MODOU DIOUF Tous droits réservés Page 1
LLEEÇÇOONN NN°° 11 :: CCIINNEEMMAATTIIQQUUEE DDUU PPOOIINNTT MMAATTEERRIIEELL Durée : 06h Classe : T°S INTRODUCTION
La cinématique du point matériel est la physique qui étudie le mouvement du point matériel sans se préoccuper de ses causes. Elle est construite autour des « éléments cinématiques » suivants : position, trajectoire, vitesse (ou impulsion) et accélération. Outre les repérages spatial et temporel, des informations sur la façon dont est parcourue la trajectoire sont déduites.
Cette leçon comporte quatre (04) paragraphes.
1. RAPPELS SUR LES GENERALITES SUR LA CINEMATIQUE 1.1. NOTION DE MOBILE
Le point matériel est un objet dont les dimensions sont extrêmement petites par rapport à sa distance d’observation. Un point matériel en mouvement est appelé mobile. Dans le cours du Lycée, les solides seront assimilés à des points matériels.
1.2. NOTION DE MOUVEMENT 1.2.1. DEFINITION
Un point matériel est en mouvement lorsque sa position varie dans le temps et dans l’espace.
1.2.2. RELATIVITE DU MOUVEMENT
Considérons une mouche, assimilable à un point, qui reste "collée" au plafond d'une voiture qui avance sur une route rectiligne horizontale à la vitesse constante V = 20 m/s.
La trajectoire de la mouche par rapport au solide Terre est une droite. Par rapport à la Terre, le vecteur vitesse V⃗⃗ de la mouche est constant, sa norme a pour valeur V = 20 m/s.
La trajectoire de la mouche par rapport au solide Voiture est un point immobile. Par rapport au solide voiture la vitesse de la mouche est V' = 0 m/s puisqu'elle reste "collée" au plafond.
Cet exemple montre que le mouvement est relatif et qu'il faut toujours préciser le référentiel par rapport auquel on étudie le mouvement d'un mobile.
Remarque : Si la mouche se met à voler dans la voiture son mouvement par rapport au référentiel "Terre" sera très différent de son mouvement par rapport au référentiel "voiture".
1.3. NOTION DE REFERENTIEL.
1.3.1. DEFINITION
Un référentiel est un solide. Il est déterminé par la donnée de quatre points non coplanaires. On prend souvent un solide très concret comme la Terre (référentiel du laboratoire ou référentiel terrestre).
1.3.2. REFERENTIEL TERRESTRE DU LABORATOIRE
Le référentiel terrestre ou de laboratoire est un référentiel d’espace dont l’origine est un point de la terre et les trois(03) axes sont orientés vers trois (03) points fixes au voisinage de la terre.
Dans les exercices de la classe de Terminale S (Exemples : pendule simple, ressort, chute d’un corps..), on utilise souvent le référentiel terrestre.
1.3.3. REFERENTIEL HELIOCENTRIQUE
Le référentiel Héliocentrique (de Copernic ou de Kepler) (solide formé par les centres du soleil et de trois autres étoiles, les 4 points n'étant pas coplanaires) est utilisé pour étudier les voyages interplanétaires (Terre → Mars par exemple) ou pour étudier le mouvement des Planètes autour du Soleil.
Figure 1 : référentielhéliocentrique
MODOU DIOUF Tous droits réservés Page 2
1.3.4. REFERENTIEL GEOCENTRIQUELe référentiel Géocentrique(ou de Coriolis) (solide formé par le centre de la Terre et trois étoiles ponctuelles, les 4 points n'étant pas dans un même plan) est utilisé pour étudier le mouvement des satellites terrestres.
Remarque : Par analogie, on peut définir d’autres référentiels (Uranocentrique, Mercurocentrique, …)
1.3.5. REFERENTIEL GALILEEN
Un référentiel Galiléen est un référentiel dans lequel le principe de l’inertie est vérifié. Tous les théorèmes généraux y trouvent leur justification.
Cependant le référentiel Galiléen absolument parfait n’existe pas mais les référentiels ci-dessus sont considérés(ou supposés) comme étant Galiléens pour la plupart des problèmes de la vie courante étudiés en classe terminale.
Remarque : Tous les référentiels en mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel Galiléen sont eux-mêmes Galiléens.
Exercice proposé :
Dans les trois référentiels ci-dessus (Héliocentrique, Géocentrique, terrestre) lequel se rapproche le plus du référentiel Galiléen parfait ?
Quelle est la trajectoire du centre de la Terre dans ces trois référentiels ? Décrire brièvement la trajectoire de Paris, assimilée à un point, dans les trois référentiels ci-dessus.
1.4. NOTION DE TRAJECTOIRE
La trajectoire d’un point matériel est l’ensemble des positions occupées successivement par ce point au cours du temps. Elle dépend du référentiel choisi.
Il existe plusieurs types de trajectoire :
mouvement rectiligne : la trajectoire est une droite.
mouvement circulaire : la trajectoire est un arc de cercle ou un cercle.
mouvement curviligne : la trajectoire est une courbe quelconque, plane ou non.
Exemples :
La trajectoire est une droite la trajectoire est une courbe quelconque 2. GRANDEURS CINEMATIQUES
Pour décrire le mouvement d’un mobile il faut pouvoir préciser sa position à tout instant. Nous sommes donc amenés à définir un référentiel auquel on associe un repère d’espace et une horloge permettant de mesurer le temps.
2.1. REPERES D’ESPACE ET SYSTEMES DE COORDONNEES 2.1.1. COORDONNEES CARTESIENNES
A. EN TROIS DIMENSIONS
C’est le repère ℛ (O,i , j , k⃗ ), O est l’origine du repère et les vecteurs i , j et k⃗
sont unitaires. Il est constitué de trois axes (Ox), (Oy), (Oz) orthogonales.
