

k(C _n ^k ) ² = n 2 C _2n ⁿ

et donner un ´ equivalent de ces sommes quand n → ∞ ` a l’aide de la formule de Stirling (n! ∼ n ⁿ e ⁻ⁿ √

2πn).

5. Calculer A ⁰ _n + A ¹ _n + ... + A ⁿ _n .

6. Combien y a -t-il de fa¸cons d’asseoir 7 personnes : a) sur un banc de 7 places ?

b) autour d’une table ronde de 7 places ´ egalement ?

c) autour de cette table ronde si 2 personnes particuli` eres ne veulent pas ˆ

etre l’une ` a cˆ ot´ e de l’autre ?

7. Montrer qu’un ensemble fini a autant de parties de cardinal pair que de parties de cardinal impair.

8. On consid` ere n points A <sub>1</sub> , ..., A <sub>n</sub> dans le plan, 3 quelconques n’´ etant jamais align´ es. On les joint deux ` a deux de toutes les fa¸cons possibles. Calculer

a) Le nombre N de droites ainsi obtenues;

b) le nombre de points d’intersection de ces droites autres que les A _i , en supposant que deux droites quelconques ne sont jamais parall` eles.

9. ^♠ a) Etablir la formule des cardinaux pour des ensembles finis A ₁ , ..., A _n :

|A ₁ ∪ A ₂ ∪ ... ∪ A _n | =

n

X

1

|A _j | − ^X

i,j

|A _i ∩ A _j | + ^X

i,j,k

|A _i ∩ A _j ∩ A _k |−

... + (−1) ⁿ⁻¹ |A ₁ ∩ A ₂ ∩ ... ∩ A _n |.

b) Soit E = {1, 2, ..., n} et P l’ensemble des permutations de E. On pose pour chaque i, A _i = {ϕ ∈ P; ϕ(i) = i}, cad les permutations de E fixant i;

calculer |A i |, |A i ∩ A j |, |A i ∩ A j ∩ A k |...

c) D´ eduire de a) le cardinal de D, le nombre de permutations sans point

fixe.

10. On consid` ere le mot ATTACHANT.

a) Donner le nombre d’anagrammes de ce mot.

b) On tire au hasard et avec remise 4 lettres de ce mot; quelle est la probabilit´ e de pouvoir ´ ecrire CHAT avec ces lettres ?

c) Mˆ eme question si le tirage a lieu sans remise.

11. Un ascenseur desservant 10 ´ etages, contient 8 personnes qui descendent de fa¸con al´ eatoire.

a) Quelle est la probabilit´ e pour qu’aucune ne descende au second ´ etage ? b) Quelle est la probabilit´ e qu’elles descendent toutes ` a un mˆ eme ´ etage ? c) Quelle est la probabilit´ e pour que 2 descendent au second ´ etage, 1 descende au troisi` eme ´ etage et 5 au dernier ´ etage ?

12. Une urne contient n boules blanches et m boules rouges, n + m ≥ 2.

On tire deux boules simultan´ ement; quelle est la probabilit´ e d’obtenir deux boules de la mˆ eme couleur ? pour quelles valeurs de n, m cette probabilit´ e vaut-elle 1/2 ?

13. Une urne contient n boules num´ erot´ ees de 1 ` a n. On tire deux boules sans remise; quelle est la probabilit´ e que les deux boules sortent dans l’ordre de leur num´ ero ? quelle est la probabilit´ e pour que les num´ eros soient cons´ ecutifs ?

14. ^♥ Soit A et B deux ´ ev` enements tels que P (A) = P (B) = 3/4. Que peut-on dire de P (A ∩ B ) et P (A ∪ B ) ?

15. ^♠ (Les danseurs de Chicago) a) Dans une salle de danse il y a n couples.

Chaque femme choisit un cavalier au hasard. Quelle est la probabilit´ e pour que chaque femme danse avec son ´ epoux ? (cf exercice 9)

b) En repartant chaque homme reprend son chapeau au vestiaire mais de

fa¸con al´ eatoire. Quelle est la probabilit´ e qu’aucun ne reprenne son propre

chapeau ?

2 Conditionnement, Ind´ ependance

2.1 Probabilit´ es conditionnelles

Revenons ` a la notion empirique de fr´ equence. On s’int´ eresse ` a deux ´ ev` ene- ments A, B, li´ es ` a une mˆ eme exp´ erience al´ eatoire. On r´ ep` ete N fois cette exp´ erience et on note N <sub>B</sub> le nombre de fois o` u B est r´ ealis´ e. Parmi ces N _B r´ ealisations, l’´ ev` enement A s’est lui-mˆ eme r´ ealis´ e N A∩B fois. Le quotient

N

N

repr´ esente la fr´ equence relative d’apparition de A quand B est r´ ealis´ e.

Plus bri` evement f _A/B = ^N _N

B

est la fr´ equence de A sachant que B est r´ ealis´ e.

On remarque que

f _A/B = N A∩B

N N N B

= f A∩B

f B

D’o` u la d´ efinition de la probabilit´ e conditionnelle :

Si A et B ∈ A, on appelle probabilit´ e de A sachant B, le nombre : P (A/B) := P (A ∩ B)

P (B) si P (B ) > 0.

∇ Attention! Il s’agit d’un choix de mod` ele, donnant des r´ esultats qui ne sont pas toujours conformes ` a l’intuition premi` ere.

Exemple de base 1. Monsieur X a deux enfants; on sonne ` a sa porte et un gar¸con ouvre. Quelle est la probabilit´ e (conditionnelle) que l’autre soit une fille ? Cette information “il y a un gar¸con” r´ eduit les possibilit´ es dans la composition de la famille et laisse penser qu’il y a plus de chances que l’autre soit une fille. Mod´ elisons : on note B l’´ ev` enement “il y a un gar¸con”, A, “il y a une fille”, et, dans le mod` ele classique avec Ω = {GG, GF, F G, F F } et la probabilit´ e uniforme,

B = {GG, GF, F G}, A = {F G, GF, F F }

On en d´ eduit P (B) = 3/4, P (A ∩ B) = 1/2 et la probabilit´ e conditionnelle de A sachant B vaut

P (A/B ) = 2/3

2. On apprend que c’est l’aˆın´ e qui a ouvert la porte; quelle est la prob- abilit´ e qu’il y ait une fille ? On note cette fois C l’´ ev` enement “l’aˆın´ e est un gar¸con”;

C = {GG, GF }, A ∩ C = {GF } et P (A/C) = 1/2

Paradoxalement, l’apport d’information a augment´ e l’incertitude !

