Oscillations cohérentes dans un circuit quantique supraconducteur : le SQUID dc

HAL Id: tel-00011407

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00011407

Submitted on 18 Jan 2006

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

supraconducteur : le SQUID dc

Julien Claudon

To cite this version:

Julien Claudon. Oscillations cohérentes dans un circuit quantique supraconducteur : le SQUID dc.

Supraconductivité [cond-mat.supr-con]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2005. Français. �tel-

00011407�

Th` ese

pr´ esent´ ee par

Julien Claudon

pour obtenir le titre de Docteur de l’Universit´ e Joseph Fourier - Grenoble I

en Physique

Oscillations coh´ erentes dans un circuit quantique supraconducteur : le SQUID dc

Soutenue publiquement le 27 septembre 2005 devant le jury : M. Vallade , Pr´ esident

H. Bouchiat , Rapporteur B. Dou¸ cot , Rapporteur M. Brune , Examinateur J. Pekola , Examinateur O. Buisson , Directeur de th` ese

Th` ese pr´ epar´ ee au

Centre de Recherches sur les Tr` es Basses Temp´ eratures (CNRS - Grenoble)

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

R´ esum´ e : Oscillations coh´ erentes dans un circuit quantique supraconducteur : le SQUID dc

Un SQUID dc polaris´ e en courant se comporte comme une particule quantique pi´ eg´ ee dans un puits de potentiel cubique-quadratique d´ efini par sa fr´ equence de fond de puits et une barri` ere d’´ echappement finie. Le spectre d’´ energie du syst` eme est quantifi´ e ; la position des niveaux ainsi que leur temps de vie tunnel sont contrˆ ol´ es par le courant de polarisation et le flux magn´ etique appliqu´ e.

Au cours de la th` ese, l’analyse de l’´ echappement du fondamental par effet tunnel ma- croscopique (MQT) a permis de caract´ eriser les bruits sur les param` etres de polarisation.

Le MQT est aussi au cœur de la mesure de l’´ etat du SQUID par impulsions de flux dc nanosecondes. L’observation d’une dynamique coh´ erente, excit´ ee par des impulsions micro- onde r´ esonantes, constitue une premi` ere ´ etape vers la manipulation de l’´ etat quantique du circuit. Enfin, les processus incoh´ erents sont ´ etudi´ es quantitativement dans la limite ` a deux niveaux, ` a travers des mesures de spectroscopie et de relaxation de l’´ energie.

Abstract : Coherent oscillations in a superconducting quantum circuit : the dc SQUID

A current-biased dc SQUID behaves as a quantum particle trapped in a cubic-quadratic potential well defined by its bottom well frequency and a finite escape barrier. The energy spectrum of the system is quantified ; both position and tunnel lifetime of energy levels are controlled by the bias current and the applied magnetic flux.

During this PhD, an analysis of the escape of the ground state by macroscopic quantum tunnelling (MQT) leads to a characterization of noises acting on bias parameters. MQT is also fundamental for the measurement of the quantum state of the circuit, realized with nanosecond dc flux pulses. Coherent dynamics, induced by resonant microwave flux pulses, is the first step towards a coherent manipulation of the quantum state of the circuit.

Finally, incoherent processes were quantitavely studied in the two level limit, using low power spectroscopy and energy relaxation measurements.

Mots cl´ es

Jonctions Josephson, SQUID dc, qubit, MQT, oscillations coh´ erentes, d´ ecoh´ erence.

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

Remerciements

Je remercie tout d’abord sinc` erement H´ el` ene Bouchiat et Benoˆıt Dou¸cot pour avoir accept´ e d’ˆ etre mes rapporteurs et avoir lu ma th` ese en plein mois d’aoˆ ut ! Thanks very much to Jukka Pekola who accepted to be a member of my thesis committee and travel from Helsinki. Merci aussi ` a M. Brune d’avoir accept´ e de faire partie du jury et merci ` a Marcel Vallade d’en ˆ etre pr´ esident.

Ces trois ann´ ees et demie pass´ ees au CRTBT ont ´ et´ e riches et passionnantes, aussi bien sur le plan scientifique qu’humain. Je remercie Henri Godfrin, pour m’avoir accueilli au sein du laboratoire.

Un gigantesque merci ` a mon ”chef”, Olivier Buisson, pour sa disponibilit´ e, son inves- tissement dans les exp´ eriences, sa comp´ etence et sa bonne humeur. Il ´ etait passionnant de d´ ecouvrir et de r´ esoudre en ´ equipe les questions soulev´ ees au cours de la th` ese. Je te remercie aussi tr` es sinc` erement de m’avoir fait confiance et de m’avoir laiss´ e libre de l’organisation de mon travail.

Again, thanks to Jukka who co-directed my master thesis. It was a real pleasure to work with you. Thank you for your dynamism and nice discussions. Thanks also to Jani Kivioja who came two weeks to measure samples during my Ph. D. Je remercie sinc` erement Franck Balestro, mon pr´ ed´ ecesseur sur ce sujet, pour son fantastique travail de pionnier. Merci

´

egalement d’avoir ”pass´ e le relais” et de m’avoir fait profiter de ton exp´ erience durant mon stage de DEA et au d´ ebut ma th` ese. Merci ` a Aur´ elien Fay, que j’ai encadr´ e durant son stage de DEA et avec qui a commenc´ e l’´ etude sur les probl` emes de bruit dans le SQUID.

Bonne chance pour la suite ! Merci aussi ` a Sylvain qui a d´ efrich´ e, durant son stage de DEA, une nouvelle m´ ethode de polarisation, riche de promesses pour l’avenir.

Merci aussi aux membres de l’´ equipe CRTBT-LCMI-LPM

C ”Circuits Quantiques Su- praconducteurs” : Wiebcke Guichard, Franck Hekking et Laurent L´ evy pour leur comp´ e- tence scientifique et les nombreuses discussions, toujours fructueuses, dans une ambiance d´ etendue. Je remercie ´ egalement David Schaeffer, Alexandre Ratchov et Fr´ ed´ eric Faure.

Je tiens ´ egalement ` a exprimer toute ma reconnaissance aux membres de l’´ equipe m´ eso : Herv´ e (merci, en autre, pour la relecture de l’introduction), Klauss (on te ram` ene ton ampli blind´ e quand tu veux !), G´ erard, Laurent, Cristopher, Vincent, Bernard et Monique qui a gentillement accept´ e d’ˆ etre ma tutrice de monitorat. Merci ` a tous pour votre soutient et vos conseils.

Merci ` a Pascal Xavier pour son aide sur les logiciels de mod´ elisation hyperfr´ equence, Philippe Gandit qui m’a souvent remis sur les rails lorsque je d´ ebutais en programmation

v

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

Lab-View, Philippe Roche avec qui nous avons eu une discussion fort int´ eressante sur les probl` eme li´ es au bruit et Eddy Collin pour son exp´ erience dans la d´ ecoh´ erence des circuits supraconducteurs. Toute ma reconnaissance pour Klaus et Jean-Jacques qui ont assist´ e aux premi` eres r´ ep´ etitions de ma soutenance de th` ese.

Les exp´ eriences men´ ees durant ma th` ese impliquent un grand nombre de techniques

”pointues” (entre autres : cryog´ enie, ´ electronique bas-bruit et micro-fabrication). Je remer- cie chaleureusement l’ensemble des services du laboratoire pour leur soutient technique.

Sans vous, rien ne serait possible (ou alors infiniment plus lentement).

Gloire au service micro-fabrication : Thierry et Thierry (ils se reconnaˆıtront) ainsi que Bruno. Vous ´ etiez toujours disponibles lors des in´ evitables probl` emes rencontr´ es dans la fabrication des ´ echantillons. Merci aussi ` a Olivier et Christophe qui ont r´ ealis´ e les capacit´ es planes de filtrage, cruciales pour nos exp´ eriences.

Lou´ e soit le service ´ electronique : Jean-Louis, Christophe, Maurice, Guillaume et Gil- bert. Merci pour votre disponibilit´ e, votre comp´ etence et votre 6

sens pour d´ enicher les boucles de masses sournoises. Un merci particulier pour Julien, avec qui nous avons mis au point une nouvelle ´ electronique de polarisation.

Reconnaissance ´ eternelle aux services cryog´ enie et m´ ecanique. Merci ` a Anne et Greg pour les pi` eces et les conseils, toujours d’une grande qualit´ e.