Le triplet de réels (x, y, z) appelé les coordonnées cartésiennes de M dans le repère ℛ (O, i , j , k⃗ ) est uniquement déterminé par la position du point M.
le réel x s'appelle l'abscisse.
le réel y s'appelle l'ordonnée ou la profondeur.
le réel z s'appelle la côte ou la hauteur.
Les coordonnées du point M étant celles du vecteur OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = xi + yj + zk⃗
Figure 2 : référentielgéocentrique
MODOU DIOUF Tous droits réservés Page 3
Les trois plans (Oxy), (Oxz) et (Oyz) constituent les plans de bases du repère.La distance OM s'écrira alors: ‖OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √x2+ y2+ z2 Démonstration : utiliser le produit scalaire OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Remarque : Dans un même référentiel donné il est possible de tracer une infinité de repères orthonormés différents ℛ (O, i , j , k⃗ ). On choisit celui qui est le mieux adapté au problème posé.
Exemple : ℛ’(O’, i ’, j ’, k⃗ ’). O′M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x’ i + y’ j + z’k⃗ , ( x’, y’, z’) ≠ (x, y, z).
B. EN DEUX DIMENSIONS
C’est le repère R (O,i ,j ), O est l’origine du repère et les vecteurs i et j sont unitaires.
Il est constitué de deux axes (Ox), (Oy) orthogonales.
Le doublet de réels (x, y) est uniquement déterminé par la position du point M. Il s'appelle les coordonnées
(cartésiennes) de M dans le repère ℛ (O,i ,j ):
Le réel x est appelé l'abscisse de M.
Le réel y est appelé l'ordonnée de M.
Les coordonnées du point M étant celles du vecteur OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x i + y j La distance OM s'écrira alors : ‖OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √x2+ y2
Démonstration : utiliser le produit scalaire OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C. EN UNE DIMENSION
C’est le repèreℛ (O, i ), O est l’origine du repère et le vecteur i est unitaire. Il est constitué d’un axe (Ox).
Le réel x, uniquement déterminé par la position du point M, est l'abscisse de M dans le repère ℛ (O, i ).
Les coordonnées du point M étant celles du vecteur OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x i
La distance OM s'écrira alors: OM = |x|. Démonstration : utiliser le produit scalaire OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2.1.2. COORDONNEES POLAIRES
Il s’agit d’un système bidimensionnel, chaque point est déterminé par les coordonnées polaires, sont la coordonnée radiale
(souvent notée r ou ρ, et appelée rayon) et la coordonnée angulaire (également appelée angle polaire ou azimut, et souvent notée t ou θ).
Dans la base (O, u⃗ ρ,u⃗ θ) OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ρu⃗ ρ avec u⃗ ρ = cosθe⃗ x + sinθe⃗ y.
La coordonnée radiale exprime la distance du point à un point central appelé pôle (équivalent à l’origine des coordonnées cartésiennes).
La coordonnée angulaire exprime la mesure, dans le sens trigonométrique (sens positif), de l’angle entre le point et la demi-droite d’angle 0°, appelé axe polaire (équivalent à l’axe des abscisses en coordonnées cartésiennes).
Ce système est particulièrement utile dans les situations où la relation entre deux points est plus facile à exprimer en termes d’angle et de distance, voir par exemple le pendule.
RELATION ENTRE SYSTEMES POLAIRE ET CARTESIEN Les deux coordonnées polaires ρ et θ peuvent être converties en coordonnées cartésiennes x et y en utilisant les fonctions trigonométriques sinus et cosinus :
x =
ρcosθ =
rcosθ y =
ρsinθ =
rsinθ
Figure 3 : Coordonnées polaires
MODOU DIOUF Tous droits réservés Page 4
2.1.3. COORDONNEES CYLYNDRIQUESLe système de coordonnées cylindriques est un système de coordonnées qui étend le système de coordonnées polaires à deux dimensions en y ajoutant une troisième dimension qui mesure la hauteur d'un point par rapport au plan repéré par les coordonnées polaires ; de la même manière que l'on étend le système de coordonnées cartésiennes de deux à trois dimensions. La troisième coordonnée est souvent notée h ou z.
Dans la base (O, e⃗ ρ, e⃗ θ, e⃗ z) OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ρe⃗ ρ + ze⃗ z avec e⃗ ρ = cosθe⃗ x + sinθe⃗ y.
RELATION ENTRE SYSTEMES CYLINDRIQUE ET CARTESIEN
Les trois coordonnées cylindriques peuvent être converties en coordonnées cartésiennes par:
2.1.4. COORDONNEES SPHERIQUES En physique, on utilise le plus souvent les coordonnées (r, θ, φ), où r désigne la distance du point au pôle, θ est l'angle depuis l'axe des z (appelé colatitude ou zénith, compris entre 0° et 180°) et φ est l'angle depuis l'axe des x (compris, comme dans les coordonnées polaires, entre 0° et 360°). Dans la base (O, e⃗ r, e⃗ θ, e⃗ 𝜑)
OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OM e⃗ r = r e⃗ r avec e⃗ r = cosφe⃗ x + sinφe⃗ y.
RELATION ENTRE SYSTEMES SPHERIQUE ET CARTESIEN
Les trois coordonnées sphériques peuvent être converties en coordonnées cartésiennes par :
2.1.5. REPERE DE FRENET
Cette base est constituée de deux vecteurs unitaires u⃗ T et u⃗ N. Le vecteur unitaire u⃗ T est tangent à la trajectoire plane, au point M où se trouve le mobile. Ce vecteur est orienté arbitrairement (pas nécessairement dans le sens du mouvement).
Le vecteur unitaire u⃗ N est normal à la trajectoire.
