1G´en´eralit´essurlesfonctions III.Fonctions

III. Fonctions

1 G´ en´ eralit´ es sur les fonctions

D´efinition 1. Une fonction f `a valeurs r´eelles d´efinie sur un intervalle I ⊂ R fait correspondre `a tout x∈I un unique r´eelf(x) appel´e imagede x par la fonction f.

On note F(I,R) l’ensemble des fonctions `a valeurs r´eelles d´efinies sur un intervalle I ⊂R.

D´efinition 2. On appelle repr´esentation graphique d’une fonctionf :R→Rl’ensemble des points du plan de coordonn´ees(x;f(x)) pour x∈R.

Exercice 1. Repr´esenter graphiquement la fonction f :x7→(x−3)²+ 1.

Exercice 2. Expliquer comment obtenir les repr´esentations graphiques des fonctions f₁ : x 7→ f(x) +a, f₂:x7→f(x+a), f₃:x7→af(x) etf₄:x7→f(ax)`a partir de la repr´esentation graphique def pour a∈R. Illustrer en consid´erantf :x7→(x−1)²+ 1et a= 2.

D´efinition 3. Une fonction f ∈ F(R,R) est dite :

• paire si f(−x) =f(x) pour tout x∈R.

• impaire si f(−x) =−f(x) pour tout x∈R.

• p´eriodique si il existe T ∈R^∗ tel que f(x+T) =f(x) pour tout x∈R. Exercice 3. D´eterminer la parit´e des fonctions puissances x7→xⁿ pour n∈N. Exercice 4. Interpr´eter g´eom´etriquement la parit´e et la p´eriodicit´e d’une fonction f.

Exercice 5. On consid`ere la fonction f :x7→cos(3x). ´Etudier la parit´e et la p´eriodicit´e de la fonction f. D´efinition 4. Une fonction f ∈ F(I,R) est dite :

• constante sur I si pour tous x, y∈I on a f(x) =f(y).

• croissante (strictement croissante) sur I si pour tous x, y ∈ I avec x 6y on a f(x) 6 f(y) (avec x < y on a f(x)< f(y)).

• d´ecroissante (strictement d´ecroissante) sur I si pour tous x, y ∈ I avec x 6 y on a f(x) > f(y) (avec x < y on af(x)> f(y)).

• monotone sur I si elle est croissante ou d´ecroissante surI .

Exercice 6. Montrer que la fonction carr´e est croissante sur [0; +∞[ et d´ecroissante sur ]− ∞; 0] sans utiliser la d´erivation.

Exercice 7. On consid`ere x, y∈R, montrer que x6y⇐⇒e^x 6e^y. D´efinition 5. Une fonction f ∈ F(I,R) est dite :

• major´ee sur I si il existe M ∈R tel que f(x) 6M pour tout x ∈I, M est alors appel´e majorant de la fonction f sur I.

• minor´ee sur I si il existe m∈R tel quef(x)>m pour tout x∈I,m est alors appel´e minorant de la fonction f sur I.

• born´ee si elle est `a la fois major´ee et minor´ee.

Exemple 1. Les fonctions coset sin sont born´ees sur R. Exercice 8. Montrer que la fonction f :x7→ x²

x²+ 1 est born´ee sur R.

D´efinition 6. Une fonction f :I →R admet :

• un maximum sur I si il existe a ∈ I tel que f(x) 6 f(a) pour tout x ∈ I, f(a) est alors appel´e maximum de la fonction f sur I.

• un minimum sur I si il existe a ∈ I tel que f(x) > f(a) pour tout x ∈ I, f(a) est alors appel´e minimum de la fonction f sur I.

• un extremumsur I si elle admet un maximum ou un minimum sur I.

Exemple 2. Les fonctions coset sin admettent −1 et 1 comme minimum et maximum sur R.

Remarque 1. Une fonction admettant un maximum est major´ee et une fonction admettant un minimum est minor´ee.

Exercice 9. La fonction f :x7→ x²

x²+ 1 admet-elle un minimum et un maximum sur R?

D´efinition 7. On consid`ere deux fonctions u : R → R et v : R → R ainsi que k ∈ R. On d´efinit les fonctions :

ku : x 7→ ku(x) u+v : x 7→ u(x) +v(x)

uv : x 7→ u(x)v(x) v◦u : x 7→ v(u(x))

Exercice 10. Exprimer `a partir des fonctions f : x 7→ 1, g : x 7→ x² et h : x 7→ sin(x) les fonctions x7→1 +x²sin(x), x7→sin(x²+ 2) etx7→(2 sin(x)−1)².