Mˆ eme si je m’am´ eliore petit ` a petit, les tˆ aches administratives ne sont pas encore mon point fort ! Merci ` a vous Nathalie, Patricia, Martine et Nathalie : heureusement que vous

´

etiez l` a ! Pour ceci et pour ton aide pr´ ecieuse sous BibTex, merci Dani` ele.

Avant de continuer plus avant, ma conscience m’ordonne de m’excuser aupr` es de toutes les personnes qui m’ont gracieusement fourni en cigarettes... Yannick (qui m’a courageu- sement remis dans le droit chemin lorsque ma consommation d´ erapait), Pantxo, Sylvain, Maurice et Bruno : je vous suis reconnaissant pour ces quelques bouff´ ees de fum´ ees qui avaient la saveur inimitable de la gratuit´ e. Plus g´ en´ eralement, merci ` a l’ensemble des th´ e- sards et du personnel du CRTBT dont la bonne humeur fait de ce laboratoire un lieu de travail si agr´ eable. Pantxo, Thomas et Julien : fartez skis et surfs, affˆ utez crampons et piolets, l’hiver arrive bientˆ ot !

Merci ` a ma sœur et ` a mon fr` ere (prudence !), ainsi qu’` a mes parents pour leur soutient et une relecture du manuscrit qui n’a pas dˆ u ˆ etre facile. Merci ` a mes amis ainsi qu’` a mes colloqs ´ eternels (et n´ eanmoins amis) : Nat (remets toi bien) et Vu Hung (cuisinier talentueux et familier du combat de grizzlis sib´ eriens). Merci aussi ` a la ”belle-famille” pour son sens aig¨ u de la fˆ ete. Et enfin, last but not least at all, merci ` a mon petit Choupinou qui ensoleille ma vie et mes week-ends depuis bientˆ ot deux ans. C’est promis, nous habiterons un jour ensemble !

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

Table des mati` eres

Introduction 1

1 Description th´ eorique du SQUID dc 7

1.1 Equations dynamiques ´ . . . . 8

1.1.1 La jonction Josephson . . . . 8

1.1.2 Dynamique de phase d’une JJ unique - Analogie m´ ecanique . . . . 10

1.1.3 Mod` ele ´ electrique du SQUID dc . . . . 11

1.1.4 Equations dynamiques du SQUID - Analogie m´ ´ ecanique . . . . 12

1.2 Dynamique de phase du SQUID dc . . . . 14

1.2.1 Inductance et nombre de degr´ es de libert´ e effectifs . . . . 14

1.2.2 Etats supraconducteurs - Diagramme critique ´ . . . . 15

1.2.3 Etat r´ ´ esistif - hyst´ er´ esis . . . . 17

1.3 Le SQUID : un circuit quantique contrˆ olable . . . . 18

1.3.1 Manipulation et mesure de l’´ etat quantique du SQUID . . . . 18

1.3.2 R´ eduction ` a un probl` eme unidimensionnel . . . . 23

1.3.3 Excitation du SQUID . . . . 27

1.4 Caract´ eristiques du puits de potentiel . . . . 29

1.4.1 D´ eveloppement limit´ e . . . . 29

1.4.2 Calcul num´ erique . . . . 30

2 Dispositif exp´ erimental et micro-fabrication 33 2.1 Fabrication des ´ echantillons . . . . 34

2.1.1 Lithographie ´ electronique . . . . 34

2.1.2 Evaporation sous angle ´ . . . . 37

2.1.3 G´ eom´ etrie des circuits . . . . 38

2.1.4 Tests - Connection du circuit . . . . 40

2.2 Le dispositif exp´ erimental . . . . 41

2.2.1 Principe du montage . . . . 41

2.2.2 G´ en´ eration du signal micro-onde . . . . 45

2.3 Blindage et filtrage . . . . 47

2.3.1 Blindage . . . . 47

2.3.2 Filtrage des lignes . . . . 48

2.3.3 Environnement proche du SQUID . . . . 49 vii

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

3 Temps de vie du fondamental, effet tunnel et bruit de flux 55

3.1 Temps de vie du fondamental . . . . 56

3.1.1 Effet tunnel et activation thermique . . . . 56

3.1.2 Mesure de P

par impulsions de courant . . . . 58

3.1.3 D´ ependance en flux - premi` ere analyse . . . . 60

3.2 Bruit et mesure d’´ echappement . . . . 62

3.2.1 Influence de la fr´ equence des fluctuations . . . . 62

3.2.2 Bruit de flux basse fr´ equence dans les SQUIDs . . . . 66

3.2.3 Discussion : origine et amplitude du bruit de flux . . . . 68

3.3 Mesures ` a deux courants critiques . . . . 70

3.3.1 Principe du transfert de puits . . . . 70

3.3.2 R´ esultats exp´ erimentaux . . . . 72

4 Spectroscopie et oscillations coh´ erentes 73 4.1 Niveaux d’´ energie et spectroscopie . . . . 74

4.1.1 Principe de la spectroscopie de fond de puits . . . . 74

4.1.2 Transition |0i → |1i : r´ esultats exp´ erimentaux . . . . 76

4.1.3 Pompage et transition |1i → |2i - r´ esultats pr´ eliminaires . . . . 79

4.2 Dynamique coh´ erente du SQUID coupl´ e ` a un champ micro-onde . . . . 82

4.2.1 La th´ eorie et ses hypoth` eses . . . . 82

4.2.2 Comp´ etition entre anharmonicit´ e et excitation MO . . . . 85

4.2.3 Evolution de la fonction d’onde du syst` ´ eme . . . . 88

4.2.4 Signatures d’un comportement quantique et limite classique . . . . 91

4.3 R´ esultats exp´ erimentaux . . . . 94

4.3.1 Le SQUID S

. . . . 94

4.3.2 Vers la limite ` a deux niveaux : SQUID S

. . . . 98

5 Bruit et processus incoh´ erents 103 5.1 Processus incoh´ erents dans un syst` eme ` a deux niveaux . . . . 104

5.1.1 Position du probl` eme . . . . 104

5.1.2 La th´ eorie de Bloch-Redfield et ses limites . . . . 107

5.1.3 D´ ephasage adiabatique et fluctuations gaussiennes . . . . 109

5.1.4 G´ en´ eralisation : couplage ` a plusieurs bains ind´ ependants . . . . 111

5.1.5 Bruit et spectroscopie ` a basse puissance . . . . 111

5.2 Les sources de d´ ecoh´ erence . . . . 112

5.2.1 Bruit sur le courant de polarisation . . . . 112

5.2.2 Bruit sur le flux de polarisation . . . . 118

5.3 D´ ecoh´ erence : r´ esultats exp´ erimentaux . . . . 120

5.3.1 Relaxation de l’´ etat |1i . . . . 121

5.3.2 Etude spectroscopique ` ´ a basse puissance . . . . 123

5.3.3 Perspectives d’am´ elioration . . . . 126

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

TABLE DES MATI` ERES ix

6 La mesure nanoseconde 129

6.1 Echappement du fondamental ´ . . . . 130

6.1.1 R´ esultats exp´ erimentaux . . . . 130

6.1.2 Bruit sur les param` etres de polarisation . . . . 132

6.2 D´ etection de l’´ etat |1i . . . . 134

6.2.1 Optimisation du contraste de la d´ etection . . . . 134

6.2.2 Estimation de l’efficacit´ e de la mesure . . . . 136

6.2.3 Origines possibles de la perte d’efficacit´ e de la mesure . . . . 138

6.3 Mesure des ´ etats |2i et sup´ erieurs (pr´ eliminaire) . . . . 141

Conclusions et perspectives 143 A Param` etres des SQUIDs mesur´ es 155 B Programmes d’analyse de donn´ ees 157 C Matrice de l’op´ erateur X e dans la base {|ni}, fonction d’onde des ´ etats |ni159 D Passage ` a la repr´ esentation ”*” 161 E Fonctions de corr´ elation et densit´ es spectrales 165 E.1 Signal al´ eatoire classique . . . . 165

E.2 Signal al´ eatoire quantique . . . . 166

E.3 Environnement d´ ecrit par une imp´ edance . . . . 167

F Publications 169

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

Introduction

Parmi les lois de la m´ ecanique quantique, le principe de superposition est sans doute celle qui heurte le plus l’intuition. Si on consid` ere une grandeur physique observable, un syst` eme quantique est en effet succeptible d’exister dans une superposition lin´ eaire d’´ etats propres associ´ es ` a cette observable. Par exemple, une particule microscopique peut simul- tan´ ement occuper deux positions. L’op´ eration de mesure donne alors un r´ esultat parmi les diverses possibilit´ es et l’´ etat du syst` eme est projet´ e dans l’´ etat propre correspondant : c’est la r´ eduction du paquet d’onde.