Il est orienté vers l'intérieur de la courbe.
En classe terminale nous limiterons l'emploi da la base de Frenet au cas des mouvements circulaires.
Caractéristiques de 𝐮⃗⃗ T Caractéristiques de 𝐮⃗⃗ N
Direction : tangente en M à l’arc Direction : orthogonale à u⃗ T
Sens : celui du mouvement Sens : orienté vers la concavité de la trajectoire Norme : unitaire Norme : unitaire
Les vecteurs unitaires normal u⃗ N et tangentiel u⃗ T constituent la base orthonormale directe, appelée base de Frenet (u⃗ N, u⃗ T).
u⃗ N s'obtient en effectuant une rotation de π2 (quart de tour dans le sens direct) du vecteur u⃗ T. Système de coordonnées
Figure 4 : Coordonnées cylindriques
Figure 6 : Illustration de a⃗ etV⃗⃗
Figure 5 : Coordonnées sphériques
x =
rcosθ y =
rsinθ z = h
x =
rsinθcosφ y =
rsinθsinφ z = rcosθ
MODOU DIOUF Tous droits réservés Page 5
L'abscisse curviligne du mobile est S, SM =M̂0M.L’abscisse angulaire 𝜃 = (OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 0, OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
Cas d’un cercle : S = M̂0M = Rθ et x2 + y2 = R2.
Le trièdre de Frenet est un repère mobile puisque les éléments de ce repère changent selon le point considéré.
Remarque : En physique, il ne faut pas confondre cette notion avec celle de référentiel; puisque les vecteurs de Frenet se déplacent avec le point, s'il s'agissait d'un référentiel alors le vecteur position serait le vecteur nul, et la vitesse serait également nulle.
2.2. REPERE DE TEMPS
L'étude du mouvement d'un mobile nécessite non seulement le choix d'un référentiel auquel on associe un repère mais aussi le choix d'une horloge permettant de mesurer le temps.
Le repère de temps est doté :
D’une origine des dates t = 0.
D’une unité de mesure de temps la seconde s.
D’une horloge pour mesurer la durée des événements.
2.3. NOTION DE VITESSE D'UN POINT DU SOLIDE.
La donnée de la trajectoire d'un point mobile n'est pas suffisante pour connaître le mouvement d'un point mobile. Pour que l'étude soit complète, il faut connaître à chaque instant la position du point mobile, c’est à dire la vitesse.
La vitesse est une grandeur physique qui caractérise la variation du vecteur position au cours du temps.
Le tachymètre (ci-contre) permet de connaître la vitesse à l'instant où on le regarde, c'est-à-dire la vitesse instantanée.
2.3.1. VITESSE MOYENNE D’UN POINT
Dans le référentiel terrestre, la valeur absolue de la vitesse moyenne d'un point mobile est égale au quotient de la distance parcourue ∆l (m)par la durée du parcours ∆t(s) est : |Vmoy|=|∆l∆t|(m/ s)
2.3.2. VITESSE INSTANTANEE D’UN POINT
La vitesse peut souvent varier à chaque instant ; on définit alors la vitesse instantanée.
Dans le référentiel terrestre, la vitesse instantanée v(t) d’un point mobile, à la date t, est pratiquement égale à sa vitesse moyenne calculée pendant un intervalle de temps très court encadrant l’instant t considéré. C'est la vitesse donnée par le tachymètre à l'instant ou on le regarde.
On évalue la valeur absolue de la vitesse instantanée d'un point P à la date t2 en calculant la vitesse moyenne de ce point entre deux dates t1 et t3, aussi proches que possibles, encadrant la date t2 : |V(t)|= |(tP3P1
3−t1)|(en m / s).
Figure 7 : Le tachymètre d’un véhicule
Figure 8 : Mouvement rectiligne Figure 9 : Mouvement curviligne
MODOU DIOUF Tous droits réservés Page 6
2.3.3. VECTEUR VITESSE MOYENNE D’UN POINTA. DEFINITION
Le vecteur vitesse moyenne 𝑉⃗ moy est le déplacement total (changement dans la position) d'un objet pendant un temps écoulé, divisé par ce temps écoulé.
V⃗⃗ moy = M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1M2 t2−t1 = ∆r⃗⃗⃗⃗ ∆t B. CARACTERISTIQUES
Direction : celle du déplacement (celle de M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1M2).
Sens : celui du déplacement (celui de M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1M2).
Intensité : appelée "norme" par le mathématicien, est égale au rapport de la norme du vecteur déplacement sur la durée du déplacement |Vmoy|=|M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |1M2
t2−t1 .
2.3.4. VECTEUR VITESSE INSTANTANEE D’UN POINT
La valeur de la vitesse instantanée est insuffisante pour caractériser le mouvement d'un point mobile. Elle n'indique pas la direction et le sens du mouvement.
L'outil mathématique qui permet d'indiquer une direction, un sens est le vecteur. On utilise en physique le vecteur vitesse instantanée noté V⃗⃗ (t).
A. DEFINITION
Le vecteur vitesse instantanée correspond à la limite vers laquelle tend le vecteur vitesse moyenne sur une courte durée, c’est la dérivée de la distance par rapport au temps V⃗⃗ (t) = dOM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dt .
Démonstration :
V⃗⃗ (t) = lim∆t→0V⃗⃗ moy = limt2→t1M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1M2
t2−t1= limt2→t1M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1O + OM2
t2−t1 = limt2→t1OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−OM1 t2−t1
On reconnait dans cette écriture celle d’une dérivée donc V⃗⃗ (t) = dOM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dt B. CARACTERISTIQUES
Le vecteur vitesse instantanée a les caractéristiques suivantes :
Origine : position occupée par le point mobile à l'instant considéré t.