D´efinition 8. Une fonction f :I →J admet une fonction r´eciproque g:J →I si tout ´el´ement y ∈J admet un unique ant´ec´edent x∈I par la fonction f et on note alors g(y) =x.

Exercice 11. La fonction f : R → R x 7→ x²

admet-elle une fonction r´eciproque ?

Exercice 12. Montrer que la fonction f : ]− ∞; 0] → [0; +∞[

x 7→ x²

admet une fonction r´eciproque et l’ex- pliciter.

Exercice 13. On consid`ere une fonction f :R→ R admettant une fonction r´eciproque g : R→ R. Quel est le lien existant entre les repr´esentations graphiques de f et de g?

2 D´ erivation d’une fonction

D´efinition 9. Une fonction f d´efinie sur un intervalle ouvert I de R est dite d´erivable en a ∈ I si sa courbe repr´esentative admet une tangente non verticale au point de coordonn´ees (a;f(a)), le coefficient directeur de cette tangente est alors appel´enombre d´eriv´ede la fonction f ena et not´ee f^′(a).

a f(a)

Exercice 14. D´eterminer l’ordonn´ee `a l’origine de la tangente `a la parabole d’´equation y = x² au point d’abscisse 1.

Propri´et´e 1. Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle ouvert I de R et d´erivable en a ∈ I alors la courbe repr´esentative de f admet une tangente au point de coordonn´ees (a;f(a))d’´equation :

y=f^′(a)(x−a) +f(a)

Exercice 15. D´eterminer le point d’intersection de la tangente `a la courbe repr´esentative de la fonction f :x7→xe^−x au point d’abscisse 2 avec l’axe des abscisses.

Propri´et´e 2. On consid`ere une fonction f :R→R admettant une fonction r´eciproque g:R→R, si f est d´erivable en x∈R avec f^′(x)6= 0 alors g est d´erivable en y=f(x) et g^′(y) = 1

f^′(x) = 1 f^′◦g(y) . Exercice 16. Interpr´eter graphiquement la propri´et´e 2.

Propri´et´e 3. On consid`ere une fonction f `a valeurs r´eelles d´efinie et d´erivable sur un intervalle ouvert I deR, alors :

• Si f^′ = 0 sur I alors f est constante sur I.

• Si f^′ >0 (respectivement f^′ >0) sur I alors f est croissante (respectivement strictement croissante) sur I.

• Si f^′ 60 (respectivement f^′ <0) sur I alors f est d´ecroissante (respectivement strictement d´ecrois- sante) sur I.

Exercice 17. Etudier les variations de la fonction´ f :x7→xe^−x sur R.

3 Fonctions usuelles

3.1 Fonctions valeur absolue et partie enti`ere

D´efinition 10. On appelle fonctionvaleur absolue la fonction R → [0; +∞[ x 7→ |x|

. Exercice 18. Tracer la repr´esentation graphique de la fonction valeur absolue.

D´efinition 11. On appelle fonction partie enti`ere la fonction R → Z x 7→ ⌊x⌋

o`u ⌊x⌋ repr´esente le plus grand entier inf´erieur ou ´egal `a x.

Remarque 2. ⌊x⌋ est l’unique nombre entier tel que ⌊x⌋6x <⌊x⌋+ 1.

Exercice 19. D´eterminer ⌊√

2⌋ et ⌊−√ 2⌋.

Exercice 20. Tracer la repr´esentation graphique de la fonction partie enti`ere.

Exercice 21. Exprimer ⌊−x⌋ en fonction de ⌊x⌋. 3.2 Fonctions exponentielle et logarithme

D´efinition 12. On appelle fonction exponentielle l’unique fonction d´efinie et d´erivable surR ´egale `a sa d´eriv´ee et valant1 en 0, on la note x7→exp(x) avec e= exp(1).

y= exp(x) e

Remarque 3. La fonction expest d´erivable et exp^′= exp .