Propri´ et´ es : 1) Si B est de probabilit´ e non nulle, on peut v´ erifier que P (Ω/B) = 1

P ((A ∪ C)/B) = P (A/B) + P (C/B) si A ∩ C = ∅ P (A ^c /B) = 1 − P (A/B)

P (∪ _n A _n /B) = ^{P ∞} _n=1 P (A _n /B) si les A _n sont disjoints deux ` a deux.

Autrement dit, l’application : A ∈ A → P (A/B) est encore une proba- bilit´ e.

2) P (A ∩ B) = P (A/B)P (B)

3) Si A est de probabilit´ e non nulle, on a aussi bien P (B/A) = P (A/B)P (B )

P (A)

Remarquons que la d´ efinition peut prendre une forme sym´ etrique P (B/A)P (A) = P (A/B)P (B)

les deux valant P (A ∩ B) donc 0 si A ou B est de probabilit´ e nulle.

† Formule des Probabilit´ es Totales

On peut d´ ecomposer tout ´ ev` enement A sur la partition {B, B <sup>c</sup> } et ´ ecrire : A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B <sup>c</sup> ) o` u l’union est disjointe; on en d´ eduit

P (A) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B ^c ) = P (A/B)P (B) + P (A/B ^c )P (B ^c ) formule qui se g´ en´ eralise sous la forme suivante (formule des probabilit´ es totales)

Si (B i ) est un syst` eme complet d’´ ev` enements alors, pour tout A ∈ A P (A) = ^{P ∞} ₁ P (A/B _i )P (B _i )

Preuve : Puisque Ω est l’union disjointe des B _i , A = A ∩ (∪ ^∞ ₁ B _i ) = ∪ ^∞ ₁ (A ∩ B _i )

o` u l’union est disjointe. Par le troisi` eme axiome d’une probabilit´ e, on peut

´ ecrire

P (A) =

∞

X

1

P (A ∩ B i ) =

∞

X

1

P (A/B i )P (B i ).

♦

†† Formule de Bayes

La situation suivante se rencontre souvent dans la pratique : on connaˆıt P (A/B) et P (A/B ^c ) (donc P (A) par ce qui pr´ ec` ede) et on aimerait d´ ecider de la part de A dans la r´ ealisation de B. Commen¸cons par un exemple :

Exemple : On prend 100 d´ es dont 25 sont pip´ es; pour ces derniers la probabilit´ e d’amener un 6 est 1/2. On choisit un d´ e au hasard, on le lance et on obtient 6 ! Quelle est la probabilit´ e pour qu’on ait choisi un d´ e pip´ e ? Notons F l’´ ev` enement “le d´ e est pip´ e” et A l’´ ev` enement “le d´ e donne un 6”;

on connaˆıt bien sˆ ur P (A/F ) et P (A/F ^c ) et on souhaite calculer P (F/A) car c’est bien de cela qu’il s’agit, mˆ eme si le mot “conditionnelle” n’est pas ´ ecrit.

On calcule facilement

P (A) = P (A/F )P (F ) + P (A/F ^c )P (F ^c ) = 1 2 . 1

4 + 1 6 . 3

4 = 1 4 de sorte que,

P (F/A) = P (A/F )P (F )

P (A) = 1/2

On a juste combin´ e la propri´ et´ e 2) et la formule des probabilit´ e totales.

Plus g´ en´ eralement on a donc (formule de Bayes) Si (B _i ) est un syst` eme complet d’´ ev` enements alors,

pour A ∈ A de probabilit´ e non nulle, P (B _i /A) = P (B i )P (A/B i )

P ∞

1 P (A/B _i )P (B _i )

† † † Formule des Probabilit´ es Compos´ ees

Cette formule permet de calculer la probabilit´ e d’une intersection d’´ ev` ene- ments d´ ependants et sera d´ egag´ ee dans le paragraphe suivant.

Si (A _i ) est une suite d’´ ev` enements avec P (∩ ⁿ _i=1 A _i ) 6= ∅,

P (∩ ⁿ _i=1 A i ) = P (A 1 )P (A 2 /A 1 )P (A 3 /A 1 ∩ A 2 )...P (A n /A 1 ∩ ... ∩ A n−1 ) Preuve : Il est facile de donner une preuve par r´ ecurrence de cette formule. Pour n = 2 c’est une des propri´ et´ es de la probabilit´ e conditionnelle.

Supposons-la ´ etablie pour n ´ ev` enements et consid´ erons P (∩ ⁿ _i=1 A _i ∩ A _n+1 );

une nouvelle application de cette propri´ et´ e donne alors

P (∩ ⁿ _i=1 A _i ∩ A _n+1 ) = P (A _n+1 /A ₁ ∩ ... ∩ A _n )P (A ₁ ∩ ... ∩ A _n )

= P (A ₁ )P (A ₂ /A ₁ )...P (A _n /A ₁ ∩ ... ∩ A n−1 )P (A _n+1 /A ₁ ∩ ... ∩ A _n )

par l’hypoth` ese de r´ ecurrence. ♦ Exercices de base

1. Trois groupes de TD, G ₁ , G ₂ , G ₃ d’effectifs 36, 24, 30 ´ etudiants ont un taux de r´ eussite de 1/2, 1/3, 1/4 respectivement. Un ´ el` eve ayant r´ eussi, quelle est la probabilit´ e pour qu’il provienne du groupe G ₁ ?

2. Le quart d’une population a ´ et´ e vaccin´ ee contre une maladie. Au cours d’une ´ epid´ emie, on constate qu’il y a parmi les malades, un vaccin´ e contre quatre non-vaccin´ es.

a) Le vaccin a-t-il eu une efficacit´ e quelconque ?

b) On sait en outre qu’il y a un malade sur douze parmi les vaccin´ es.

Quelle est la probabilit´ e de tomber malade pour une personne non vaccin´ ee ? 3. Une chaussette se trouve avec probabilit´ e p ∈]0, 1[ dans une commode de sept tiroirs avec une mˆ eme probabilit´ e pour chaque tiroir. On a fouill´ e en vain dans les 6 premiers. Quelle est la probabilit´ e qu’elle se trouve dans le septi` eme ? (Ce n’est pas p !)

2.2 Ind´ ependance

On consid` ere une exp´ erience al´ eatoire toujours mod´ elis´ ee par (Ω, A). L’´ ev` e- nement A est ind´ ependant de l’´ ev` enement B si B n’a aucune influence sur la r´ ealisation de A; autrement dit la probabilit´ e que A soit r´ ealis´ e est la mˆ eme, que B soit r´ ealis´ e ou non. Cela s’´ ecrit P (A/B) = P (A).