Direction : tangente à la trajectoire au point considéré.
Sens : celui du mouvement à cet instant
Valeur : celle de la vitesse instantanée à cet instant.
Remarque: Il faut toujours préciser le référentiel d’étude pour déterminer la valeur de la vitesse. La vitesse est relative au référentiel d'étude.
C. EXPRESSION DU VECTEUR VITESSE INSTANTANEE Dans la base cartésienne :
V⃗⃗ (t) = dOM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dt = d(xi + yj + zk)⃗⃗⃗⃗
dt = ẋ i⃗ + ẏj +z ̇k⃗ = Vx i⃗ + Vy j + Vzk⃗
Figure 10: Illustration de V⃗⃗ moy
MODOU DIOUF Tous droits réservés Page 7
Les coordonnées du vecteur vitesse correspondent aux dérivées premières par rapport au temps des coordonnées du vecteur position.Dans la base de FRENET : V⃗⃗ (t) = limt2→t1M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1M2
t2−t1
Lorsque t2→ t1, alors M2 se rapproche de M1 ; à la limite M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1M2 serait porté par u⃗ T. M1M2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ‖M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖.u⃗ 1M2 T
‖M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = M1M2 ̂1M2 = M̂0M2 - M̂0M1 = S2-S1. M1M2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (S2-S1) u⃗ T
V⃗⃗ (t) = limt2→t1S2 – S1
t2 − t1u⃗ T ⟹V⃗⃗ (t) = dsdtu⃗ T = dsdtu⃗ T + 0u⃗ N
V⃗⃗ (t) = VT u⃗ T+ VN u⃗ N avec VT = dsdt = vitesse tangentielle et VN = 0 = vitesse normale.
NB : La vitesse est toujours portée par la tangente à la trajectoire u⃗ T.
Dans les bases polaire, cylindrique ou sphérique : (la démonstration est laissée aux élèves en guise d’entrainement)
2.4. NOTION D’ACCELERATION
L’accélération est une grandeur physique qui caractérise la variation du vecteur vitesse au cours du temps.
2.4.1. VECTEUR ACCELERATION MOYENNE
L'accélération moyenne a sur un intervalle de temps Δt est définie par : a⃗ moy = V⃗⃗⃗⃗⃗ −Vt2 ⃗⃗⃗⃗⃗ 1
2–t1 = ∆t ∆V⃗⃗
v⃗ 2 est le vecteur vitesse à la date t2 et v⃗ 1 est le vecteur vitesse à la date t1. 2.4.2. VECTEUR ACCELERATION INSTANTANEE
A. DEFINITION
Le vecteur accélération instantanée correspond à la limite vers laquelle tend le vecteur vitesse moyenne sur une courte durée, c’est la dérivée de la vitesse par rapport au temps.
a⃗ (t) = lim∆t→0a⃗ moy = lim∆t→0V⃗⃗⃗⃗⃗ −V2 ⃗⃗⃗⃗⃗ 1
t2−t1 soit 𝐚⃗ (t) = 𝐝𝐕𝐝𝐭⃗⃗
B. EXPRESSION DU VECTEUR ACCELERATION INSTANTANEE Dans la base cartésienne :
Les quantités cinématiques, position, vitesse et accélération sont données par :
MODOU DIOUF Tous droits réservés Page 8
Les coordonnées du vecteur accélération correspond aux dérivées secondes par rapport au temps des coordonnées du vecteur position.Dans la base de Frenet :
Désignons par v⃗ (t) et a⃗ (t) les vecteurs vitesse et accélération du mobile ponctuel décrivant un cercle.
On admettra les résultats suivants :
aT = dVdt est la valeur de l'accélération tangentielle mesurée sur l'axe u⃗ T. Elle peut être positive, négative ou nulle.
aN = VR2 est la valeur de l'accélération normale mesurée sur l'axe u⃗ N. Elle est positive.
𝑎 (t) = aT u⃗ T + aNu⃗ N = dVdtu⃗ T + VR2u⃗ N
Dans un repère de Frenet (Mouvement circulaire) on distingue l'accélération tangentielle (dans le sens du mouvement) et l'accélération normale ou centripète (perpendiculaire au mouvement).
Démonstration : on utilise les propriétés de la dérivation et les relations
a⃗ (t) = 𝑑𝑡𝑑( dsdtu⃗ T) u⃗ T = - sinθ i⃗ + cosθ j⃗ et u⃗ N= - cosθ i⃗ - sinθ j⃗
Dans la base polaire, cylindrique ou sphérique : (Démonstration laissée aux élèves).
APPLICATION 1:
Dans le repère ℛ (O, i , j ), considérons le mouvement d'équation horaire : x = 1 + cos 2t et y = sin 2t 1. Donner l’expression du vecteur position.
2. Donner l’expression du vecteur vitesse et son module
3. Déterminer l’accélération tangentielle et donner l’expression du vecteur accélération 4. Trouver son module et en déduire l’accélération normale
5. En déduire la nature de la trajectoire du mouvement SOLUTION 1
1. Le vecteur position s'écrit r = x i⃗ +y j⃗ = (1 + cos 2t) i⃗ + (sin 2t) j⃗
2. Le vecteur vitesse s'écrit v⃗ (t) = dr⃗ dt = -2sin 2t i⃗ + 2cos 2t) j⃗
Le module du vecteur vitesse est v = 2, c'est une constante.
3. L'accélération tangentielle est at = dvdt = 0
Le vecteur accélération totale est : a⃗ = -4cos2t i⃗ - 4sin2t j⃗
4. Son module est a = 4, c'est une constante.
Les accélérations totale, tangentielle et normale forment un triangle rectangle ayant l'accélération totale pour hypoténuse ; alors d'après le théorème de Pythagore on a :
a2 = at2 + an2 ce qui donne que an = 4. Or on a : 𝜌 = v2/an.