Propri´et´e 4. Siuest une fonction d´erivable, alors la fonctionexp(u)est d´erivable et (exp(u))^′ =u^′exp(u). Propri´et´e 5. La fonctionexp est croisssante et strictement positive, de plus :

x→−∞lim exp(x) = 0 lim

x→+∞exp(x) = +∞

Propri´et´e 6. La fonction exponentielle v´erifie les relations suivantes pour tous nombres r´eelsxety et pour tout entier relatifn :

1. exp(x+y) = exp(x) exp(y) 2. exp(−x) = 1

exp(x) 3. exp(x−y) = exp(x)

exp(y) 4. exp(nx) = [exp(x)]ⁿ

Remarque 4. Ces formules justifient la notation exp(x) =e^x.

D´efinition 13. On appelle fonctionlogarithme et on notelnla fonction qui `a tout ´el´ement de l’intervalle ]0; +∞[ associe son unique ant´ec´edent par la fonction exponentielle dans l’intervalle ]− ∞; +∞[.

y= ln(x)

e

Remarque 5. On a ln(1) = 0 et ln(e) = 1.

Remarque 6. On a Si x∈R , ln(e^x) =x et Si x∈]0; +∞[, e^ln(x)=x .

Propri´et´e 7. La fonctionln est d´erivable sur]0; +∞[ et Si x∈]0; +∞[ , ln^′(x) = 1 x .

Remarque 7. La fonction lnest donc la primitive sur ]0; +∞[ de la fonction inverse s’annulant en 1.

Propri´et´e 8. Si u est une fonction d´erivable et strictement positive, alors la fonction ln(u) est d´erivable et (lnu)^′ = u^′

u .

Propri´et´e 9. La fonctionln est croissante, n´egative sur ]0; 1] et positive sur[1; +∞[, de plus :

xlim→0ln(x) =−∞ lim

x→+∞ln(x) = +∞

Propri´et´e 10. La fonction ln v´erifie les relations suivantes pour tous nombres r´eels x et y strictement positifs et pour tout entier relatif n:

1. ln(xy) = ln(x) + ln(y) 2. ln

1 x

=−ln(x)

3. ln x

y

= ln(x)−ln(y) 4. ln(xⁿ) =nln(x)

5. ln(√ x) = 1

2ln(x)

3.3 Fonctions puissances

D´efinition 14. On appelle fonction puissance d’exposant a ∈R, la fonction not´ee x7→x^a d´efinie sur ]0; +∞[ par x^a=e^alnx .

Remarque 8. Cette d´efinition g´en´eralise l’´egalit´e xⁿ= e^lnxn

=e^nlnx pour n∈Z. Exercice 22. Montrer que les fonctionsx7→ x, x7→x², x7→ 1

x, x7→√

x et x7→ 1 x√

x sont des fonctions puissances et donner leurs exposants.

Exercice 23. Repr´esenter graphiquement sur une mˆeme figure les fonctions puissances d’exposants 0, −1, 1, 2et 1

2.

Propri´et´e 11. La fonction puissance d’exposant a:x7→x^a, a∈R, est d´erivable sur ]0; +∞[et sa d´eriv´ee est la fonctionx7→ax^a−1.

Propri´et´e 12. On consid`ere a∈R, alors :

• Si a= 0, la fonction puissance d’exposant a est constante ´egale `a 1.

• Si a <0, la fonction puissance d’exposant a est d´ecroissante sur R^∗₊ de plus lim

x→0x^a= +∞ et lim

x→+∞x^a= 0.

• Si a >0, la fonction puissance d’exposant a est croissante surR^∗₊ de plus lim

x→0x^a= 0 et lim

x→+∞x^a= +∞. D´emonstration. Exigible.

Remarque 9. La fonction puissance d’exposant a >0admettant une limite finie en0, on peut poser0^a= 0 pour a >0.

Propri´et´e 13. On consid`ere deux nombres r´eels a etb et x∈]0; +∞[, alors : x^ax^b =x^a+b x^−a= 1

x^a

x^a

x^b =x^a−b (x^a)^b =x^ab Propri´et´e 14. Croissances compar´ees

• Si a∈]0; +∞[, lim

x→+∞

lnx x^a = 0

• Si a∈]0; +∞[, lim

x→+∞

x^a e^x = 0

• Si a∈]0; +∞[,lim

x→0 x>0

x^alnx= 0

3.4 Fonctions circulaires directes et r´eciproques

D´efinition 15. Le plan ´etant muni d’un rep`ere orthonormal direct (O,−→i ,−→j), on consid`ere un point M du cercle de centre O et de rayon 1 et on note θ = (−→i ,−−→OM). La fonction deRdans [−1; 1]qui `aθassocie l’abscisse du point M est appel´ee fonction cosinuset est not´ee cos et la fonction de R dans [−1; 1] qui `a θ associe l’or- donn´ee du point M est appel´ee fonction sinus et est not´ee sin. On appelle fonction tangente et on note tan la fonction d´efinie sur R\nπ

2 +kπ , k ∈Z o

par tan(θ) = sin(θ)

cos(θ) .