Mais si P (A) 6= 0, B est ` a son tour ind´ ependant de A puisque P (B/A)P (A) = P (A/B)P (B ) = P (A)P (B) et P (B/A) = P (B). D’o` u la d´ efinition, plus sym´ etrique :

Les ´ ev` enements A, B ∈ A sont ind´ ependants si P (A ∩ B ) = P (A)P (B)

∇ Attention! Ne pas confondre “ind´ ependants” et “disjoints”; deux

´

ev` enements ind´ ependants peuvent avoir lieu simultan´ ement, par exemple

“gagner au loto” et “avoir le pied grec” ! Par contre deux ´ ev` enements dis- joints ne sont ind´ ependants que si l’un est de probabilit´ e nulle.

La d´ efinition d’ind´ ependance est de plus en plus exigeante lorsque le nom-

bre d’´ ev` enements en jeu augmente : l’ind´ ependance d’une famille de n ´ ev` ene-

ments signifie l’ind´ ependance de toute sous-famille de k ´ ev` enements, k ≤ n,

extraite de la famille.

Les ´ ev` enements A ₁ , ..., A _n ∈ A sont ind´ ependants si P (A _i

∩ ... ∩ A _i

) = ^{Q k} _j=1 P (A _i

)

pour tout i ₁ < i ₂ < ... < i _k , k = 1...n

∇ Attention! Ce n’est pas ´ equivalent ` a l’ind´ ependance deux ` a deux!

Dans la pratique, l’ind´ ependance est souvent une donn´ ee du probl` eme car r´ esultant de l’observation; on utilisera alors simplement ses cons´ equences. En particulier les propri´ et´ es suivantes.

Propri´ et´ es 1) Si A et B sont ind´ ependants, alors les ´ ev` enements A et B ^c , A ^c et B , et A ^c et B ^c le sont ´ egalement.

2) Si A ₁ , ..., A _n sont ind´ ependants, P (A ₁

^c ∩ ... ∩ A _n

^c ) = ^{Q n} ₁ P (A _i

^c ) pour tout choix de _i = 0, 1.

Preuve : Montrons ` a titre d’exercice les propri´ et´ es 1); en s’aidant de la sym´ etrie de la d´ efinition, il suffit de v´ erifier que A et B ^c sont ind´ ependants.

Or P (A)P (B ^c ) = P (A)(1 − P (B)) = P (A) − P (A ∩ B) par ind´ ependance de A et B. Mais P (A) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B ^c ) et P (A)P (B ^c ) = P (A ∩ B ^c ).

♦ On va d´ egager dans la fin de ce chapitre deux situations extrˆ emement im- portantes en calcul des probabilit´ es qui nous permettront de classer la plupart des exp´ eriences al´ eatoires. Un fait central en probabilit´ es et statistiques est la r´ ep´ etition d’exp´ eriences al´ eatoires identiques; soit parce que l’exp´ erience qui nous int´ eresse se pr´ esente ainsi : c’est le cas de nombreux jeux, “421” o` u on lance 3 d´ es successivement, “pile ou face” o` u on lance une pi` ece jusqu’` a l’obtention de pile etc; soit qu’on r´ ep` ete une mˆ eme exp´ erience pour estimer de mani` ere empirique la probabilit´ e d’un ´ ev` enement : c’est le cas des sondages par exemple. On va donc mod´ eliser les r´ ep´ etitions d’´ epreuves ind´ ependantes et les r´ ep´ etitions d’´ epreuves d´ ependantes.

† Successions d’´ epreuves ind´ ependantes Commen¸cons par des exemples.

Exemples 1. Lancer de deux d´ es, simultan´ ement ou non. Les r´ esultats

des lancers sont ind´ ependants et tout ´ ev` enement li´ e au second lancer est

ind´ ependant de tout ´ ev` enement li´ e au premier lancer. Si Ω ₁ et Ω ₂ sont les

univers de chaque lancer, Ω ₁ = Ω ₂ = {1, ..., 6} et Ω = Ω ₁ × Ω ₂ = {(i, j), 1 ≤

i, j ≤ 6}. P ((i, j )) = 1/36 = P ({i})P ({j}) en notant de la mˆ eme fa¸con la

probabilit´ e sur Ω et sur Ω ₁ .

2. Sexe des enfants successifs dans une famille de n enfants. L’univers est Ω ⁿ o` u Ω = {F, G} est l’univers de l’´ epreuve initiale; si ω = (ω ₁ , ..., ω _n ) ∈ Ω ⁿ , chaque ω i ´ etant une fille ou un gar¸con, P ({ω}) = 1/2 ⁿ = P ({ω 1 })...P ({ω n }).

3. Une ´ epreuve de Bernoulli est une exp´ erience al´ eatoire avec deux r´ esultats possibles “´ echec” ou “succ´ es” symbolis´ es en g´ en´ eral par 0, 1; si p = P (succ´ es) et q = P (´ echec), p + q = 1. Si on r´ ep` ete n ´ epreuves de Bernoulli ind´ ependantes, Ω = {0, 1} <sup>n</sup> et la probabilit´ e peut se d´ ecrire ` a l’aide d’un arbre binaire.

S...

S

E...

S...

E

E...

p

@

@ @ R

1−p

p

@

@

@

@

@

@

@ R

1−p

p

@

@ @ R

1−p

Un sch´ ema de Bernoulli de taille n est la succession de n ´ epreuves de Bernoulli ind´ ependantes;

si ω est constitu´ e de k succ´ es et n − k ´ echecs P ({ω}) = p ^k q ^n−k

o` u p est la probabilit´ e de succ´ es ` a chaque ´ etape.

Cadre g´ en´ eral : On r´ ep` ete n fois une exp´ erience al´ eatoire de fa¸con

ind´ ependante; le mod` ele de cette succession d’´ epreuves a une structure de

produit. Lorsque l’exp´ erience initiale n’a qu’un nombre fini de r´ esultats

possibles Ω, l’univers devient Ω ⁿ et si ω = (ω ₁ , ..., ω _n ) ∈ Ω ⁿ , P ({ω}) = P ({ω ₁ })...P ({ω _n }) en notant de la mˆ eme fa¸con la probabilit´ e sur Ω et sur Ω ⁿ .

C’est le cadre du tirage avec remise.

†† Successions d’´ epreuves d´ ependantes

Cette fois le r´ esultat de la k-i` eme ´ epreuve d´ epend des pr´ ec´ edentes.