L’application du principe de superposition ` a un ensemble de particules quantiques conduit ` a une autre propri´ et´ e tr` es surprenante : l’intrication ou enchevˆ etrement d’´ etats.

Dans un cadre classique, deux particules peuvent toujours ˆ etres d´ ecrites ind´ ependamment l’une de l’autre, mˆ eme apr` es qu’elles aient interagi. Par contre, la collision entre deux parti- cules quantiques g´ en` ere un ´ etat intriqu´ e. Il n’est alors plus possible de d´ ecrire les particules s´ epar´ ement ; une mesure r´ ealis´ ee sur une particule affecte profond´ ement l’´ etat de l’autre.

Cet ´ etat enchevˆ etr´ e ne d´ epend pas de la s´ eparation spatiale des particules. L’existence de ces corr´ elations quantiques non locales a ´ et´ e mise en ´ evidence pour la premi` ere fois sur des paires photons intriqu´ es [1].

Transpos´ e aux objets macroscopiques qui nous sont familiers, le principe de superposi- tion conduit ` a des r´ esultats ´ etranges. La situation est stigmatis´ ee par le c´ el` ebre paradoxe du chat de Schr¨ odinger, qui d´ ecrit un chat suspendu entre la vie et la mort [2]. Or, le bon sens rappelle qu’un chat est vivant ou mort. Pourquoi ne peut-il exister dans la superpo- sition ” |vivanti + |morti”? Le monde classique qui nous entoure peut ˆ etre d´ ecrit comme une collection ´ enorme de degr´ es de libert´ es. Lorsqu’un syst` eme est coupl´ e ` a ce jeu infini de degr´ es de libert´ es, les superpositions quantiques d’´ etats sont rapidement d´ egrad´ ees en m´ elanges statistiques. Ce m´ ecanisme, nomm´ e d´ ecoh´ erence [3], est d’autant plus rapide que le syst` eme consid´ er´ e est fortement coupl´ e ` a son environnement. Un objet macroscopique comme le chat de Schr¨ odinger est intrins` equement fortement coupl´ e ` a son environnement.

Le temps de survie d’une superposition d’´ etats ” |vivanti + |morti” est alors extrˆ emement faible. Apr` es une dur´ ee si courte qu’elle est inaccessible ` a l’exp´ erience, le chat est vivant ou mort.

L’´ etude de ces propri´ et´ es fondamentales est d´ ej` a un objectif passionnant en soi. Dans les ann´ ees 90, l’int´ erˆ et port´ e ` a ces ph´ enom` enes a ´ et´ e encore renforc´ e : il est apparu que la m´ ecanique quantique pouvait ˆ etre utilis´ ee pour traiter efficacement l’information et r´ ealiser certains calculs.

1

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

L’architecture d’un processeur quantique tel qu’on la con¸coit actuellement repose sur l’association de syst` emes ` a deux niveaux : les qubits (abr´ eviation de quantum bits) [4, 5].

Contrairement ` a un bit classique, qui adopte l’´ etat logique 1 ou 0, un qubit peut ˆ etre dans une superposition coh´ erente arbitraire d’´ etats logiques |0i ou |1i. En contrˆ olant le couplage entre deux qubits, on r´ ealise une porte logique quantique qui intrique l’´ etat des deux qubits. En r´ ep´ etant l’op´ eration, on parvient ainsi ` a cr´ eer des ´ etats intriqu´ es ` a l’´ echelle du processeur entier. Ces ´ etats intriqu´ es complexes permettent de r´ ealiser certains calculs beaucoup plus efficacement qu’avec un ordinateur classique.

A ce jour, quelques algorithmes quantiques d’un r´ eel int´ erˆ et pratique ont ´ et´ e d´ ecouverts.

Les principaux concernent la factorisation de nombres entiers [6], la recherche dans une base de donn´ ees non tri´ ees [7] et la simulation efficace de syst` emes physiques quantiques [8]. L’al- gorithme de Shor permet de factoriser des nombres entiers en facteurs premiers en un temps polynomial avec la taille du nombre. Pour les algorithmes classiques connus, cette d´ epen- dance est exponentielle, conduisant pour les grands nombres ` a des calculs irr´ ealisables en pratique. De mani` ere sch´ ematique, les algorithmes quantiques exploitent l’existence des superpositions d’´ etats et le fait que les lois de la m´ ecanique quantique sont lin´ eaires. Ceci permet un parall´ elisme massif des calculs. Les choses sont toutefois plus complexes. En effet, la mesure d’un ´ etat quantique est par essence projective : lorsque l’on mesure la superposition d’´ etats en sortie, on obtient uniquement un r´ esultat particulier et la super- position d’´ etats est d´ etruite. Pour conserver les b´ en´ efices du parall´ elisme quantique, il faut g´ erer astucieusement l’intrication des qubits et la mesure.

Un processeur quantique utile, c’est ` a dire d´ epassant les capacit´ es des ordinateurs clas- siques actuels, doit comporter plusieurs milliers de qubit, un nombre (tr` es) largement su- p´ erieur aux r´ ealisations exp´ erimentales actuelles. Toutefois, le contrˆ ole d’´ etats intriqu´ es moins complexes pr´ esente d´ ej` a un grand int´ erˆ et. Ainsi, l’intrication d’une paire de qubits est suffisante pour permettre un ´ echange parfaitement sˆ ur de clefs cryptographiques [9].

La manipulation d’´ etats intriqu´ es poss` ede donc un enjeu fondamental doubl´ e d’une perspective d’application pratique. D’un point de vue exp´ erimental, la manipulation de l’´ etat quantique d’un syst` eme individuel, et plus encore celle de syst` emes quantiques in- triqu´ es soul` eve de redoutables difficult´ es et impose une s´ erie de contraintes s´ ev` eres. Pour limiter la d´ ecoh´ erence, ces syst` emes doivent ˆ etre isol´ es de leur environnement. Par contre, le contrˆ ole de l’intrication (portes logiques) impose une interaction mutuelle forte et contrˆ o- lable. Enfin, ils doivent ˆ etre adressables et mesurables individuellement. Peu de syst` emes physiques satisfont, mˆ eme partiellement, ces conditions.

Parmi les candidats possibles, les syst` emes microscopiques constituent un choix natu- rel, car ils sont relativement peu coupl´ es ` a leur environnement. Ils conservent ainsi leur coh´ erence quantique sur des dur´ ees T

assez longues pour r´ ealiser des op´ erations logiques

´

el´ ementaires. Des paires de photons intriqu´ es ont permis l’impl´ ementation de protocoles de cryptographie quantique [10]. En RMN, le nombre 15 (= 5 × 3 !) a ´ et´ e factoris´ e par l’algorithme de Shor en utilisant une mol´ ecule comportant sept spins nucl´ eaires [11]. Des exp´ eriences d’intrication entre atomes de Rydberg et le champ ´ electromagn´ etique d’une ca- vit´ e r´ esonante ont donn´ e une impressionnante s´ erie de r´ esultats [12]. Enfin, les exp´ eriences

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

3

r´ ealis´ ees sur des ions pi´ eg´ es ont connu de r´ ecentes et spectaculaires avanc´ ees avec, en autres, l’intriquation entre quatre ions [13] et le contrˆ ole de trois qubits intriqu´ es [14]. Dans tous ces domaines, le changement d’´ echelle vers des exp´ eriences impliquant plusieurs centaines ou plusieurs milliers de syst` emes individuels soul` eve toutefois de grandes difficult´ es techniques.

Systèmes microscopiques

Circuits supraconducteurs - spins nucléaires (RMN) - ions piégés

- atomes et cavités

c o u p la g e à l 'e n v ir o n n e m e n t e t a u x s ig n a u x d e c o n tr ô le

T 2 T

op

500 ns 10 ns 100 ms 1 µs 1 ms 10 s

Quantronium

1 ms 10 µs

T 2 / T

op

10 ⁴ 10 ⁵

50 10 ²

Tab. 1 – Ordres de grandeur des temps de coh´ erence (T

) et des temps de manipulation (T

) du syst` eme quantique : comparaison entre les syst` emes microscopiques et les circuits supraconducteurs. Le rapport T

/T

donne le nombre typique de manipulations coh´ erentes r´ ealisables.