O

−

→i

−

→j

M

θ

cosθ sinθ

tanθ

Remarque 10. Les fonctions cosinus et sinus sont 2π-p´eriodiques et respectivement paire et impaire. La fonction tangente est impaire etπ-p´eriodique.

π π

−π −^π₂ 2

y= cos(x) y= sin(x)

π π

−π −^π₂ 2 ^3π₂

−^3π₂

y= tan(x)

Exercice 24. D´eterminer les valeurs remarquables de la fonction tangente sur l’intervalle [0;^π₂[.

Propri´et´e 15. On a lim

x→0

sinx

x = 1 et lim

x→0

1−cosx x² = 1

2 . Remarque 11. Cette propri´et´e peut s’interpr´eter graphiquement :

cosθ

sinθ θ

Pourθ petit, on a θ≃sinθ et θ² ≃(sinθ)²+ (1−cosθ)².

Propri´et´e 16. Les fonctions cos et sin sont d´erivables sur Ret cos^′ =−sin , sin^′ = cos. Propri´et´e 17. Si u est une fonction d´erivable, alors les fonctions cosu et sinu sont d´erivables et :

(cosu)^′ =−u^′sinu (sinu)^′ =u^′cosu Exercice 25. Montrer que la fonction x 7→ cos

2x−π 2

est π-p´eriodique et ´etudier ses variations sur l’intervalle[0;π].

Propri´et´e 18. La fonction tan est d´erivable sur chacun des intervalles iπ

2 +kπ;π

2 + (k+ 1)πh

, k ∈Zet Si x6= π

2 +kπ , k∈Z , tan^′(x) = 1

(cosx)² = 1 + (tanx)² .

Remarque 12. La fonctiontanest donc croissante sur chacun des intervallesiπ

2 +kπ;π

2 + (k+ 1)πh

, k∈Z. Propri´et´e 19. Siuest une fonction d´erivable `a valeurs dans un intervalleiπ

2 +kπ;π

2 + (k+ 1)πh

, k∈Z alors la fonctiontanu est d´erivable et :

(tanu)^′= u^′

(cosu)² =u^′ 1 + (tanu)² Propri´et´e 20. formulaire de trigonom´etrie

• cos(a+b) = cosacosb−sinasinb sin(a+b) = sinacosb+ cosasinb tan(a+b) = tana+ tanb

1−tanatanb

• cos(2x) = (cosx)²−(sinx)² = 2(cosx)²−1 = 1−2(sinx)² sin(2x) = 2 sinxcosx

tan(2x) = 2 tanx 1−(tanx)²

Exercice 26. On pose t= tan ^x₂

, montrer que cos(x) = 1−t²

1 +t², sin(x) = 2t

1 +t² et tan(x) = 2t 1−t².

D´efinition 16. On appelle fonction arc sinus et on note arcsin, la fonction qui `a tout ´el´ement de [−1; 1]

associe son unique ant´ec´edent par la fonction sinus dans l’intervalleh

−π 2;π

2 i.

Propri´et´e 21. On a Si x∈[−1; 1] , sin(arcsinx) =x et Si x∈h

−π 2;π

2

i , arcsin(sinx) =x .

Exercice 27. D´eterminer les valeurs remarquables de la fonction arcsinus sur l’intervalle [−1; 1].

Propri´et´e 22. La fonction arcsinest impaire.

Exercice 28. Calculer arcsin

√3 2

!

et arcsin

sin7π 5

.

Exercice 29. D´emontrer que Si x∈[−1; 1] , cos(arcsinx) =√

1−x² .

Propri´et´e 23. La fonction arcsinest d´erivable sur ]−1; 1[ et arcsin^′(x) = 1

√1−x²

Remarque 13. La fonctionarcsin est donc croissante sur[−1; 1].

y = arcsinx

−^π₂

−^π₂

π 2

π 2

Propri´et´e 24. Si uest une fonction d´erivable `a valeurs dans]−1; 1[, alors la fonction arcsinuest d´erivable et (arcsinu)^′ = u^′

√1−u² .