Exemples 1. Tirage sans remise Une urne contient 3 boules rouges et 3 blanches. On tire deux boules sans remise. Quelle est la probabilit´ e d’avoir une boule blanche au second tirage ?

La composition de l’urne change ` a chaque ´ etape et les tirages ne sont plus ind´ ependants. Il faut faire intervenir les probabilit´ es conditionnelles. Notons B <sub>i</sub> l’´ ev` enement “on a tir´ e une boule blanche au i-i` eme tirage”.

P (B ₁ ) = 1/2, P (B ₂ ) = P (B ₂ /B ₁ )P (B ₁ ) + P (B ₂ /B ₁ ^c )P (B ₁ ^c ) = 1/2(2/5 + 3/5) = 1/2.

La mod´ elisation peut se faire ` a l’aide d’un arbre binaire d’arˆ etes, les probabilit´ es conditionnelles.

B

B

R

B

R

R

2/5

@

@ R

3/5

1/2

@

@

@

@

@

@ R

1/2

3/5

@

@ R

2/5

On extrait successivement trois boules. Quelle est la probabilit´ e de tirer

trois boules blanches ?

Il s’agit de calculer P (B ₁ ∩ B ₂ ∩ B ₃ ) o` u les ´ ev` enements sont d´ ependants. On d´ eduit donc de la formule des probabilit´ es compos´ ees :

P (B ₁ ∩ B ₂ ∩ B ₃ ) = P (B ₁ )P (B ₂ /B ₁ )P (B ₃ /B ₁ ∩ B ₂ ) = 1 2 . 2

5 . 1

4 = 1/20 2. Probl` eme des menteurs : Dans une ville il n’y a que des menteurs;

lorsqu’on donne une information ` a l’un d’entre eux, il la transmet fid` element avec probabilit´ e p < 1, transmet son oppos´ ee avec probabilit´ e q = 1 − p.

Un premier menteur re¸coit une information ( sous la forme OUI-NON), la transmet ` a un second, qui la transmet ` a un troisi` eme etc. Le r´ esultat transmis par le n-i` eme d´ epend de l’information qu’il a re¸cue du pr´ ec´ edent! Quelle est la probabilit´ e que l’information transmise apr´ es n menteurs soit celle de d´ epart ? (On peut s’aider d’un graphe)

2.3 Exercices r´ ecapitulatifs

1. ^♥ On lance deux fois un d´ e au hasard et on consid` ere les ´ ev` enements suiv- ants :

A= le premier lancer donne un nombre pair B = le second lancer donne un nombre impair

C= la somme des valeurs obtenues dans ces deux lancers est impaire.

Montrer que A, B, C sont deux ` a deux ind´ ependants mais pas ind´ ependants.

2. ^♥ Monsieur X discute avec son chauffeur de taxi : il apprend qu’il a quatre enfants et se demande

a) Quelle est la probabilit´ e qu’il ait une fille ?

Au fil de la conversation, il entend parler de deux gar¸cons Pierre et Paul;

b) Quelle est la probabilit´ e qu’il ait aussi une fille ? se demande toujours Monsieur X.

Le trajet dure et il finit par comprendre que Pierre est l’aˆın´ e et Paul le dernier.

c) Quelle est la probabilit´ e qu’il ait une fille ? Monsieur X se met ` a douter...

3. ^♥ Des jumeaux peuvent ˆ etre des vrais jumeaux, auquel cas ils sont de mˆ eme sexe; ou de faux jumeaux et dans ce cas la probabilit´ e qu’ils soient de mˆ eme sexe est estim´ ee ` a 1/2. On note p la probabilit´ e que des jumeaux soient de vrais jumeaux.

a) Quelle est la probabilit´ e que deux jumeaux de mˆ eme sexe soient de

vrais jumeaux ?

b) D´ eterminer en fonction de p la probabilit´ e que deux jumeaux soient de mˆ eme sexe.

4. ^♥ Probl` eme des clefs Un gardien conserve en vrac dans sa poche les 10 clefs de son trousseau et une seule ouvre la porte de son local. Quand il est mal r´ eveill´ e il remet dans la mˆ eme poche les clefs essay´ ees, sinon il les met dans l’autre poche. Quelle est la probabilit´ e que le k-i` eme essai soit le bon dans chacun des deux cas ?

5. a) Quelle est la probabilit´ e d’amener un total de 6 en lan¸cant deux d´ es ? un total de 7 ?

b) Deux joueurs A et B jouent avec deux d´ es l’un apr´ es l’autre et B commence. La r` egle est la suivante : B gagne s’il am` ene un total de 6 avant que A n’am` ene un total de 7. Quel est le joueur le plus favoris´ e ?

6. Un voyageur prend le train ou l’avion. Si au jour j il prend l’avion, il prend syst´ ematiquement le train le lendemain; mais si au jour j il prend le train, il prend l’avion le lendemain avec probabilit´ e 1/2. On note p _n la probabilit´ e qu’il prenne le train au n-i` eme jour.

a) Montrer que p n+1 = − ¹ ₂ p n + 1.

b) En d´ eduire p _n , s’il a pris le train le premier jour.

7. R´ epondre ` a la question dans le probl` eme des menteurs.

8. ^♠ Loi de succession de Laplace : On consid` ere N + 1 urnes num´ erot´ ees de 0

`

a N , la k-i` eme contenant k boule rouges et N − k boule blanches. On choisit une urne au hasard et on tire avec remise dans cette urne. On notera R n

l’´ ev` enement “on a tir´ e une boule rouge au n-i` eme tirage”.

a) Quelle est la probabilit´ e de tirer une boule rouge au premier tirage ? (On utilisera la formule des probabilit´ es totales avec les ´ ev` enements U k : “on a choisi la k-i` eme urne”.)

b) Quelle est la probabilit´ e de tirer deux boules rouges lors des deux premiers tirages ?

c) Montrer que P (R ₁ ∩ ...∩ R _n /U _k ) = ^{Q n} _i=1 P (R _i /U _k ) = ( _N ^k ) ⁿ . En d´ eduire la probabilit´ e de tirer une boule rouge au n + 1-i` eme tirage sachant qu’on a d´ ej` a eu n boules rouges.

d) Trouver la limite quand n → ∞ de cette probabilit´ e.

