EXERCICE 4 1 a)

(1)

EXERCICE 4

1 a)

α

²

− 4α + 8 = (1 + i √

3)

²

− 4(1 + i √

3) + 8 = (1 + 2i √

3 − 3) − 4 − 4i √

3 + 8 = 2 − 2i √ 3

= 2(1 − i √

3) = 2α, et donc

α

²

− 4α = 2α − 8.

b) Le cercle ( C ) est le cercle de centre O et de rayon 2. Or OB = |α| =

!

1

²

+ " √ 3 #

²

= √

4 = 2 puis OC = |α| = |α| = 2.

Donc

les points B et C appartiennent au cercle ( C ).

2 a) Le point E est le point du cercle ( C ) tel que le triangle ODE soit équilatéral direct.

O

A B

C D

E

F

G

b) L’expression complexe de la rotation de centre O et d’angle π 3 est z

^!

= e

^iπ/3

z = "

cos " π 3

# + i sin " π 3

## z =

$ 1

2 + i

√ 3 2

% z = α

2 z.

En particulier, z

E

= z

_D^!

= α

2 z

D

= α

2 × 2e

^iθ

= αe

^iθ

.

z

E

= αe

^iθ

.

3) a) z

F

= z

B

+ z

D

2 = α + 2e

^iθ

2 = α

2 + e

^iθ

.

z

F

= α 2 + e

^iθ

.

b) Tout d’abord, F # = A. En effet, si le milieu F de la corde [BD] est le point A, en particulier, le milieu F de la corde [BD]

est sur le cercle c ce qui impose B = D = F # = A. Donc, si F = A, on obtient une contradiction. Ensuite,

http ://www.maths-france.fr 6 ! c Jean-Louis Rouget, 2010. Tous droits réservés.

(2)

z

G

− 2 z

F

− 2 =

αe

^iθ

+ α 2 − 2 α

2 + e

^iθ

− 2

= αe

^iθ

+ α − 4

α + 2e

^iθ

− 4 = 2αe

^iθ

+ 2α − 8 2(α + 2e

^iθ

− 4)

= 2αe

^iθ

+ α

²

− 4α

2(α + 2e

^iθ

− 4) (d’après la question 1)a))

= α(2e

^iθ

+ α − 4) 2(α + 2e

^iθ

− 4) = α

2 .

z

G

− 2 z

F

− 2 = α

2 . AG

AF = |z

G

− 2|

|z

F

− 2| =

!

! z

G

− 2

z

F

− 2

!

= |α|

2 = 2

2 = 1. Donc, AG = AF et le triangle AFG est isocèle en A. De plus,

" − → AF, − →

AG #

= arg

$ z

G

− 2 z

F

− 2

%

= arg " α 2

# = arg

&

1 2 + i

√ 3 2

'

= arg "

cos " π 3

# + i sin " π 3

##

= π 3 [2π].

En résumé, le triangle AFG est isocèle en A et " − AF, → − AG → #

= π

3 [2π] et donc le triangle AFG est équilatéral.

4) Tout d’abord, AF est minimal si et seulement si AF

²

est minimal avec AF

²

= f(θ).

Ensuite, f "

− π 6

# = 4 − 3

& √ 3 2

' + √

3 $

− 1 2

%

= 4 − 2 √

3 et f(π) = 4 − 3(−1) + 0 = 7 ce qui permet de compléter le tableau de variation.

x −π − π

6 5π

6 π

f

4 − 2 √

3 7

Ce tableau de variation montre que la fonction f admet un minimum (ce qui valide la conjecture) en x = − π

6 et que ce minimum vaut 4 − 2 √

3. La valeur minimale de AF est ( 4 − 2 √