Exercice 30. D´eterminer le maximum de la fonction f :x7→arcsin x

x²+ 1

sur R.

D´efinition 17. On appelle fonction arc cosinuset on note arccosla fonction qui `a tout ´el´ement de [−1; 1]

associe son unique ant´ec´edent par la fonction cosinus dans l’intervalle[0;π].

Propri´et´e 25. On a Si x∈[−1; 1] , cos(arccosx) =x et Si x∈[0;π], arccos(cosx) =x. Exercice 31. D´eterminer les valeurs remarquables de la fonction arccosinus sur l’intervalle [−1; 1].

Exercice 32. Montrer que la fonction arccos n’est pas paire.

Exercice 33. Calculer arccos

√3 2

!

et arccos

cos7π 5

.

Exercice 34. D´emontrer que Si x∈[−1; 1] , sin(arccosx) =√

1−x² .

Propri´et´e 26. La fonction arccosest d´erivable sur ]−1; 1[ et arccos^′(x) =− 1

√1−x²

Remarque 14. La fonctionarccos est donc d´ecroissante sur[−1; 1].

y= arccosx π

π

Propri´et´e 27. Siu est une fonction d´erivable `a valeurs dans ]−1; 1[, alors la fonctionarccosuest d´erivable et (arccosu)^′ =− u^′

√1−u² .

Exercice 35. Montrer que pour toutx∈[−1; 1], on a arccos(x)+ arccos(−x) =π, en d´eduire une sym´etrie de la courbe repr´esentative de la fonctionarccos.

(on pourra ´etudier la fonction auxiliaireϕ:x7→arccos(x) + arccos(−x))

D´efinition 18. On appelle fonction arc tangente et on note arctan, la fonction qui `a tout ´el´ement de R associe son unique ant´ec´edent par la fonction tangente dans l’intervallei

−π 2;π

2 h.

Remarque 15. On a lim

x→+∞arctan(x) = +π

2 et lim

x→−∞arctan(x) =−π 2 . Propri´et´e 28. On a Si x∈R , tan(arctanx) =x et Six∈i

−π 2;π

2 h

, arctan(tanx) =x. Exercice 36. D´eterminer les valeurs remarquables de la fonction arctangente sur R.

Propri´et´e 29. La fonction arctan est impaire.

Exercice 37. Calculer arctan(√

3) et arctan

tan7π 5

.

Propri´et´e 30. La fonction arctan est d´erivable surR et arctan^′(x) = 1 1 +x² Remarque 16. La fonctionarctan est donc croissante sur R.

y= arctanx

π 2 π

2

−^π2

−^π₂

Propri´et´e 31. Siuest une fonction d´erivable, alors la fonctionarctanuest d´erivable et (arctanu)^′ = u^′ 1 +u² . Exercice 38. D´eterminer le maximum de la fonction f :x7→arctan

1 +x 1 +x²

sur R.

Exercices suppl´ ementaires

Exercice 39

On consid`ere la fonction f :x 7→ 2x²−7x+ 8

x−2 . D´eterminer son ensemble de d´efinition, d´eterminer ses limites aux bornes de cet ensemble, ´etudier ses variations puis tracer sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonormal en faisant figurer ses tangentes horizontales.

Exercice 40

Etudier la parit´e et la p´eriodicit´e de la fonction´ f :x7→xsin(x)−x²cos(3x).

Exercice 41

On consid`erex, y∈R, montrer que x6y⇐⇒ 1 e^x > 1

e^y. Exercice 42 (⋆⋆)

On consid`erex, y∈R, montrer que x6y⇐⇒x³6y³. Exercice 43

R´esoudre dansR l’´equation √

x²+ 1 + 2x= 0.

Exercice 44 (⋆⋆)

R´esoudre dansR l’in´equation x(√

3x²+ 2−√

2x²+ 3)>0.

Exercice 45

D´eterminer le meilleur encadrement possible de 2x²+ 1 pour −36x65.

Exercice 46

D´eterminer le minimum sur Rde la fonction f :x7→xe^x. Exercice 47

On notef :x7→x²−1,g:x7→x−1 eth= (f+g)◦(f−g). Expliciter h(x).