9. ^♠ Soit A, B deux ´ ev` enements ind´ ependants de probabilit´ e non nulle. On pose

x = P (A ∩ B), y = P ((A ∪ B)\(A ∩ B)), z = P (A ^c ∩ B ^c )

et on va montrer que x, y, z sont tous les trois ≥ 4/9.

a) Remarquer sans calculs que x + y + z = 1.

b) Si a = P (A) et b = P (B), exprimer x, y, z en fonction de a, b puis en fonction de u = ab et v = a + b.

c) Montrer que max(u, v − 2u, 1 + u − v) ≥ 4/9 en distinguant les cas :

u ≤ 1/9, 1/9 ≤ u ≤ 4/9. En d´ eduire l’affirmation.

3 Variables al´ eatoires discr` etes

Dans les ph´ enom` enes al´ eatoires d´ ecrits en d´ ebut de chapitre 1, le r´ esultat d’une ´ epreuve se traduit num´ eriquement par un nombre entier ou r´ eel et les

´

ev` enements se d´ ecrivent souvent ` a l’aide d’une fonction r´ eelle d´ efinie sur Ω.

Par exemple, le nombre de OUI ` a un sondage, la somme des points amen´ es par deux d´ es, la dur´ ee de vie d’un appareil, etc. Les variables al´ eatoires seront pour nous des objets nous permettant d’exprimer plus simplement les

´

ev` enements. Si l’exp´ erience est mod` elis´ ee par (Ω, A, P ), on appelle variable al´ eatoire (r´ eelle) (var) sur cet espace une application X : Ω → R, c’est-` a- dire dont les valeurs d´ ependent des r´ esultats de l’exp´ erience, et telle que l’on puisse calculer la probabilit´ e des ´ ev` enements {ω; X(ω) = k} ou {ω; a ≤ X(ω) ≤ b}.

Exemples : 1. X ₁ , X ₂ , les points amen´ es par chacun des deux d´ es, sont des variables al´ eatoires ` a valeurs dans {1, ..., 6}, tandis que X, la somme des points, est ` a valeurs dans {1, ..., 12}; on sait calculer P (X = k) pour tout k.

Noter que X = X ₁ + X ₂ .

2. Dans un sondage o` u N personnes sont interrog´ ees et les r´ eponses sont N ON = 0 ou OU I = 1, le nombre de OUI n’est autre que X = ξ <sub>1</sub> + ... + ξ <sub>N</sub> o` u ξ _i est la r´ eponse de la i-i` eme personne.

3.1 Lois discr` etes usuelles

Une variable al´ eatoire : Ω → R est dite discr` ete si elle ne prend qu’un nombre fini ou d´ enombrable de valeurs : {x ₁ , x ₂ , ..., x _n } ou {x ₁ , ..., x _n , ...}, (d´ enombrable = qu’on peut ´ enum´ erer). Remarquons tout de suite que les

´

ev` enements (X = x <sub>i</sub> ), i ≥ 1, forment un syst` eme complet d’´ ev` enements.

Dans la plupart des exemples, les valeurs x _i sont les entiers naturels. Ces valeurs ne suffisent pas pour travailler avec la var, il faut aussi pr´ eciser avec quelle probabilit´ e elles sont prises. Ainsi pour parier avec un d´ e pip´ e, il est important de connaˆıtre la probabilit´ e d’apparition de chaque face.

On appelle loi de la variable discr` ete X la donn´ ee des nombres p _i = P (X = x _i ), i ≥ 1

Propri´ et´ es d’une loi discr` ete : Les nombres p _i v´ erifient 1) p _i = P (X = x _i ) ≥ 0 pour toute valeur x _i prise par X;

2) ^P _i≥1 p _i = 1.

Remarquons que toute s´ erie de terme g´ en´ eral u _n positif, de somme 1, d´ efinit une loi discr` ete de probabilit´ e : la variable enti` ere X telle que P (X = n) = u n a pour loi (u n ). Par exemple, u n = _π ⁶

. _n ¹

, n ≥ 1 d´ efinit une loi de probabilit´ e sur N.

On va voir que les variables al´ eatoires n’interviennent que par leur loi qui seule importe. On peut ajouter, multiplier des variables al´ eatoires mais le probl` eme sera de d´ eterminer la loi de ces nouvelles variables.

Cependant si X est une variable discr` ete, de loi p _i = P (X = x _i ), i ≥ 1, et si g est une application de R dans R, Y = g(X) prend les valeurs g(x i ) avec les mˆ emes probabilit´ es p _i . On connaˆıt donc la loi de Y .

† Premi` eres lois :

1) On dit que X suit la loi uniforme sur {x ₁ , ..., x _n } si X prend chacune de ces valeurs avec mˆ eme probabilit´ e, P (X = x i ) = _n ¹ ∀i = 1...n. Cette loi est associ´ ee au tirage ´ equiprobable. C’est la loi du num´ ero de la face lors du lancer d’un d´ e non pip´ e.

2) X suit la loi de Bernoulli de param` etre p si X ne prend que les valeurs 1, 0 avec probabilit´ e p, 1 − p. Cette loi est associ´ ee au lancer d’une pi` ece ´ eventuellement biais´ ee.

3) On s’int´ eresse au nombre X de succ´ es (PILE) lorsqu’on lance n fois une pi` ece (sch´ ema de Bernoulli de taille n); X prend les valeurs 0, 1, ..., n;

pour k ≤ n, l’´ ev` enement (X = k) est l’union d’´ ev` enements ´ el´ ementaires constitu´ es de k PILE et n − k FACE et il y a C _n ^k telles suites puisque C _n ^k fa¸cons de placer les k PILE parmi n. Comme les lancers sont ind´ ependants, chaque suite a comme probabilit´ e : p ^k q ^n−k o` u q = 1 − p, et P (X = k) = C <sub>n</sub> <sup>k</sup> p <sup>k</sup> q <sup>n−k</sup> , 0 ≤ k ≤ n. On dit que X suit la loi binˆ omiale de param` etres n, p.

4) Dans un sch´ ema de Bernoulli infini cette fois, on s’int´ eresse ` a l’instant X du premier succ´ es; X prend les valeurs 1, 2, ...; l’´ ev` enement (X = k) signifie qu’il y a eu ´ echec lors des k − 1 premiers lancers et succ´ es au k-i` eme.

Comme les lancers sont ind´ ependants, P (X = k) = q ^k−1 p, k ≥ 1. On dit que X suit la loi g´ eom´ etrique de param` etre p.