5. Donc ρ = 1, c'est une constante donc cette courbe n'est autre qu'un cercle.
MODOU DIOUF Tous droits réservés Page 9
2.5. PARAMETRES D’EVOLUTION2.5.1. LOIS HORAIRES OU EQUATIONS HORAIRES
Le mobile est en mouvement si ses coordonnées sont fonctions du temps.
Les expressions des coordonnées en fonction du temps x(t), y(t) et z(t) constituent les équations horaires ou lois horaires du mobile.
En mathématiques, t est un paramètre x(t), y(t) et z(t) sont appelées équations paramétriques.
2.5.2. EQUATION CARTESIENNE
L’équation cartésienne s’obtient en éliminant la variable t entre les équations horaires. On distingue les trajectoires rectiligne, curviligne, circulaire, parabolique, ...
APPLICATION 2 : On donne 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2t 𝑖 + (t2+4) 𝑗 . En déduireles équations horaires et l’équation cartésienne.
Préciser la nature de la trajectoire SOLUTION 2 :
Les équations horaires x = 2t (1) y = t2 + 4 (2)
(1) ⟹ t = x2 et (2) donne y(x) = 14 x2 + 4, c’est l’équation cartésienne.
Nature de la trajectoire : parabole.
APPLICATION 3 : Soit un mobile dont le vecteur position est 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ {𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠3𝑡𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛3𝑡 Déterminer l’équation cartésienne et la nature de la trajectoire.
SOLUTION 3 :
On montre que x2 + y2 = 4 équation cartésienne.
Cette équation peut s’écrire sous la forme (x-0)2 + (y-0)2 = 22, c’est l’équation d’un cercle de centre O (0,0) et de rayon 2.
3. EXEMPLES DE MOUVEMENT 3.1. RAPPELS (cours de seconde)
3.1.1. MOUVEMENT DE TRANSLATION D'UN SOLIDE
Définitions : On appelle solide indéformable un objet matériel dont la distance entre deux points quelconques ne varie pas au cours du temps.
Un solide est en mouvement de translation lorsqu'un segment quelconque de ce solide reste parallèle à lui-même au cours du déplacement.
Conséquence : Tous les points du solide ont, à chaque instant, le même vecteur vitesse V⃗⃗ (t). C'est le vecteur vitesse du solide en translation.
Cas particuliers :
Mouvement de translation rectiligne : Les divers points du solide en translation rectiligne décrivent des droites.
Exemple : luge descendant une piste rectiligne, véhicule sur piste rectiligne
Mouvement de translation curviligne : Les divers points du solide en translation curviligne décrivent des courbes superposables.
Exemple : cabine de téléphérique (Figure 12).
Figure 11 : Véhicule en translation rectiligne
MODOU DIOUF Tous droits réservés Page 10
Mouvement de translation circulaire : Les divers points du solide en translation circulaire décrivent des cercles superposables.Exemple : la grande roue (Figure 13).
3.1.2. MOUVEMENT DE ROTATION D'UN SOLIDE AUTOUR D'UN AXE FIXE A. DEFINITION
Un solide est en mouvement de rotation autour d’un axe fixe lorsqu'un point quelconque de ce solide décrit une trajectoire circulaire autour de cet axe au cours du déplacement.
B. VITESSE ANGULAIRE DE ROTATION
Considérons une poulie en rotation autour d'un axe (D) fixe dans le référentiel terrestre.
La vitesse angulaire ω est égale à l'angle en radians décrit par le mobile en une seconde.
Si pendant la durée de temps ∆t la poulie tourne d'un angle ∆α, alors la vitesse angulaire de la poulie est : ω = ∆α∆t = 2πT
Angle balayé par le rayon ∆α (en rad) Durée Δt (en s) Vitesse angulaire 𝜔 (en rad/s) C. PERIODE ET FREQUENCE
La période, notée T, est l’intervalle de temps séparant 2 passages du mobile au même point et dans le même sens : T = 𝟐𝝅𝝎
La fréquence, notée f, est le nombre de tours effectués par le mobile en une seconde : f = 𝑇1 Unité : T en seconde (s) 𝜔 (en rad/s) f en hertz (Hz).
Remarque : Relations utiles : V = Rω = 2πRf = 2πRT
Pour un solide qui effectue un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe fixe Δ, tous les points du solide ont la même vitesse angulaire ω. En revanche, tous les points du solide n'ont pas la même vitesse linéaire, la vitesse d'un point (en m / s) dépend de sa distance à l'axe. Si on prend deux points A et B du solide tels que : VA = ωRA et VB
= ωRB ⟹VA≠ VB
Remarque : Si le vecteur vitesse V⃗⃗ (t) est constant au cours du temps alors le solide est animé d'un mouvement de translation rectiligne uniforme.
3.2. MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME (MRU) 3.2.1. DIFINITION
Un point mobile est animé d'un mouvement rectiligne uniforme si sa trajectoire est une droite et sa vitesse instantanée est constante au cours du mouvement.
3.2.2. EQUATION HORAIRE
V = Vm =V0= ∆𝑥∆𝑡⟹ V0 = 𝑑𝑥𝑑𝑡⟹ dx = V0dt ⟹ prim dx = prim V0dt
Figure 12 : translation circulaire Figure 13 : translation circulaire
MODOU DIOUF Tous droits réservés Page 11
⟹ x(t) = V0t + cte avec Cte= x(t=0)= x0= abscisse initiale
⟹ x(t) = v0t + x0 équation horaire d’un MRU.
NB : x, x0 sont des grandeurs algébriques.
Remarque : Les distances parcourues sont proportionnelles aux durées des parcours. Les distances parcourues pendant des durées égales sont les mêmes.