Exercice 48

Montrer que la fonctionf : [0; 1] → [0; 1]

x 7→ 2x

x+ 1

admet une fonction r´eciproque et l’expliciter.

Exercice 49 (⋆)

Montrer que la fonctionf : [0; +∞[ → [0; +∞[

x 7→ x²

2x+ 1

admet une fonction r´eciproque et l’expliciter.

Exercice 50

D´eterminer l’´equation r´eduite de la tangente `a l’hyperbole d’´equation y = 1

x au point de coordonn´ees (1; 1).

Exercice 51

D´eterminer l’´equation r´eduite de la tangente `a une parabole d’´equation y=x² au point d’abscissea.

Exercice 52 (⋆)

D´eterminer pour quels points de la parabole d’´equation y =x²+x+ 1 la tangente passe par l’origine du rep`ere.

Exercice 53

Repr´esenter graphiquement la fonction partie fractionnaire :x7→x− ⌊x⌋. Exercice 54 (⋆⋆)

R´esoudre l’´equation ⌊2x⌋= 2⌊x⌋. Exercice 55

Simplifier l’expression e^x+ 1 e^x−1 −e.

Exercice 56 (⋆)

R´esoudre dansR l’´equation 3e^x−e^2x >2.

Exercice 57

Etudier les variations de la fonction´ f d´efinie surR parf(x) =xe^1−x2.

Exercice 58

Etudier les variations de la fonction´ f d´efinie surR parf(x) = 10xe^−(x+1)24 .

Exercice 59 (⋆)

Etudier les variations de la fonction´ f :x7→ e^x+e^−x

2 .

Exercice 60

Simplifier l’expression 4 ln 27

√12

−2 ln

√18 16

! .

Exercice 61 (⋆)

En remarquant que e³ ≃20 et 5³ ≃2⁷, calculer une valeur approch´ee de ln 2.

Exercice 62

D´eterminer le minimum sur ]0; +∞[ de la fonctionf :x7→xlnx.

Exercice 63 (⋆⋆)

D´emontrer l’encadrementx−¹₂x² 6ln(1 +x)6x pourx>0, en d´eduire la limite en 0₊ de la fonction x7→ ln(1 +x)

x .

Exercice 64 (⋆⋆)

D´emontrer que pourx ety deux nombres r´eels strictement positifs on a lnx+ lny

2 6ln

x+y 2

.

Exercice 65

Simplifier l’expression (8x²)¹⁶

(√x)³ pourx∈]0; +∞[.

Exercice 66 (⋆)

R´esoudre dans ]0; +∞[ l’´equation (2x)¹³ = (3x)¹². Exercice 67

D´eterminer le minimum sur ]0; +∞[ de la fonctionf :x7→x^x. Exercice 68 (⋆)

R´esoudre l’´equation x^√x=√ x^x. Exercice 69 (⋆⋆)

D´emontrer que lnx6x−1 pourx >0, en d´eduire queπ^e6e^π. Exercice 70 (⋆)

Etudier la limite en +´ ∞ de la fonction x7→(x+ 2^x)^1x.

Exercice 71

Etudier les variations de la fonction´ f d´efinie parf(x) =x−2 sinx sur l’intervalle [0; 2π] .

Exercice 72

Etudier les variations de la fonction´ f :x7→ tanx

3 + (tanx)² sur l’intervallei

−π 2;π

2 h

.

Exercice 73 (⋆)

R´esoudre dansR l’´equation sinx+ cosx= r3

2. Exercice 74

Calculer arcsin

cos11π 3

.

Exercice 75 Calculer arccos

sin16π

3

.

Exercice 76

Simplifier cos(3arccosx) pour x∈[−1; 1].

Exercice 77

D´emontrer que arcsinx+ arccosx= π

2 pourx∈[−1; 1].

(on pourra ´etudier la fonction auxiliaireϕ:x7→arcsinx+ arccosx)

Exercice 78 (⋆⋆)

R´esoudre l’´equation arcsinx= arccos1

4−arccos1 3. Exercice 79 (⋆⋆)

Montrer que la fonction x 7→ x√

1−x²+ arcsinx est d´erivable sur l’intervalle ]−1; 1[ puis calculer sa d´eriv´ee. En d´eduire la valeur de l’int´egrale

Z ¹

2

−¹₂

p1−x² dx et retrouver ce r´esultat g´eom´etriquement.