5) La loi de Poisson est une loi qui ne correspond ` a aucune exp´ erience

al´ eatoire particuli` ere, mais qui est bien adapt´ ee aux ph´ enom` enes de crois-

sance de population ou autres (appels t´ el´ ephoniques). Elle apparaˆıt comme

limite de la loi binˆ omiale au sens suivant :

P (λ) = lim n→∞ B(n, λ/n), λ > 0

Preuve : Cela signifie que la loi binˆ omiale tend vers la loi de Poisson quand le nombre d’´ epreuves tend vers ∞, avec la probabilit´ e de succ´ es, p, tendant vers 0, de fa¸con que np reste fixe. Pour le voir, ´ ecrivons

C _n ^k p ^k q ^n−k = n!

k!(n − k)! ( λ

n ) ^k (1 − λ n ) ^n−k

= n(n − 1)...(n − k + 1) 1

k! (1 − λ n ) ⁿ ( λ

n ) ^k 1 1 − ^λ _n

k

∼ n ^k k! e ^−λ λ ^k

n ^k = λ ^k k! e ^−λ

quand n → ∞; ce qui d´ efinit le terme de la loi de Poisson P (λ). ♦ On dit que X suit la loi de Poisson de param` etre λ > 0 si X prend les valeurs 0, 1, 2, ... avec probabilit´ es P (X = k) = e ^−λ λ ^k

k! , k ≥ 0.

La loi de Poisson sert d’approximation de la loi binˆ omiale quand n est grand et p petit (n ≥ 30, p ≤ 1/10, np ≤ 15) comme on le verra en applica- tion.

Voici un tableau r´ ecapitulatif des lois discr` etes usuelles.

• Loi unifome sur {1, ..., n}, P (X = i) = 1/n, 1 ≤ i ≤ n

• Loi de Bernoulli B(p), P (X = 1) = p, P (X = 0) = q

• Loi binˆ omiale B(n, p), P (X = k) = C _n ^k p ^k q ^n−k , 0 ≤ k ≤ n

• Loi de Poisson P (λ), P (X = k) = e ^{−λ λ} _k!

, k ≥ 0

• Loi g´ eom´ etrique G(p), P (X = k) = q ^k−1 p, k ≥ 1

Exercices de base. 1. On lance simultan´ ement trois d´ es et on appelle X le num´ ero du premier lancer ayant apport´ e 421. Quelle est la loi de X ? Il s’agit d’un sch´ ema de Bernoulli de taille infini et, ` a chaque lancer, on appelle succ´ es 421, ´ echec tout autre triplet obtenu. La probabilit´ e de succ´ es est donc p = 6/6 ³ = 1/36. La variable X suit ainsi la loi g´ eom´ etrique G(1/36).

2. Probl` eme des tortues. a) A chaque ponte une tortue produit n oeufs et la probabilit´ e pour un oeuf de donner une tortue est p = 1/10. Quelle est la probabilit´ e d’avoir finalement k tortues ?

On suppose (ce n’est pas pr´ ecis´ e dans l’´ enonc´ e mais sous-entendu) que les

oeufs sont “ind´ ependants” de sorte que si X est le nombre de tortues obte- nues, X suit la loi B(n, 1/10).

b) On suppose maintenant que le nombre d’oeufs pondus par une tortue n’est pas fixe mais al´ eatoire (ce qui est plus conforme ` a la r´ ealit´ e), et suit une loi de Poisson P (λ), λ = 100. Quelle est la probabilit´ e d’avoir finalement k tortues ?

Notons N le nombre d’oeufs ` a chaque ponte. C’est maintenant une variable al´ eatoire. En question a) on a d´ etermin´ e P (X = k/N = n) = C <sub>n</sub> <sup>k</sup> p <sup>k</sup> q <sup>n−k</sup> pour k ≤ n. Pour d´ ecrire (X = k), on va s’aider du syst` eme complet d’´ ev` enements (N = n), n ≥ 0 et de la formule des probabilit´ es totales :

P (X = k) =

∞

X

n=0

P (X = k/N = n)P (N = n)

=

∞

X

n=k

P (X = k/N = n)P (N = n) et en rempla¸cant par leurs expressions, on trouve

P (X = k) =

∞

X

n=k

C _n ^k p ^k q ^n−k e ^−λ λ ⁿ n!

= e ^−λ p ^k

∞

X

n=k

n!

k!(n − k)! q ^n−k λ ⁿ n!

= e ^−λ p ^k k!

∞

X

m=0

λ ^m+k q ^m m!

= e ^−λ (λp) ^k k!

∞

X

m=0

(λq) ^m m!

= e ^−λ (λp) ^k

k! e ^λq = e ^−λp (λp) ^k k!

et X suit la loi P (λp) = P (10).

†† Loi hyperg´ eom´ etrique

Le nombre de succ´ es dans une suite de n tirages sans remise se calcule de fa¸con diff´ erente puisque les tirages successifs ne sont plus ind´ ependants.

Cependant, lorsque le tirage se fait dans une population tr´ es sup´ erieure en

nombre au nombre de tirages (voire infinie), on peut imaginer que chaque tirage d´ epende assez peu des pr´ ec´ edents. D’o` u une loi limite pour la loi du nombre de succ´ es.

Un exemple classique de telle situation est le suivant (contrˆ ole de qualit´ e) : Une usine produit chaque jour N pi` eces dont N <sub>1</sub> sont d´ efectueuses. On pr´ el` eve n objets parmi les N et on souhaite ´ evaluer le nombre X de pi` eces d´ efectueuses parmi ces n.

Il s’agit bien d’un tirage sans remise de n objets parmi N et X prend les valeurs 0, 1, ..., n si n ≤ N ₁ .

L’ensemble des r´ esultats possibles, Ω, est l’ensemble des tirages sans remise de n objets parmi N , l’ordre n’intervenant pas, et

|Ω| = C _N ⁿ ;

par ailleurs la probabilit´ e est uniforme sur Ω; on a imm´ ediatement pour k ≤ n ≤ N ₁

P (X = k) = C _N ^k

1

C _N−N ^n−k

1

C _N ⁿ

On dit que X suit la loi hyperg´ eom´ etrique de param` etres N, N ₁ , n et on la note H(N, N ₁ , n).

Supposons que la proportion de pi` eces d´ efectueuses N ₁ /N tende vers la valeur p ∈]0, 1[ lorsque N → ∞. On peut donc ´ ecrire

P (X = k) = N ₁ ! k!(N ₁ − k)!

(N − N ₁ )!

(n − k)!(N − N ₁ − n + k)!

n!(N − n)!

N !

= n!

k!(n − k)!