Les circuits m´ esoscopiques supraconducteurs proposent une alternative s´ eduisante aux syst` emes microscopiques. En effet, les techniques de lithographie conventionnelles ne posent pas de limite ` a la fabrication de circuits int´ egr´ es complexes. ` A basse temp´ erature, les ´ elec- trons d’un mat´ eriau supraconducteur se condensent en paires de Cooper pour former un

´

etat quantique macroscopique. L’´ el´ ement de base des circuits est la jonction Josephson (JJ) r´ ealis´ ee par un lien faible s´ eparant deux condensats supraconducteurs. L’´ etat d’une JJ est caract´ eris´ e par deux variables conjugu´ ees : la diff´ erence de phase ` a travers la jonction et la diff´ erence de charge entre les deux ´ electrodes. Le comportement d’une JJ est r´ egl´ e par la comp´ etition entre l’´ energie Josephson E

caract´ erisant l’intensit´ e du couplage entre les deux phases supraconductrices et l’´ energie de charge E

qui donne le coˆ ut ´ electrosta- tique pour amener une paire de Cooper d’un cˆ ot´ e ` a l’autre de la jonction. Si E

E

, la phase de la jonction fluctue tr` es peu. ` A l’inverse, si E

E

, c’est l’´ etat de charge qui est bien d´ efini. Suivant la balance des ´ energies E

et E

, on peut construire une grande vari´ et´ e de dispositifs. Dans tous les cas, ces circuits m´ esoscopiques sont fortement coupl´ es

`

a leur environnement (par les fils). Malgr´ e tous les efforts d’optimisation et de filtrage, ils pr´ esentent des temps de coh´ erence largement plus faibles que les syst` emes microsco- piques. Par contre, ils sont ´ egalement fortement coupl´ es aux signaux de contrˆ ole, ce qui permet une manipulation rapide de leur ´ etat, comme on peut le constater sur le tableau comparatif 1. Finalement, les performances d’un syst` eme sont caract´ eris´ ees par le nombre de manipulations coh´ erentes r´ ealisables qui est typiquement donn´ e par le rapport T

/T

. Les exp´ eriences comportent en outre une difficult´ e cryog´ enique : en raison des faibles ´ ener-

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

gies caract´ eristiques mises en jeu, le comportement quantique des circuits n’est observable qu’aux tr` es basses temp´ eratures atteintes dans les r´ efrig´ erateurs ` a dilution

He/

He (envi- ron 20 mK).

Une premi` ere signature d’un comportement quantique est l’effet tunnel macroscopique (pour un degr´ e de libert´ e ´ electronique collectif ). Il a ´ et´ e observ´ e pour la premi` ere fois en 1981 dans une jonction domin´ ee par l’´ energie Josephson [15], v´ erifiant ainsi la pr´ ediction th´ eorique de Caldeira et Leggett [16]. Des mesures spectroscopiques ont ensuite d´ emontr´ e que les ´ etats de phase d’une JJ similaire poss` edent un spectre d’´ energie discret [17]. En 1999, Nakamura et al ont r´ ealis´ e des oscillations coh´ erentes entre les deux ´ etats de charge d’une boˆıte ` a paires de Cooper [18]. Un qubit l´ eg` erement diff´ erent, le ”Quantronium” a d´ e- montr´ e un temps de coh´ erence T

de l’ordre de 500 ns largement suffisant pour permettre la r´ ealisation d’exp´ eriences de coh´ erence ´ el´ ementaires (oscillations de Ramsey, ´ echo de spin) [19]. L’analogie entre un spin

et un syst` eme ` a deux niveaux permet de transposer les tech- niques de contrˆ ole issues de la RMN [20]. D’autres qubits ont ´ et´ e d´ evelopp´ es [21, 22, 23] et le domaine est aujourd’hui soumis ` a une rude concurrence internationale. Les exp´ eriences d´ emontrant l’intrication entre deux qubits, ou entre un Qubit et un r´ esonateur, restent cependant assez rares. La spectroscopie est une premi` ere ´ etape pour sonder les effets du couplage entre deux syst` emes [24, 25]. L’intrication entre deux circuits a ´ et´ e clairement r´ ev´ el´ ee par l’observation d’oscillations coh´ erentes dans le domaine temporel [26, 27, 28]. ` A l’heure actuelle, une seule porte logique contrˆ ol´ ee a ´ et´ e r´ ealis´ ee exp´ erimentalement en utili- sant deux qubits de charge [29]. Elle pr´ esente toutefois des taux d’erreur assez importants, r´ edhibitoires pour une utilisation en calcul quantique. En fait, les circuits supraconduc- teurs restent coupl´ es ` a de nombreuses sources de d´ ecoh´ erence parasites dont l’origine reste souvent un probl` eme ouvert. Leur caract´ erisation, ainsi que leur effets sur les qubits sont intensivement ´ etudi´ es [30, 31, 32, 33].

L’objet de ce travail est l’´ etude de la dynamique quantique d’un circuit supraconduc- teur : le SQUID dc polaris´ e en courant. Il est constitu´ e de deux JJs domin´ ees par l’´ energie Josephson et coupl´ ees au sein d’une boucle supraconductrice (figure 1). Nous verrons que la dynamique de phase d’un tel circuit est analogue aux d´ eplacements d’une particule fic- tive dans un puits de potentiel ` a une dimension, ´ egalement repr´ esent´ e sur la figure 1. Les

´

etats vibratoires de la particule fictive conduisent ` a un spectre d’´ energie quantifi´ e. Les ´ etats correspondants sont not´ es |0i, |1i, |2i, ... L’anharmonit´ e du puits de potentiel et l’´ energie typique des transitions entre niveaux voisins sont contrˆ ol´ es ` a travers deux param` etres : le courant de polarisation et le flux magn´ etique appliqu´ e ` a travers la boucle supraconductrice.

Le SQUID constitue ainsi un v´ eritable atome artificiel contrˆ olable. Des impulsions de flux micro-ondes (MO) r´ esonantes induisent des transitions entres les niveaux d’´ energie. La me- sure de l’´ etat du SQUID est r´ ealis´ ee en abaissant la barri` ere de potentiel, ce qui induit un

´

echappement s´ electif des niveaux excit´ es et donne acc` es ` a leur population. Ainsi, syst` eme quantique et syst` eme de mesure ne font qu’un. Cette simplicit´ e est un atout par rapport ` a d’autres circuits qui n´ ecessitent un dispositif de mesure auxiliaire.

Ce circuit permet de r´ ealiser une grande vari´ et´ e d’exp´ eriences impliquant une physique

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

5

tr` es riche. Dans une perspective ”information quantique”, il peut ˆ etre vu comme un qubit de phase si on se restreint aux deux premiers niveaux. Mais il autorise ´ egalement des situations plus exotiques, mettant en jeu trois niveaux ou plus. C’est un syst` eme non- lin´ eaire avec une anharmonicit´ e r´ eglable. En changeant les param` etres de polarisation, on passe continuement d’un syst` eme tr` es peu anharmonique, pratiquement ´ equivalent ` a un oscillateur harmonique, ` a un syst` eme avec des effets non lin´ eaires marqu´ es.

A plus long terme, la caract´ erisation des propri´ et´ es du SQUID (temps de relaxation, de d´ ecoh´ erence, fid´ elit´ e de la mesure) pose les bases d’une exp´ erience manipulant l’intri- cation entre le SQUID et une boˆıte ` a paires de Cooper [34]. Cette situation transpose en mati` ere condens´ ee les exp´ eriences d’intrication entre un atome de Rydberg (boˆıte ` a paires de Cooper) et un mode r´ esonant d’une cavit´ e ´ electromagn´ etique (SQUID) [12].

Φ _p I _p

JJ ₁ JJ ₂

ω _p (I _p ,Φ _p )

∆ U (I _p , Φ _p )

phase énergie

Fig. 1 – A gauche ` : le SQUID dc polaris´ e par un courant I

et un flux Φ

. A droite ` : le syst` eme physique ´ equivalent.

Organisation du manuscrit

Le manuscrit est organis´ e en six chapitres. Le premier d´ ecrit la jonction Josephson et le SQUID dc. L’accent est mis sur les analogies m´ ecaniques qui permettent de d´ ecrire la dynamique de phase de ces deux syst` emes. Il pr´ esente ´ egalement la proc´ edure utilis´ ee pour manipuler l’´ etat quantique du SQUID par impulsions MO et mesurer le r´ esultat de cette manipulation.

Sont d´ evelopp´ es ensuite les aspects techniques associ´ es aux exp´ eriences. Nous aborde- rons les diff´ erentes ´ etapes de la micro-fabrication des ´ echantillons ainsi que les caract´ eris- tiques des SQUIDs S

et S

´ etudi´ es. Le dispositif exp´ erimental est pr´ esent´ e en d´ etail en fin de chapitre.