3.3. MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMEMENT VARIE(MRUV) 3.3.1. DEFINITION
Un mobile est animé d'un mouvement rectiligne varié si sa trajectoire est une droite et sa vitesse instantanée change au cours du mouvement. Le vecteur accélération instantané est contant.
3.3.2. EQUATION HORAIRE
Par définition a = 𝑑𝑣𝑑𝑡⟹ dv = adt
⟹ v(t) = at + cte avec cte = v(t=0)= V0= vitesse initiale soit V(t) = at + V0 (1) Par définition v = dxdt⟹ dx = vdt = (at + V0) dt soit x(t) = 12 at2 + v0t+x0 (2) (1) et (2) constituent les équations horaires d’un MRUV.
Théorème 1 : v2² – v1² = 2 a (x2 – x1) (3). Cette relation caractérise un mouvement rectiligne à accélération constante.
En effet, (1) ⟹ t= V−Voa et (2) donne x - x0= 12 a (V−Voa ) 2 + V0 (V−Voa ) En développant, on obtient V2- V02 = 2a(x-x0).
Théorème 2 : Lors d’un mouvement rectiligne uniformément varié (d’accélération a), les espaces parcourus, pendant des intervalles de temps successifs égaux à θ, forment une progression arithmétique de raison r = a θ².
Démonstration :
A t1, x1 = 12 a (t+θ) 2 + v0(t + θ) A t2, x2 = 12 a (t+2θ) 2 + v0(t + 2θ) A t3, x3 = 12 a (t+3θ) 2 + v0(t + 3θ)
Calculons les espaces ei et faisons leurs différences e1= x1-x0 = 12 aθ2 + atθ + v0θ
e2= x2-x1 = 32 aθ2 + atθ + v0θ e3= x3-x2 = 52 aθ2 + atθ + v0θ e2 – e1 = aθ2 ⟹e2 = e1 + aθ2
e3 – e2 = aθ2 ⟹e3 = e2 + aθ2 = e1 + aθ2 + aθ2 ⟹ e3 = e1 + 2aθ2 On constate en continuant que en = e1 + (n-1) aθ2
Si (Un) n ∈Nest une suite arithmétique de raison r, on a : Un = U1 + (n-1) r
Si (en) n ∈N est une suite arithmétique de raison r, on a : en = e1 +(n-1) r = e1+(n-1)aθ2 d’où r = aθ²
Remarque : reconnaissance de la nature d’un mouvement
MODOU DIOUF Tous droits réservés Page 12
-a⃗ . v⃗ > 0 mouvement accéléré-a⃗ . v⃗ < 0 mouvement retardé -a⃗ . v⃗ = 0 mouvement uniforme Exemples :
3.4. MOUVEMENT RECTILIGNE SINUSOIDAL
3.4.1. DEFINITION ET EXPRESSION DE L’ABSCISSE (OU POSITION) Trajectoire : la trajectoire est une droite
Position : La position du mobile ponctuel est donnée par l'équation horaire x(t) = Xm sin (ω t + φ) x ∈[-Xm, +Xm].
Dans cette expression :
L'amplitude ou l’élongation maximale est Xm.
La phase à l'instant t est (ωt + φ). La phase à la date t = 0 (phase initiale) est φ.
La pulsation est ω
La période est T = 2πω et la fréquence est N =1T . 3.4.2. EXPRESSION DE LA VITESSE
On obtient v(t) = dxdt = Xmωcos (ω t + φ)
Remarque : la vitesse est aussi une fonction sinusoïdale de même pulsation que l’abscisse x mais dont la phase est en avance de π2.
Elle est maximale à l’origine des abscisses(x = 0) et nulle aux élongations maximales Démonstration :
Relations utiles : cosa= cosb alors a = b ou a = -b ; sina =sinb alors a = b ou a = π-b
Si x = 0 : on a Xm sin (ω t + φ)= 0 ⟹(ω t + φ) =0 ou (ω t + φ) = π alors v = Xmωcos0 = +Xmω ou v = Xmωcosπ = -Xm ω
Si x = +Xm : on a +Xm = Xm sin (ω t + φ)⟹ (ω t + φ) = π2 ou (ω t + φ) = π2 alors v = 0.
Si x = -Xm : on a -Xm = Xm sin (ω t + φ) ⟹ (ω t + φ)= - π2 ou (ω t + φ) = π2 alors v = 0.
3.4.3. EXPRESSION DE L’ACCELERATION On obtient a(t) = dvdt = - Xmω2sin (ω t + φ) = - ω2x.
Remarque : L'amplitude Xm et la phase à l’origine φ se déterminent souvent en exprimant x et v à l'instant t = 0.
Théorème : La relation a + ω2x = 0 (équation différentielle du 2nd ordre sans 2nd membre) équivaut à x = Xm sin (ω t + φ).
3.5. MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME (MCU) 3.5.1. DEFINITION
Figure 14 : reconnaissance d’un mouvement
MODOU DIOUF Tous droits réservés Page 13
Un point mobile est animé d'un mouvement circulaire uniforme si sa trajectoire est circulaire et si sa vitesseinstantanée garde la même valeur au cours du mouvement. Sa vitesse angulaire est constante.
3.5.2. EQUATION HORAIRE
On repère la position de M par les abscisses angulaire θ = (OA⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ou curviligne S=AM̂=Rθ (θ en radian).