Exercice 80

D´eterminer le maximum surRde la fonction f :x7→3(arctanx)³−π²arctanx.

Exercice 81 (⋆)

Simplifier arctanx+ arctan1

x pour x∈R^∗. Exercice 82 (⋆)

Simplifier cos(arctanx) et sin(arctanx) pourx∈R. Exercice 83 (⋆⋆)

Calculer arctan1

2+ arctan1

5 + arctan1 8. Exercice 84 (⋆⋆⋆)

D´eterminer lim

n→+∞arctan 2

1²

+ arctan 2

2²

+ arctan 2

3²

+· · ·+ arctan 2

n²

.

(on pourra chercher `a simplifier l’expression arctan(k+ 1)−arctan(k−1) pourk∈N^∗)

R´ eponses

1)

2) translation de vecteur a−→j, translation de vecteur −a−→i, dilatation de coefficient a sur l’axe des or- donn´ees et dilatation de coefficient ¹_a sur l’axe des abscisses.

3) Les fonctions puissances d’exposants pairs sont paires et les fonctions puissances d’exposants impairs sont impaires.

4) La courbe repr´esentative d’une fonction paire est sym´etrique par rapport `a l’axe des ordonn´ees et la courbe repr´esentative d’une fonction impaire est sym´etrique par rapport `a l’origine.

5) La fonction est paire et ^2π₃-p´eriodique.

6) On remarque quex²₂−x²₁ = (x₂−x₁)(x₂+x₁).

7) On utilise la croissance de la fonction exp pour le sens direct et la croissance de la fonction ln pour la r´eciproque.

8) On remarque que 06x²6x²+ 1 d’o`u 06f(x)61.

9) La fonction f admet pour minimum 0 mais n’admet pas de maximum.

10) f +gh,h◦(g+ 2f) et g◦(2h−f).

11) On remarque que 1 admet deux ant´ec´edents par la fonction f. 12) g(x) =−√

x.

13) Les courbes repr´esentatives des fonctions f etg sont sym´etriques par rapport `a la droite d’´equation y =x.

14) −1.

15) Point de coordonn´ees (4; 0).

16) Le coefficient directeur de la tangente `a la courbe repr´esentative de la fonction g au point d’abscisse f(x) est l’inverse du coefficient directeur de la tangente `a la courbe repr´esentative de la fonctionf au point d’abscisse x.

17)

x −∞ 1 +∞

1 e

variations def ր ց

−∞ 0

18)

19) ⌊√

2⌋= 1 et⌊−√

2⌋=−2.

20)

21) ⌊−x⌋=

−⌊x⌋ six∈Z

−⌊x⌋ −1 six /∈Z . 22) x¹,x²,x⁻¹,x¹² etx⁻³².

23)

y=x⁻¹ y =x⁰ y=x²¹ y=x¹ y=x²

24) x 0 ^π₆ ^π₄ ^π₃ tanx 0 √¹

3 1 √

3

25)

x 0 ^π₄ ^3π₄ π

1 0

variations ր ց ր

0 −1

26) On remarque que _1+t¹2 =

cos ^x₂2

et on utilise les formules de duplication.

27) x −1 −^√₂³ −^√₂² −¹₂ 0 ¹₂ ^√₂^{2 √}₂³ 1 arcsinx −^π₂ −^π₃ −^π₄ −^π₆ 0 ^π₆ ^π₄ ^π₃ ^π₂ 28) arcsin√

3 2

= ^π₃ et arcsin sin^7π₅

=−^2π₅ . 29) On remarque que si θ∈

−^π₂;^π₂

alors cosθ=p

1−(sinθ)². 30) π

6.

31) x −1 −^√₂³ −^√₂² −¹₂ 0 ¹₂ ^√₂^{2 √}₂³ 1 arccosx π ^5π₆ ^3π₄ ^2π₃ ^π₂ ^π₃ ^π₄ ^π₆ 0 32) arccos(−1)6= arccos(1).

33) arccos√ 3 2

= ^π₆ et arccos cos^7π₅

= ^3π₅ . 34) On remarque que si θ∈[0;π] alors sinθ=p

1−(cosθ)².

35) On montre par d´erivation que ϕ est constante ´egale `a ϕ(0), la courbe repr´esentative de la fonction arccos est sym´etrique par rapport au point de coordonn´ees (0;^π₂).