Les chapitres suivants exposent les r´ esultats exp´ erimentaux. L’exp´ erience la plus simple r´ ev´ elant un comportement quantique est l’observation de l’effet tunnel macroscopique. Nous montrerons que ces mesures fournissent en outre un outil sensible pour caract´ eriser les fluc-

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

tuations basse fr´ equence des param` etres de polarisation. En particulier, les deux SQUIDs

´

etudi´ es pr´ esentent un bruit de flux basse fr´ equence dont l’origine reste ` a d´ eterminer.

Le chapitre quatre est d´ edi´ e ` a la dynamique du SQUID excit´ e par des impulsions micro- ondes r´ esonantes. Nous d´ ecrivons d’abord les r´ esultats des exp´ eriences de spectroscopie, puis la dynamique coh´ erente du circuit, observ´ ee dans un r´ egime de couplage fort aux MO. De mani` ere analogue aux oscillations de Rabi rencontr´ ees dans un syst` eme ` a deux niveaux, l’´ etat du SQUID oscille suite au couplage avec le champ MO. Toutefois, d´ ependant de l’amplitude de l’excitation, plus de deux niveaux sont susceptibles d’ˆ etre impliqu´ es (oscillations multi-niveaux). Les r´ esultats exp´ erimentaux sont parfaitement expliqu´ es par la th´ eorie que nous avons d´ evelopp´ ee.

La visibilit´ e des oscillations coh´ erentes est limit´ ee par les processus incoh´ erents. Pour am´ eliorer les performances du SQUID, nous avons r´ ealis´ e une ´ etude exp´ erimentale de la d´ ecoh´ erence. Par souci de simplicit´ e, le SQUID est op´ er´ e dans ce chapitre dans la limite ` a deux niveaux. Les sources de d´ ecoh´ erence possibles sont analys´ ees, pour retenir uniquement celles qui sont dominantes. Cette analyse permet d’interpr´ eter nos r´ esultats exp´ erimentaux (relaxation de l’´ energie et ´ etude spectroscopique dans le r´ egime lin´ eaire).

Enfin, le dernier chapitre est consacr´ e ` a la caract´ erisation de la mesure de l’´ etat du SQUID par impulsions de flux rapides (temps de mont´ ee : 1.6 ns, dur´ ee minimale : 1 ns).

L’´ echappement du fondamental est tr` es bien compris. Nous proposons ´ egalement une ex- p´ erience qui permet de d´ eterminer le contraste de d´ etection entre les ´ etats |0i et |1i. Enfin, nous pr´ esentons des r´ esultats pr´ eliminaires concernant la d´ etection des ´ etats |2i et sup´ e- rieurs.

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

Chapitre 1

Description th´ eorique du SQUID dc

L’objet de toute cette th` ese est l’´ etude d’un circuit supraconducteur ` a base de jonctions Josephson (JJ) : le SQUID-dc polaris´ e en courant. Il est compos´ e de deux JJ coupl´ ees au sein d’une boucle supraconductrice d’inductance finie. Nous commen¸cons par pr´ esenter la JJ, puis nous montrons que sa dynamique de phase est formellement analogue aux d´ eplacements d’une particule fictive se d´ epla¸cant sur un potentiel unidimensionnel en forme de tˆ ole ondul´ ee. Nous ´ etablissons ensuite les ´ equations qui gouvernent la dynamique de phase du SQUID. Il existe l` a aussi une analogie m´ ecanique. Cette fois, la particule fictive qui d´ ecrit l’´ etat de phase du SQUID se d´ eplace sur un potentiel ` a deux dimensions.

En nous appuyant sur l’analogie m´ ecanique, nous examinerons successivement les ´ etats supraconducteurs du SQUID et son ´ etat r´ esistif. Nous montrons ´ egalement comment l’in- ductance de la boucle contrˆ ole le caract` ere bidimensionnel de la dynamique de phase du SQUID. Si cette inductance est tr` es faible, le SQUID est ´ equivalent ` a une JJ dont le cou- rant critique est modul´ e par le flux magn´ etique. Dans le cas oppos´ e, le mouvement de la particule fictive est r´ eellement ` a deux dimensions. Les SQUIDs ´ etudi´ es dans cette th` ese sont dans un r´ egime interm´ ediaire. Leur dynamique se d´ ecrit ` a l’aide d’un seul degr´ e de libert´ e se d´ epla¸cant dans un potentiel unidimensionnel. Par contre, ce potentiel conserve une trace de la bidimensionnalit´ e du probl` eme initial.

Lorsque le SQUID est dans un ´ etat supraconducteur, la particule fictive qui d´ ecrit son ´ etat de phase oscille dans un puits de potentiel harmonique perturb´ e par un terme cubique. Le syst` eme poss` ede alors un spectre d’´ energie discret. L’´ ecartement entre niveaux d’´ energie et le nombre de niveaux pi´ eg´ es dans le puits sont d´ etermin´ es par deux param` etres de contrˆ ole exp´ erimentaux : le courant de polarisation et le flux magn´ etique appliqu´ e ` a travers la boucle supraconductrice. Le SQUID est ainsi un circuit quantique contrˆ olable.

La troisi` eme partie d´ ecrit dans le d´ etail les ´ etapes communes ` a toutes les exp´ eriences r´ ealis´ ees sur le SQUID (manipulation de l’´ etat du syst` eme ` a l’aide d’impulsions micro- ondes r´ esonantes, mesure de l’´ etat quantique par impulsion de flux dc, r´ einitialisation).

Elle se termine par une justification plus compl` ete de la r´ eduction du nombre de degr´ es de libert´ e effectifs pour un SQUID d’inductance moyenne.

Enfin, l’interpr´ etation pr´ ecise des exp´ eriences n´ ecessite une bonne connaissance des caract´ eristiques du puits de potentiel. Nous disposons pour cela de deux m´ ethodes, une

7

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

analytique et l’autre num´ erique. Leurs pr´ evisions sont compar´ ees dans la derni` ere partie du chapitre.

1.1 Equations dynamiques ´

1.1.1 La jonction Josephson

Il existe plusieurs types de jonction Josephson [35]. Nous nous int´ eressons ici ` a une jonction tunnel sym´ etrique, repr´ esent´ ee sur la figure 1.1. Elle est compos´ ee de deux ´ elec- trodes supraconductrices constitu´ ees d’un mat´ eriau identique, qui sont s´ epar´ ees par une couche d’oxyde dont l’´ epaisseur varie typiquement entre une dizaine et une trentaine de marches atomiques. Pla¸cons-nous tout d’abord au dessus de la temp´ erature critique T

des

´

electrodes. La faible ´ epaisseur de la barri` ere d’oxyde autorise le passage par effet tunnel d’´ electrons d’une ´ electrode ` a l’autre et conduit ` a une r´ esistance tunnel R

. En dessous de T

, dans chaque ´ electrode, les ´ electrons se condensent dans l’´ etat fondamental supracon- ducteur, qui peut ˆ etre vu comme une superposition de paires de Cooper. Fait remarquable, les paires de Cooper peuvent traverser la barri` ere tunnel sans ˆ etre d´ etruites : c’est l’effet Josephson. Si on n´ eglige le courant de quasiparticules, source de dissipation, une JJ peut ˆ

etre compl` etement mod´ elis´ ee par l’association en parall` ele d’une capacit´ e C

et d’un dipˆ ole purement Josephson (figure 1.1).

Electrode supra. 1 barrière

tunnel ϕ

C 0 I

0

I d I

δ ₁ J

δ ₂

ϕ

+(2e)n -(2e)n V J

électrode supra. 1

électrode supra. 2

Fig. 1.1 – La jonction Josephson et son mod` ele ´ electrique.

On note δ

et δ

la phase des condensats supraconducteurs. On d´ efinit la diff´ erence de phase ϕ = δ

− δ

. Le dipˆ ole Josephson rend compte du couplage par effet tunnel des condensats de part et d’autre de la jonction. De mani` ere sch´ ematique, le couplage Josephson tend ` a annuler ϕ en permettant le transfert de paires de Cooper d’une ´ electrode ` a l’autre.

L’intensit´ e du couplage est caract´ eris´ ee par l’´ energie Josephson E

: E

= Φ

2π I

. (1.1)

Φ

= h/2e est le quantum de flux et I

correspond au courant critique de la jonction. Il s’identifie au courant maximal de paires de Cooper pouvant traverser la jonction lorsque

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

1.1 ´ Equations dynamiques 9

ϕ est parfaitement fix´ ee. I

est reli´ e ` a R

par la relation d’Ambegaokar-Baratov [36, 37] : I

R

= π∆

2e , (1.2)

∆ ´ etant le gap BCS du mat´ eriau supraconducteur.