Les équations horaires du mouvement en abscisse curviligne et angulaire sont ci-dessous:
En abscisse curviligne : dsdt = vo ⟹ s(t) = vot + so
En abscisse angulaire : d𝛉dt = ωo ⟹θ(t) = ωot + θo
ou encore : d𝛉dt = θ ̇ ⟹θ(t) = θ ̇t + θo
3.5.3. REPRESENTATION DE 𝐯⃗ (t) et 𝐚⃗ (t)
Dans un mouvement circulaire uniforme : V⃗⃗ (t) = VT u⃗ T = vo u⃗ T et a⃗ = v ² R u⃗ N
Remarque : Dans un mouvement circulaire uniforme :
Le vecteur vitesse est tangent au cercle et le vecteur accélération est centripète.
La vitesse est constante en norme mais pas en direction, il y a donc accélération.
La période est T = 2πω et la fréquence est N = 1T .
3.6. MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORMEMENT VARIE(MCUV) 3.6.1. DEFINITION
Un point mobile est animé d'un mouvement circulaire uniformément varié si sa trajectoire est circulaire et si sa vitesse angulaire varie uniformément au cours du mouvement.
Conséquence : L’accélération angulaire est constante.
3.6.2. EQUATION HORAIRE
θ ̈= dθ ̇dt en intégranton obtient θ ̇(t)= θ ̈t + θ̇0 (1) θ ̇= dθdtdθ = θ ̇dt = ( θ ̈t +θ ̇0) dt
prim θ ̇dt = prim( θ ̈t +θ ̇0) dt ⟹θ(t) = 12 θ ̈t2+θ̇0t + θo (2) (1) et (2) constituent les équations horaires d’un MCUV
Théorème : θ ̇2² – θ ̇1² = 2 θ ̈( θ 2 – θ 1) (3). Cette relation caractérise un mouvement rectiligne à accélération constante.
Démonstration : (1) ⟹ t = θ−θo θ ̈ et (2) donne ( θ - θ 0) = 12θ ̈(θ−θo θ ̈ ) 2 + θ ̇0(θ−θo θ ̈ ) En développant, on obtient θ ̇² – θ ̇0²= 2 θ ̈( θ - θ 0).
4. APPLICATIONS APPLIQUER LA METHODE
Figure 15 : représentation de la vitesse et de l’accélération
MODOU DIOUF Tous droits réservés Page 14
1. Mémoriser les équations horaires des différents exemples de mouvement ;2. S’assurer de l’exemple de mouvement proposé ;
3. Se rappeler des différentes équations intervenant dans ce mouvement ; 4. Se donner une origine des espaces et des dates avant d’écrire les équations ;
5. Poser x(t) = xp lors d’un passage du mobile à un point P ou x1(t) = x2(t) lors d’une rencontre ou d’un rattrapage.
PROBLEME A RESOUDRE 1 :
Le vecteur position d'un mobile M se déplaçant dans un plan muni d'un repère orthonormé (O, 𝑖 , 𝑖 ) est 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = {𝑥 = 2𝑡
𝑦 = 2𝑡2− 5𝑡
𝑧 = 3 x et y en mètres et t en secondes 1) Montrer que le mobile se déplace dans un plan et définir ce plan.
2) Établir l'équation cartésienne de la trajectoire du mobile, quelle est la nature de la trajectoire ? 3) A quel instant le mobile passe-t-il au point d'abscisse x = 10 m ? calculer sa vitesse à cet instant.
4) A l'instant t = 0, le mobile se trouve à son point de départ. En combien de temps parcourt-il la distance d=5 m ? PROBLEME A RESOUDRE 2 :
Le diagramme temporel de la vitesse d'un point décrivant une trajectoire rectiligne est donné par le diagramme ci- contre.
1) Déterminer graphiquement la distance parcourue par le point mobile pendant les deux premières secondes. Pour cela montrer que la distance correspond à la valeur de l'aire limitée par OA, l'axe des abscisses et l'ordonnée du point A.
2) Calculer également la distance totale parcourue aux dates t = 3 s et t = 4 s.
3) Déterminer les accélérations (éventuelles) du point et tracer le diagramme a = f(t).
PROBLEME A RESOUDRE 3 :
Un mobile est animé d'un mouvement rectiligne sinusoïdal d'amplitude Xm = 15 cm et de période T = 2s. A l'instant t
= 0, le mobile est à sa position d'élongation maximale.
1) Écrire l'équation horaire du mouvement.
2) Calculer l'élongation, la vitesse et l'accélération du mobile à l'instant t = 0,5 s.
3) A quels instants le mobile passe-t-il pour la première fois, pour la deuxième fois, pour la troisième fois au point d'abscisse x = -7,5 cm ?
Calculer la vitesse du mobile et son accélération à ces différents instants.
MODOU DIOUF Tous droits réservés Page 15
LLEEÇÇOONN NN°°22 :: LLEESS BBAASSEESS FFOONNDDAAMMENENTTAALLEESS DDEE LLAA DDYYNNAAMMIIQQUUEE Durée : 05heures Classe : T°S INTRODUCTION
La dynamique, plus complète, étudie le mouvement en remontant à son origine. Elle fournit les lois qui associent les éléments cinématiques précédents d'une part, et les forces et leurs moments d'autre part. La richesse apportée par les forces, outre le mouvement qu'elles produisent, peut être analysée via l'énergie qu'elles véhiculent.
Cette leçon comporte cinq (05) paragraphes.
1. GENERALITES SUR LA DYNAMIQUE 1.1. NOTION DE FORCE
1.1.1. DEFINITION DYNAMIQUE ET STATIQUE
La force est toute cause (action) capable de mettre un corps en mouvement, de modifier le mouvement de ce corps ou de le déformer.
1.1.2. DEFINITION RELATIVE A LA QUANTITE DE MOUVEMENT
Un solide au repos possède une certaine quantité de mouvement. Dès qu’il se déplace, la quantité de mouvement varie. La principale cause de ce mouvement étant une force : la force est donc toute action capable de modifier la quantité de mouvement d’un système.