N 1 (N 1 − 1)...(N 1 − k + 1)

N (N − 1)...(N − n + 1) (N − N 1 )...(N − N 1 − n + k + 1)

= C _n ^k N ₁ N

N ₁ − 1

N − 1 ... N ₁ − k + 1 N − k + 1

N − N ₁

N − k ... N − N ₁ − n + k + 1 N − n + 1

∼ C _n ^k p ^k (1 − p) ^n−k

ce qui illustre le fait que les tirages peuvent ˆ etre consid´ er´ es ind´ ependants quand N est grand avec p = N ₁ /N.

On retiendra

• X suit la loi hyperg´ eom´ etrique H(N, N ₁ , n) si P (X = k) = C _N ^k

C _N−N ^n−k

C _N ⁿ

• H(N, N ₁ , n) → B(n, p) si N → ∞ et N ₁ /N → p

3.2 Ind´ ependance de variables discr` etes

Soit X et Y deux variables al´ eatoires discr` etes d´ efinies sur un mˆ eme espace de probabilit´ e (Ω, A, P ); on dit qu’elles sont ind´ ependantes (et on notera dans la suite : X q Y ) si les ´ ev` enements li´ es ` a X sont ind´ ependants des ´ ev` enements li´ es ` a Y . D’o` u la d´ efinition

Soit X ` a valeurs (x <sub>i</sub> ), Y ` a valeurs (y _j ), deux variables discr` etes;

X q Y si P ((X = x _i ) ∩ (Y = y _j )) = P (X = x _i )P (Y = y _j ), ∀i, j ≥ 1 Plus g´ en´ eralement

Soit X ₁ , ..., X _n n variables discr` etes; Elles sont ind´ ependantes si P ((X 1 = x i

) ∩ ... ∩ (X r = x i

)) = P (X 1 = x i

)...P (X r = x i

),

∀1 ≤ i ₁ < ... < i _r ≤ n

Il est naturel ici d’introduire la notion de vecteur discret : (X, Y ) est un vecteur discret s’il prend ses valeurs (x _i , y _j ) _i,j≥1 sur Ω avec les probabilit´ es

p i,j = P ((X = x i ) ∩ (Y = y j )) =: P (X = x i , Y = y j ), i, j ≥ 1

La famille de nombres (p _i,j ) s’appelle la loi du couple (X, Y ) ou la loi con- jointe de X et Y . On appelle alors lois marginales les lois des composantes X et Y et elles s’obtiennent ainsi :

Si p _i,j = P (X = x _i , Y = y _j ), ∀i, j ≥ 1, alors

∀i ≥ 1 p i := P (X = x i ) = ^P _j≥1 p i,j , q _j := P (Y = y _j ) = ^P _i≥1 p _i,j

Exemples : 1) Soit (X, Y ) un vecteur discret ` a valeurs dans N ² de loi (p _i,j ) 1≤i,j≤3 =







1/6, 0, 1/6 1/6, 0, 1/6 0, 1/3, 0







o` u p _i,j = P (X = i, Y = j ).

Quelles sont les lois (marginales) de X et Y ?

Pour 1 ≤ i ≤ 3, p _i = P (X = i) = ^{P 3} _j=1 p _i,j , et pour 1 ≤ j ≤ 3, q _j = P (Y = j ) = ^{P 3} _i=1 p _i,j , autrement dit, pour avoir la loi de X on somme les lignes et pour avoir la loi de Y on somme les colonnes. On trouve

p ₁ = p ₂ = p ₃ = 1/3; q ₁ = q ₂ = q ₃ = 1/3;

X et Y suivent toutes les deux la loi uniforme sur {1, 2, 3}.

2) Soit (X, Y ) un vecteur discret ` a valeurs dans N ² de loi p j,k = c

2 ^j 3 ^k , j, k ≥ 1

c ´ etant une constante ` a d´ eterminer pour que (p _j,k ) soit bien une loi de prob- abilit´ e. Les p _j,k sont ≥ 0 si c l’est et il faut ajuster c pour que

X

j,k≥1

p _j,k = ^X

j,k≥1

c 2 ^j 3 ^k = 1

Or ^P _{j,k≥1 2}

¹ 3

= ^{P ∞} ₁ 2 ^{−j P ∞} ₁ 3 ^−k = 1.1/2 = 1/2. On en d´ eduit c = 2.

De plus la loi de X est ( ₂ ¹

, j ≥ 1) et celle de Y est ( ₃ ²

, k ≥ 1).

Propri´ et´ es :

1) Si X et Y sont discr` etes ind´ ependantes, toute fonction de X est ind´ ependante de toute fonction de Y .

2) Soit X et Y deux variables discr` etes. Alors X q Y si et seulement si la loi du couple (X, Y ) est le produit des lois marginales cad

p _i,j = p _i q _j , ∀i, j si X est de loi (p _i ) et Y de loi (q _j )

En particulier on sait reconstituer la loi du couple ` a partir des lois mar- ginales lorsque les variables sont ind´ ependantes. C’est le cas du second ex- emple mais pas du premier.

† Loi multinˆ omiale

On s’int´ eresse cette fois ` a une succession d’´ epreuves ind´ ependantes mais ` a r´ esultats multiples (plus seulement succ´ es ou ´ echec). A chaque

´

etape, on classe les r´ esultats en r´ esultats de type 1, de type 2,..., de type k et on note p _i la probabilit´ e d’avoir un r´ esultat de type i, 1 ≤ i ≤ k. Le vecteur X = (X ₁ , ..., X _k ) suit la loi multinˆ omiale de param` etres n, p ₁ ,...,p _k si

P (X = (n ₁ , ..., n _k )) = n!

n ₁ !...n _k ! p ⁿ ₁

...p ⁿ _k

avec n ₁ + ... + n _k = n.

Voici une illustration : Un syst` eme de N particules se trouve dans l’´ etat

(N ₁ , ..., N _n ), si, pour chaque k = 1, ..., n, N _k particules ont une ´ energie E _k ,

E ₁ , ..., E _n ´ etant les valeurs possibles de l’´ energie d’une particule. Si W _i est la probabilit´ e qu’une particule ait pour ´ energie E _i , la probabilit´ e que le syst` eme se trouve dans l’´ etat (N 1 , ..., N n ) est exactement

W = N!

N ₁ !...N _n ! W ₁ ^N

...W _n ^N

En effet, chaque configuration a comme probabilit´ e W ₁ ^N

...W _n ^N

et elles sont

´

equiprobables; reste ` a calculer le nombre de r´ epartitions qui est le nombre de fa¸cons de r´ epartir N objets dans n boˆıtes, avec, pour chaque j , N <sub>j</sub> dans la j-i` eme boˆıte; c’est le coefficient multinˆ omial.

Qu’obtient-on pour n = 2 ?