La capacit´ e rend compte du coˆ ut ´ electrostatique du passage d’une paire de Cooper d’une armature ` a l’autre. Si on part de l’´ equilibre ´ electrostatique, un tel transfert demande l’´ energie de charge E

:

E

= (2e)

/2C

. (1.3)

Dans une description quantique, on introduit les op´ erateurs ϕ b et b n qui mesurent res- pectivement la diff´ erence de phase entre les condensats supraconducteurs et le nombre de paires de Cooper sur une armature en exc` es par rapport ` a l’´ equilibre ´ electrostatique. ϕ b et b n sont deux variables conjugu´ ees qui satisfont la relation de commutation et la relation d’incertitude associ´ ee [35] :

ϕ, b n b

= i (1.4)

∆ϕ∆n ≥ 1

2 . (1.5)

Pour d´ ecrire l’´ etat quantique de la JJ, on a ainsi le choix entre deux repr´ esentations : phase et charge. Le choix le plus pertinent d´ epend du rapport E

/E

. Si E

E

, k

T , les fluctuations de charges ont un coˆ ut ´ energ´ etique tr` es ´ elev´ e par rapport aux fluctuations de phase. En d’autres termes, les fluctuations de charges sont gel´ ees : les ´ etats de la jonc- tion sont des ´ etats quasi-classiques de charge ou de blocage de Coulomb. Inversement, si E

E

, k

T , la phase est bien d´ efinie et les ´ etats de la jonction sont des ´ etats quasi- classiques de phase. Enfin, si E

≈ E

k

T , charge et phase fluctuent. Le tableau 1.1 donne les ´ energies caract´ eristiques E

et E

pour les JJs des deux SQUIDs S

et S

´ etudi´ es.

SQUID I

(µA) C

(fF) E

/k

(K) E

/k

(K)

S

3.028 760 72.2 0.0049

S

1.242 560 29.6 0.0066

Tab. 1.1 – Energie Josephson et ´ ´ energie de charge des JJs des SQUIDs S

et S

. Les fluctuations de phase sont ici n´ egligeables devant les fluctuations de charge. La repr´ esentation ”phase” est ainsi le choix le plus naturel pour d´ ecrire l’´ etat du syst` eme.

Dans la suite, nous adoptons une d´ emarche semi-classique. On traite ϕ comme une variable classique et les JJ comme des dipˆ oles soumis aux lois de l’´ electrocin´ etique (loi des mailles et conservation du courant). Le dipˆ ole Josephson est parcouru par un courant de paires de Cooper I

reli´ e ` a ϕ par la premi` ere ´ equation Josephson [38] :

I

= I

sin ϕ. (1.6)

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

La seconde ´ equation Josephson [38] fait le lien entre les fluctuations de phase et la tension V

` a travers la jonction :

V

= Φ

2π

˙

ϕ. (1.7)

La capacit´ e est parcourue par un courant de d´ eplacement I

reli´ e ` a ϕ par : I

= C

Φ

2π

¨

ϕ. (1.8)

1.1.2 Dynamique de phase d’une JJ unique - Analogie m´ ecanique

En utilisant les lois de l’´ electrocin´ etique, nous ´ etablissons dans ce paragraphe l’´ equation qui r´ egit la dynamique classique de phase ϕ d’une JJ. La loi de conservation du courant nous donne :

I

= I

+ I

. (1.9)

En exprimant I

et I

en fonction de la diff´ erence de phase ϕ grˆ ace aux expressions (1.6) et (1.8), on trouve que la relation pr´ ec´ edente se met sous la forme :

m ϕ ¨ = −∂

U(ϕ), (1.10)

Ainsi la dynamique de la phase ϕ est analogue ` a un probl` eme de m´ ecanique. Formellement, le probl` eme se ram` ene ` a l’´ etude de la dynamique d’une particule fictive de masse m = C

, dont la position est rep´ er´ ee par la coordonn´ ee ϕ et qui se d´ eplace dans un espace

`

a une dimension o` u r` egne un potentiel U (ϕ) donn´ e par [39, 40] : U(ϕ) = −E

cos ϕ + I

I

ϕ

. (1.11)

-I p /I

0

U(ϕ)/E _J

2 π ϕ

Fig. 1.2 – Potentiel en tˆ ole ondul´ ee.

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

1.1 ´ Equations dynamiques 11

Ce potentiel, dessin´ e sur la figure 1.2, pr´ esente une forme de tˆ ole ondul´ ee avec une pente moyenne qui est gouvern´ ee par le rapport −I

/I

. Lorsque I

< I

, le potentiel pr´ esente des minima locaux r´ eguli` erement espac´ es de 2π qui peuvent pi´ eger la particule. Lorsque I

d´ epasse la valeur critique I

, ces minima disparaissent. Nous reviendrons plus tard sur les diff´ erents ´ etats de phases possibles dans ce type de potentiel. Nous allons ´ etablir par la mˆ eme m´ ethode l’´ equation qui gouverne la dynamique de phase du SQUID. Cette derni` ere est ´ egalement reli´ ee ` a une analogie m´ ecanique, plus complexe que dans le cas de la JJ.

1.1.3 Mod` ele ´ electrique du SQUID dc

Le sch´ ema ´ electrique du SQUID dc est repr´ esent´ e sur la figure 1.3. Il est constitu´ e de deux JJ, not´ ees 1 et 2, coupl´ ees au sein d’une boucle supraconductrice. On appelle respec- tivement ϕ

et ϕ

les diff´ erences de phase ` a travers les jonctions 1 et 2. A priori, chacune de ces jonctions est caract´ eris´ ee par son courant critique et sa capacit´ e. En pratique, nous avons utilis´ e des jonctions de grande surface (∼ 15 µm

) r´ ealis´ ees en mˆ eme temps. On peut donc l´ egitimement supposer que les capacit´ es des deux JJ sont identiques et on note C

la valeur commune. Concernant une ´ eventuelle asym´ etrie des courants critiques, des mesures tr` es r´ ecentes montrent qu’elle est de l’ordre de quelques pourcents. Elle sera n´ eglig´ ee dans la suite et on note I

le courant critique d’une jonction. La boucle du SQUID poss` ede une auto-inductance L

. Chacun des bras est caract´ eris´ e par son auto-inductance, respective- ment L

et L

. L’interaction magn´ etique entre les deux bras est donn´ ee par le coefficient de mutuelle M . On caract´ erise la dissym´ etrie d’inductance par le param` etre η = (L

−L

)/L

. Cette asym´ etrie a une origine purement g´ eom´ etrique : les deux bras du SQUID n’ont pas la mˆ eme longueur. η est en pratique de l’ordre de 40% et domine largement l’asym´ etrie en courant critique.

I 0

ϕ ₂ I 0

L 2

ϕ ₁

L 1

Φ _p I p

V

I 1 I

2

M

C 0 C

0

Fig. 1.3 – Mod` ele ´ electrique du SQUID dc.

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

Le circuit est polaris´ e par un courant I

constant qui se scinde en deux au niveau de la boucle. On note respectivement I

et I

les courants qui traversent les bras 1 et 2.

On applique un flux de polarisation Φ

` a travers la boucle supraconductrice. ` A cause des ph´ enom` enes d’´ ecrantage, le flux total Φ

qui traverse la boucle est diff´ erent de Φ

. Il est commode d’introduire le courant d’´ ecrantage J (ϕ

, ϕ

) d´ efini de telle sorte que

I

= I

/2 − J(ϕ

, ϕ

)

I

= I

/2 + J(ϕ

, ϕ

). (1.12) Comme nous le verrons dans le paragraphe suivant, l’origine physique de ces courants d’´ ecrantage est double. Une premi` ere contribution est donn´ ee par les supercourants qui s’ajustent pour satisfaire la quantification du fluxo¨ıde dans la boucle et l’autre est li´ee ` a l’inductance du SQUID.