36) x −√

3 −1 −^√1₃ 0 √¹

3 1 √

3 arctanx −^π₃ −^π₄ −^π₆ 0 ^π₆ ^π₄ ^π₃

37) arctan(√

3) = ^π₃ et arctan tan^7π₅

= ^2π₅ . 38) arctan

1+√ 2 2

. 39)

x −∞ −1 2 3 +∞

−3 +∞ +∞

variations def ր ց ց ր

−∞ −∞ 5

40) La fonction est paire et non p´eriodique.

41) x6y⇐⇒ −x>y⇐⇒e^−x >e^−y.

42) On remarque quex³−y³= (x−y)((x+¹₂y)²+³₄y²).

43) La solution est n´egative et vaut −^√₃³.

44) L’ensemble des solutions de l’in´equation est [−1; 0]∪[1; +∞[.

45) Pour −36x65 on a 162x²+ 1651.

46) Le minimum de la fonctionf est−¹e. 47) h(x) =x⁴−2x³+ 2x²−x−2.

48) g(y) = ₂₋^y_y. 49) g(y) =y+p

y²+y.

50) y = 2−x.

51) y = 2ax−a². 52) (−1; 1) et 1; 3.

53)

54) Les solutions sont les r´eels x tels quex− ⌊x⌋< ¹₂. 55) On a e^x+ 1

e^x−1 −e=e^1−x.

56) On a 06x6ln 2 en posantX =e^x.

57)

x −∞ −^√₂^{2 √}₂² +∞

0 p_e

2

variations def ց ր ց

−p_e

2 0

58)

x −∞ −2 1 +∞

signe de f^′ − 0 + 0 −

0 ¹⁰_e

variations def ց ր ց

−20e⁻¹⁴ 0 59) f est d´ecroissante surR₋ et croissante surR₊.

60) 8 ln 3 + 2 ln 2.

61) ln 2≃ ₁₃⁹.

62) Le minimum est −¹e.

63) On ´etudie les fonctions x7→x−ln(1 +x) et x7→ln(1 +x)−x+¹₂x² sur l’intervalle [0; +∞[. On en d´eduit lim

x→0 x6=0

ln(1 +x) x = 1.

64) On ´etudie les variations de la fonction x7→ln

x+y 2

−lnx+ lny

2 .

65) √ 2.

66) L’´equation admet pour unique solution ₂₇⁴ . 67) Le minimum est e^−1e.

68) On a S={1; 4}.

69) On ´etudie les variations de la fonctionx7→ x−1−lnxsur l’intervalle ]0; +∞[ puis on utilise l’in´egalit´e avec x= π

e. 70) On a lim

x→+∞(x+ 2^x)^x1 = 2.

71)

x 0 ^π₃ ^5π₃ 2π

0 ^5π₃ +√

3

variations def ց ր ց

π 3 −√

3 2π

72)

x −^π2 −^π3 π

3 π

2

0 ¹₆√

3

variations def ց ր ց

1 6

√3 0

73) On a x = π

12 + 2kπ ou x= 5π

12 + 2kπ avec k ∈Z en ´elevant l’´equation au carr´e et en ´eliminant les solutions de l’´equation sinx+ cosx=−

r3 2. 74) π

6. 75) 5π 6 . 76) 4x³−3x.

77) ϕ est de d´eriv´ee nulle et donc constante ´egale `a ϕ(0) sur [−1; 1].

78) On a x = π

12 + 2kπ ou x= 5π

12 + 2kπ avec k ∈Z en ´elevant l’´equation au carr´e et en ´eliminant les solutions de l’´equation sinx+ cosx=−

r3 2. 79) On a

Z ¹₂

−¹₂

p1−x² dx=

√3 4 +π

6.

80) 2 9π³.

81) On a arctanx+ arctan1 x = π

2 si x >0 et arctanx+ arctan1 x =−π

2 si x <0.

82) 1

√1 +x² et x

√1 +x². 83) π

4 en montrant que arctan¹₂ + arctan¹₅ = arctan⁷₉ puis que arctan⁷₉ + arctan¹₈ = arctan1.

84) On montre que arctan(k+ 1) −arctan(k−1) = arctan_k²2 puis on proc`ede par t´elescopage avec S_n= arctan(n+ 1) + arctan(n)−arctan(1).