††Somme de variables discr` etes

La loi d’une somme de deux variables enti` eres se calcule ` a l’aide de la loi du couple (p i,j ) et devient beaucoup plus simple lorsque ces variables sont ind´ ependantes. Supposons que X et Y soient ` a valeurs dans N; il en est de mˆ eme de Z = X + Y et l’´ ev` enement (Z = n) se d´ ecompose en n + 1

´

ev` enements disjoints

(Z = n) = (X = 0, Y = n) ∪ (X = 1, Y = n − 1) ∪ ...

∪(X = n − 1, Y = 1) ∪ (X = n, Y = 0) de sorte que

P (Z = n) = P (∪ ⁿ _k=0 (X = k, Y = n − k))

=

n

X

k=0

P (X = k, Y = n − k) =

n

X

k=0

p k,n−k .

Si les variables sont ind´ ependantes on peut utiliser la propri´ et´ e 2) Soit X q Y ` a valeurs dans N, X de loi (p _i ) et Y de loi (q _j ),

alors, P (X + Y = n) = ^{P n} _k=0 p _k q _n−k , n ≥ 0

On retrouve ainsi l’expression de la loi binˆ omiale. En effet si X est le

“nombre de succ´ es” dans un sch´ ema de Bernoulli de taille n, X peut s’´ ecrire X = X ₁ + ... + X _n o` u X <sub>i</sub> vaut 1 s’il y a succ´ es au i-` eme lancer, 0 sinon.

Comme les lancers sont ind´ ependants, on peut r´ esumer ceci en X suit la loi binˆ omiale B(n, p) ⇐⇒ X est la somme de

n variables de Bernoulli B(p), ind´ ependantes et ´ equidistribu´ ees.

L’expression de la loi binˆ omiale se v´ erifie imm´ ediatement par r´ ecurrence sur n mais peut aussi s’obtenir directement en ´ ecrivant, si X = X ₁ + ... + X _n , P (X = k) = 0 si k > n et sinon, par ind´ ependance,

P (X = k) = ^X

x

+...+x

=k

P (X ₁ = x ₁ )...P (X _n = x _n )

= p ^#1 (1 − p) ^{#0 X}

x

+...+x

=k

1 = C _n ^k p ^k q ^n−k

puisque le nombre de solutions de x ₁ + ... + x _n = k avec x _i = 0 ou 1 vaut C _n ^k . La remarque suivante nous servira dans le calcul des moments :

X suit la loi hyperg´ eom´ etrique de param` etres N, N ₁ , n not´ ee H(N, N ₁ , n) ⇐⇒ X est la somme de

n variables de Bernoulli d´ ependantes et ´ equidistribu´ ees.

L’´ equidistribution n’est pas ´ evidente et demande une preuve (cf exercice 8).

3.3 Exercices r´ ecapitulatifs

1. ^♥ On lance quatre fois une pi` ece de monnaie et on appelle X le nombre de FACE, Y le nombre de s´ eries de FACE (une s´ erie ´ etant une succession : par exemple FPFF donne X = 3, Y = 2).

a) Quelle est la loi de X ?

b) Trouver la loi du couple (X, Y ) sous la forme d’un tableau (p _i,j ).

c) D´ eterminer la loi de Y .

2. Calculer la loi de X + Y , o` u X et Y sont ind´ ependantes, X suit la loi B(n, p) et Y la loi B(m, p).

3. Soit X une variable al´ eatoire suivant la loi de Poisson P (λ). Montrer que la probabilit´ e que X prenne des valeurs paires est sup´ erieure ` a la probabilit´ e qu’elle prenne des valeurs impaires.

4. Le nombre de v´ ehicules circulant sur l’autoroute A1 dans le sens Paris-

Lille, durant un intervalle de temps donn´ e, suit une loi P (λ); de mˆ eme le

nombre de v´ ehicules circulant dans le sens Lille-Paris suit une loi P (µ); on

suppose les flux ind´ ependants. Quelle est la loi du nombre total de v´ ehicules

sur l’autoroute A1 durant cet intervalle de temps ?

5. a) Montrer que la loi g´ eom´ etrique est une loi sans m´ emoire au sens suivant : P (X > n + m/X > n) = P (X > m).

b) R´ eciproquement, supposons que X soit une variable enti` ere sans m´ e- moire. En posant q _n = P (X > n), montrer que q _n = q ₁ ⁿ ; v´ erifier que P (X = n) = q n−1 − q _n et montrer alors que X suit une loi g´ eom´ etrique.

6. Soit X et Y deux variables ind´ ependantes ` a valeurs dans N. On pose Z = min(X, Y ).

a) Montrer que P (Z ≥ n) = P (X ≥ n)P (Y ≥ n).

On suppose que X suit la loi G(p) et Y la loi G(p ⁰ ).

b) Calculer dans ce cas P (Z ≥ n), puis P (Z = n). Quelle est la loi de Z ?

7. ^♠ Dans un sch´ ema de Bernoulli infini, on s’int´ eresse ` a l’instant du second succ´ es, plus g´ en´ eralement ` a l’instant du r-i` eme succ´ es not´ e X _r , r ≥ 1.

a) Montrer que pour k ≥ 0,

P (X _r = r + k) = C _r+k−1 ^r−1 p ^r q ^k

en remarquant qu’il faut r´ epartir r − 1 succ´ es dans les r + k − 1 premiers lancers. (On v´ erifiera que c’est bien une loi de probabilit´ e)

b) Montrer que X ₂ = X ₂ − X ₁ + X1 est somme de deux variables ind´ ependantes; retrouver ainsi la loi de X ₂ , puis celle de X _r par r´ ecurrence sur r.

c) Probl` eme des allumettes de Banach Banach, qui ´ etait un fumeur imp´ e- nitent, avait toujours sur lui deux boˆıtes de n allumettes, une boˆıte par poche.

Pour allumer une cigarette, il choisissait une poche au hasard. Quelle est la probabilit´ e, que, ayant constat´ e qu’une boˆıte est vide pour la premi` ere fois, il reste k allumettes dans l’autre ?

8. ^♠ Si X suit la loi hyperg´ eom´ etrique H(N, N 1 , n), elle peut se d´ ecomposer en X = X ₁ + ... + X _n o` u X <sub>i</sub> est le r´ esultat du i-` eme tirage.

Montrer que les X _i suivent des lois de Bernoulli de mˆ eme param` etre N 1 /N .

9. ^♠ Montrer que les composantes d’un vecteur de loi multinˆ omiale suivent

des lois binˆ omiales, mais ne sont pas ind´ ependantes.