1.1.4 Equations dynamiques du SQUID - Analogie m´ ´ ecanique

Ce paragraphe r´ esume les calculs de la r´ ef´ erence [41] qui aboutissent aux ´ equations clas- siques gouvernant l’´ evolution temporelle des phases ϕ

et ϕ

. En utilisant la caract´ eristique intensit´ e - phase du dipˆ ole Josephson et celle des capacit´ es, donn´ ees respectivement par (1.6) et (1.8), ainsi que les lois de l’´ electrostatique, on obtient le syst` eme coupl´ e :



 

  C

Φ

2π ϕ ¨

= 1

2 I

− I

sin ϕ

− J(ϕ

, ϕ

) C

Φ

2π ϕ ¨

= 1

2 I

− I

sin ϕ

+ J(ϕ

, ϕ

).

(1.13)

Ainsi, le couplage entre les jonctions 1 et 2 se fait par l’interm´ ediaire des courants d’´ ecran- tage qui circulent le long de la boucle. Il s’agit maintenant d’exprimer J(ϕ

, ϕ

) en fonction des param` etres de polarisation I

et Φ

.

Expression du courant d’´ ecrantage. La quantification du fluxo¨ıde pi´eg´e dans la boucle supraconductrice impose la condition sur les phases :

ϕ

− ϕ

= 2π Φ

Φ

. (1.14)

D’apr` es le principe de superposition, le flux total Φ

qui traverse la boucle est la somme de trois termes : le flux ext´ erieur appliqu´ e Φ

, auquel s’ajoutent les contributions de chacun des deux bras. Une analyse d´ etaill´ ee de ces contributions montre que Φ

se met sous la forme :

Φ

= Φ

+ L

J + 1

2 ηL

I

. (1.15)

En reportant l’expression (1.14) dans la relation (1.15), on d´ eduit le courant d’´ ecrantage en fonction des phases ϕ

et ϕ

, ainsi que des param` etres de polarisation :

J(ϕ

, ϕ

) = bI

ϕ

− ϕ

− 2π Φ

Φ

− η

2 I

. (1.16)

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

1.1 ´ Equations dynamiques 13

Le param` etre adimensionn´ e b compare l’inductance de la boucle ` a celle d’une jonction et s’´ ecrit b = Φ

/(2πL

I

).

Analogie m´ ecanique. En substituant l’expression de J (ϕ

, ϕ

) donn´ ee par (1.16) dans le syst` eme (1.13) et en introduisant les variables x et y d´ efinies par :

x = ϕ

+ ϕ

2 y = ϕ

− ϕ

2 ,

(1.17)

les ´ equations dynamiques prennent une forme analogue ` a un probl` eme de m´ ecanique [42] : ( m x ¨ = −∂

U(x, y)

m y ¨ = −∂

U (x, y). (1.18)

La dynamique des phases x et y est identique ` a celle d’une particule fictive ` a deux degr´ es de libert´ e, de masse m = 2C

. Sa position est rep´ er´ ee par les coordonn´ ees (x, y) et elle se d´ eplace sur une surface de potentiel U (x, y) s’´ ecrivant :

U(x, y) = U

−sx − cos x cos y − ηsy + b(y − y

)

. (1.19)

L’´ echelle d’´ energie caract´ eristique U

du potentiel est l’´ energie Josephson totale du SQUID, soit U

= 2E

avec E

l’´ energie Josephson d’une jonction, donn´ ee par la relation (1.1). La forme du potentiel est gouvern´ ee par les param` etres de construction du SQUID b et η. Elle d´ epend ´ egalement du point de polarisation (I

, Φ

) par l’interm´ ediaire des param` etres de polarisation r´ eduits : s = I

/2I

et y

= π(Φ

/Φ

). Le tableau suivant r´ esume les ´ el´ ements gouvernant la dynamique du SQUID en la comparant ` a celle d’une jonction Josephson unique.

Jonction Josephson SQUID

Masse de la particule fictive C

2C

Nombre de degr´ es de libert´ e 1 2

Coordonn´ ee(s) de la particule ϕ

x = (ϕ

+ ϕ

)/2 y = (ϕ

− ϕ

)/2 Forme du potentiel U (ϕ) = −E

cos ϕ +

0

ϕ

U (x, y)

Param` etres de contrˆ ole I

I

et Φ

Tab. 1.2 – Comparaison entre une JJ et un SQUID.

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

1.2 Dynamique de phase du SQUID dc

L’analogie m´ ecanique introduite ` a la partie pr´ ec´ edente permet de discuter la dynamique de phase du SQUID. L’examen de l’allure du potentiel du SQUID donne beaucoup d’in- formations sur la dynamique de phase de ce syst` eme.

1.2.1 Inductance et nombre de degr´ es de libert´ e effectifs

Le SQUID est un syst` eme qui poss` ede intrins` equement deux degr´ es de libert´ e. Sont-ils toujours n´ ecessaires dans la description de la dynamique de phase ? Nous donnons ici une r´ eponse qualitative en consid´ erant l’allure de la surface de potentiel U (x, y), repr´ esent´ e sur la figure 1.4. En moyenne, U(x, y) d´ ecroˆıt lin´ eairement suivant l’axe des (x) avec une pente −s directement proportionnelle au courant de polarisation. Toujours en moyenne, le potentiel est quadratique suivant l’axe des (y). Le fond de la parabole se situe ` a y = y

et sa courbure est donn´ ee par le param` etre de couplage b. Ce param` etre contrˆ ole le caract` ere bidimensionnel du probl` eme. En effet, plus la courbure est faible, et plus y est libre de fluctuer autour de y

, ce qui revient ` a dire que les phases ϕ

et ϕ

peuvent fluctuer l’une par rapport ` a l’autre.

Lorsque l’inductance du SQUID est tr` es faible (b 1), la courbure du potentiel le long de (y) est si forte que la particule reste confin´ ee en fond de puits. La diff´ erence de phase ϕ

− ϕ

reste constante, fix´ ee ` a 2y

. Un seul degr´ e de libert´ e est alors suffisant pour d´ ecrire le SQUID (par exemple ϕ

). Le potentiel dans lequel se d´ eplace la particule fictive se r´ eduit

` a :

U (ϕ

) = − Φ

2π I

cos ϕ

+ I

I

ϕ

. (1.20)

Le SQUID se comporte alors exactement comme une jonction Josephson de capacit´ e 2C

dont le courant critique I

est modul´ e par le flux magn´ etique appliqu´ e selon :

I

(Φ

) = 2I

|cos(πΦ

/Φ

)| . (1.21) Dans le cas contraire (b 1), la courbure le long de (y) est faible. Les fluctuations de ϕ

par rapport ` a ϕ

sont importantes. La dynamique de phase dans ce r´ egime de couplage est bidimensionnelle et son ´ etude est un probl` eme complexe.

Les SQUIDs ´ etudi´ es dans cette th` ese ont en fait un comportement interm´ ediaire. Le param` etre b des circuits S

et S

est de l’ordre de l’unit´ e. Nous verrons dans la partie suivante que dans ce cas, un seul degr´ e de libert´ e est suffisant pour d´ ecrire la dynamique du syst` eme. Par contre, le potentiel unidimensionnel dans lequel se d´ eplace la particule fictive n’est pas simplement celui d’une JJ et porte une trace du caract` ere 2D du potentiel initial.

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

1.2 Dynamique de phase du SQUID dc 15

−8

−3 2

7 −8 −4 0 4 8

−4 1 6 11

U/U 0

x

y

Fig. 1.4 – Forme de la surface de potentiel au point de polarisation s = 0.3, y

= 0 (param` etres du SQUID : b = 0.2, η = 0).

1.2.2 Etats supraconducteurs - Diagramme critique ´

Etats supraconducteurs. ´ Les termes en cosinus pr´ esents dans l’expression de U (x, y) sont responsables d’une modulation spatiale du potentiel. Si la pente n’est pas trop impor- tante, cette modulation est suffisante pour que la surface de potentiel pr´ esente une s´ erie de minima locaux r´ eguli` erement espac´ es. On peut classer ces minima par familles de puits localement ´ equivalents. Imaginons que la particule fictive soit pi´ eg´ ee dans un de ces puits.

Les phases ϕ

et ϕ

oscillent alors autour d’une valeur moyenne. D’apr` es la seconde ´ equa- tion Josephson (1.7), la tension moyenne

V

aux bornes du SQUID est nulle. Les ´ etats pi´ eg´ es de la particule correspondent ainsi ` a des ´ etats supraconducteurs. On peut associer

`

a chaque famille de puits le nombre [f] de quanta de flux pi´ eg´ es dans la boucle du SQUID.

Les chemins les moins coˆ uteux en ´ energie pour passer d’un puits ` a l’autre empruntent un col. De mani` ere g´ en´ erale, plus la pente −s augmente, moins les puits sont profonds. Pour une famille de puits [f] donn´ ee, on d´ efinit la pente critique s

[f] et le courant critique I

[f ] associ´ e qui correspondent ` a la disparition du minimum local.

(1)

Les oscillations Josephson sont trop rapides (fr´ equence de 10 GHz ou plus) pour ˆ etre d´ etect´ ees par des mesures de tension standard (bande passante des lignes de notre dispositif : 500 kHz). V

(t) correspond ` a la tension mesur´ ee grˆ ace au dispositif exp´ erimental.

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

Diagramme critique. Le calcul du courant critique I

[f] associ´ e ` a la famille de puits de potentiel [f ] permet d’´ etablir le domaine d’existence de l’´ etat supraconducteur [f ] dans le plan de polarisation (I

, Φ

). Comme nous l’avons vu au paragraphe pr´ ec´ edent, I

[f ] est d´ efini par un crit` ere purement g´ eom´ etrique : c’est le courant de polarisation qui correspond

`

a la disparition du minimum local. A ce point particulier, le minimum en question et le(s) col(s) voisin(s) fusionnent.

Les extrema sur la surface de potentiel U (x, y ) sont caract´ eris´ es par la condition : ( ∂

U = 0

∂

U = 0. (1.22)

Leur position d´ epend de s et y

ainsi que des param` etres de construction du SQUID (I

, b et η). Au courant critique s

, un minimum fusionne avec le point col voisin aux cordonn´ ees (x

, y

). La courbure le long de la direction (minimum-col) s’annule tandis qu’elle reste positive le long de la direction transverse. Ceci impose la condition :

( ∂

U · ∂

U − (∂

∂

U )

= 0

∂

U + ∂

U ≥ 0. (1.23)

Les syst` emes (1.22) et (1.23) forment le syst` eme ferm´ e qui doit ˆ etre r´ esolu num´ eriquement :



 

 

sin x

cos y

− s

= 0

cos x

sin y

− ηs

+ 2b(y

− y

) = 0

( cos x

cos y

)(cos x

cos y

+ 2b) − (sin x

sin y

)

= 0.

(1.24)

En g´ en´ eral, le syst` eme pr´ ec´ edent admet plusieurs familles de solutions. On fait le lien entre une famille de solutions et une famille de puits [f] en remarquant que s

[f ] = 1 au voi- sinage de Φ

/Φ

= f . Les courants critiques d´ ependent des param` etres de construction (I

, b et η) et sont fortement modul´ es par le flux de polarisation. Pour obtenir toutes les solu- tions, il suffit en fait de calculer la branche critique s

[0] > 0 en fonction de Φ

. La branche s

[0] < 0 s’en d´ eduit par une sym´ etrie centrale par rapport au point (s = 0, Φ

= 0).

Les lignes critiques associ´ ees aux valeurs de f non nulles sont donn´ ees par la condition de p´ eriodicit´ e : s

[f ](Φ

) = s

[0](Φ

− f Φ

).

Le trac´ e des courbes I

[f ](Φ

) dans le plan de polarisation (I

, Φ

) constitue le dia- gramme critique du SQUID, repr´ esent´ e sur la figure 1.5 pour le circuit S

. Il peut ˆ etre interpr´ et´ e comme un v´ eritable diagramme de phase. Le domaine d’existence de l’´ etat supra- conducteur [f] est d´ elimit´ e par la fronti` ere I

[f]. Plusieurs ´ etats supraconducteurs peuvent coexister. De mani` ere g´ en´ erale, plus le point de polarisation est loin d’une fronti` ere critique, plus les puits correspondants sont profonds.

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

1.2 Dynamique de phase du SQUID dc 17

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1 -0.5 0 0.5 1

C o u ra n t d e p o la ri sa ti o n : I p ( µ A )

Flux magnétique réduit : Φ

p /Φ

0

[0]

[1]

[-1]

[-1;0] [0;1]

I c [0]

I c [1]

I c [-1]

Fig. 1.5 – Diagramme critique du SQUID S

(calcul´ e num´ eriquement). Le nombre entre crochets [f ] d´ esigne le nombre f de quantum de flux pi´ eg´ es, lui-mˆ eme associ´ e ` a une famille de puits ´ equivalents sur la surface de potentiel. Le domaine d’existence de la famille de puits [f] est d´ elimit´ e par la fronti` ere critique I

[f ]. Plusieurs familles de puits peuvent coexister.

Dans cette th` ese, nous travaillerons avec la partie sup´ erieure du diagramme (I

≥ 0).

1.2.3 Etat r´ ´ esistif - hyst´ er´ esis

Pour simplifier la discussion, nous supposons qu’une seule famille de puits de potentiel [f] existe. La particule fictive est initialement pi´ eg´ ee dans un puits de potentiel. Lorsque I

se rapproche du courant critique I

[f], la profondeur du puits diminue. La particule fictive peut alors s’´ echapper du puits par effet tunnel ou grˆ ace aux fluctuations thermiques (cf chap. 3). Elle commence ` a d´ evaler la surface de potentiel suivant la direction des (x) et arrive au niveau du puits suivant. Deux situations sont alors possibles, d´ ependant de l’importance des frottements compar´ ee ` a l’´ energie cin´ etique accumul´ ee par la particule.

Si les frottements sont les plus forts, la particule se repi´ ege dans le puits de potentiel.

Suite ` a l’action des fluctuations, elle finit par s’en ´ echapper pour ˆ etre pi´ eg´ ee dans le puits suivant et le processus se poursuit. La dynamique de phase est alors diffusive. En moyenne, les phases ϕ

et ϕ

augmentent de mani` ere monotone dans le temps. En vertu de la seconde

´

equation Josephson, ceci se traduit par l’apparition d’une tension moyenne V

non nulle aux bornes du SQUID.

Les SQUIDs ´ etudi´ es dans la th` ese sont dans l’autre limite. Les frottements sont faibles (on dit que le SQUID est sous-amorti) et la particule a accumul´ e trop d’´ energie cin´ etique pour ˆ etre repi´ eg´ ee. Elle d´ evale la surface de potentiel en prenant de la vitesse. Elle finit par atteindre une vitesse limite ` a laquelle est associ´ ee la tension V

= 2∆/e aux bornes du SQUID. Cette situation correspond ` a un ´ etat r´ esistif.

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006

-10 -5 0 5 10

-500 -250 0 250 500

I p ( µ A )

Tension moyenne : V

s ( µ V) 2 ∆

échappement

repiégeage I

Fig. 1.6 – Caract´ eristique Intensit´ e-Tension typique d’un SQUID hyst´ er´ etique.

Si maintenant on part de l’´ etat r´ esistif et que l’on diminue le courant de polarisation, la particule ne se repi´ ege pas lorsque I

passe l´ eg` erement en dessous de I

[f ]. Il y a hys- t´ er´ esis, comme on peut le constater sur la figure 1.6 qui pr´ esente une caract´ eristique I

-V

du SQUID. La particule se repi´ ege pour un courant inf´ erieur au courant de repi´ egeage I

. Consid´ erons le passage d’un puits de potentiel au suivant. Le courant de repi´ egeage cor- respond ` a l’´ equilibre entre l’action des forces de friction et l’´ energie cin´ etique accumul´ ee.

Pour les SQUIDs consid´ er´ es, I

est de l’ordre de quelques nanoamp` eres. Ceci signifie que tant que le courant est maintenu au-dessus de I

, l’´ etat r´ esistif est stable. Cette propri´ et´ e importante sera mise ` a profit dans la mesure de l’´ etat quantique du SQUID.

1.3 Le SQUID : un circuit quantique contrˆ olable

Cette partie montre que le SQUID est un circuit quantique contrˆ olable. Elle donne le principe de la manipulation de l’´ etat quantique du circuit, ainsi que la mesure de cet ´ etat.

Nous commen¸cons par admettre qu’une seule variable de phase est suffisante pour d´ ecrire la dynamique du circuit. Cette affirmation est justifi´ ee dans les deux derniers paragraphes de cette partie.

1.3.1 Manipulation et mesure de l’´ etat quantique du SQUID

On s’int´ eresse ` a un ´ etat supraconducteur : la particule fictive d´ ecrivant l’´ etat de phase du SQUID est pi´ eg´ ee dans un puits de potentiel. Lorsque l’inductance L

de la boucle n’est pas trop importante (b ∼ 1), nous montrerons dans la suite du chapitre qu’un seul degr´ e de libert´ e est suffisant pour d´ ecrire la dynamique du SQUID. De mani` ere sch´ ematique, la

tel-00011407, version 1 - 18 Jan 2006