Elle est définie par F⃗ = ∆P∆t⃗⃗ , P⃗⃗ est le vecteur quantité de mouvement.
1.2. FORCES INTERIEURES ET FORCES EXTERIEURS
Une force intérieure est une force exercée par un élément du système.
Exemple : le poids d’un solide dans le système univers.
Une force extérieure est une force exercée par un élément extérieur au système.
Exemple : le poids d’un solide dans le système solide.
1.3. SYSTEME ISOLE ET SYSTEME PSEUDO-ISOLE
Un système isolé est un système qui n’est soumis à aucune force. C’est un idéal physique qui n’existe pas.
Un système pseudo-isolé est système sur lequel la somme des forces appliquées est nulle.
Exemple : un objet immobile sur un support horizontal (P⃗⃗ + R⃗⃗ =0⃗ ).
2. NOTION D’INERTIE D’UN SYSTEME
L’inertie d’un corps caractérise son incapacité de se mouvoir. Cette notion est liée à la masse du système. Plus la masse du système est importante, plus inerte est le système.
2.1. CENTRE D’INERTIE.
2.1.1. DEFINITION
Le centre d’inertie G d’un système ou centre de gravité est un point unique du système pseudo-isolé qui soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme (MRU).
2.1.2. RELATION BARYCENTRIQUE
Tout système matériel est formé de particules quasi ponctuelles A1, A2, ... de masse m1, m2, ...On peut associer à ce système un centre d’inertie G défini par la relation barycentrique :
m1GA⃗⃗⃗⃗⃗ 1 +m2GA⃗⃗⃗⃗⃗ 2 + …. = 0⃗
O étant un point quelconque (généralement origine d’un repère), on peut montrer que : OG⃗⃗⃗⃗⃗ = m1OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +m1 2OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯2 m1+m2+ …
Cas particuliers : Pour un système homogène, le Centre d’inertie G coïncide au milieu géométrique.
2.2. PRINCIPE DE L'INERTIE (1° LOI DE NEWTON)
MODOU DIOUF Tous droits réservés Page 16
Enoncé du principe de l’inertie : Dans un référentiel Galiléen, si la somme des forces extérieures(F⃗ =∑ F⃗ ) appliquées à un système est nulle alors le centre d’inertie de ce système est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme (le vecteur vitesse du centre d’inertie V⃗⃗ G ne varie pas).
La réciproque est vraie : Si, dans un référentiel Galiléen, le centre d’inertie d'un système est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme, alors la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à ce système est nulle.
3. NOTION DE QUANTITE DE MOUVEMENT
En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse et à la masse d'un objet. Elle fait partie, avec l'énergie, des grandeurs qui se conservent lors des interactions entre éléments du système.
Remarque : Quantité de mouvement et impulsion sont souvent confondues en raison de leur coïncidence dans la majorité des cas. Néanmoins en théorie ces deux grandeurs sont distinctes.
3.1. VECTEUR QUANTITE DE MOUVEMENT DU POINT MATERIEL
En mécanique classique, le vecteur quantité de mouvement 𝐏⃗⃗ d'un point matériel de masse m animé d'une vitesse 𝐯⃗
est définie comme produit de la masse et de la vitesse : P⃗⃗ = mv⃗
P⃗⃗ ‖direction:cellede v⃗
sens ∶ celuide v⃗
norme ∶ p = mv
C'est donc, comme la vitesse, une grandeur vectorielle. L'unité dans le SI de la quantité de mouvement est le kg. m. s-
1.
3.2. VECTEUR QUANTITE DE MOUVEMENT D’UN SYSTEME MATERIEL
Un système matériel est constitué par un ensemble de point matériel. Son vecteur quantité de mouvement serait égal à la somme des vecteurs quantités de mouvement des différents points matériels constituant le système : P⃗⃗ = P⃗⃗ 1+ P⃗⃗ 2 +…… +P⃗⃗ n
P⃗⃗ = m1v⃗ 1+ m2v⃗ 2 +…… + mnv⃗ n soit P⃗⃗ = ∑n mi i=1 v⃗ i. Cas particulier : système en translation
∀ le point i∈ système, v⃗ i = V⃗⃗ = vitesse du système.
P⃗⃗ = m1v⃗ 1+ m2v⃗ 2 +…… + mnv⃗ n = (m1+ m2+…… + mn) V⃗⃗
P⃗⃗ = ∑𝑛𝑖=1𝑚i.V⃗⃗ or ∑𝑛𝑖=1𝑚i = M = masse du système alors P⃗⃗ = MV⃗⃗ .
Remarque : Dans le cours de Terminale, on se limite à l’étude du point matériel ; l’étude d’un système(ou d’un solide) se réduit à celle de son centre d’inertie. Ainsi, si M désigne la masse totale du système(ou du solide) et G son centre d'inertie, alors, la quantité de mouvement du système (ou résultante cinétique) est : P⃗⃗ = MV⃗⃗ G, V⃗⃗ G désignant la vitesse du centre d'inertie du système.
3.3. CONSERVATION OU NON DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT.
3.3.1. CONSERVATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT A. DEFINITION
La quantité de mouvement est une fonction du vecteur vitesse (la masse du système étant constante).
Dans un référentiel Galiléen, la conservation de la quantité de mouvement désigne, l'absence de variation de la quantité de mouvement du centre d'inertie d'un système dans certaines situations physiques : le système est dit pseudo-isolé.
Mathématiquement, la quantité de mouvement P⃗⃗ est conservée lorsque sa variation instantanée est nulle : dPdt⃗⃗ = 0⃗
soit (P⃗⃗ avant interaction = P⃗⃗ après interaction).
MODOU DIOUF Tous droits réservés Page 17
Remarque : Ce principe est équivalent au principe d'inertie, mais fait intervenir la masse des corps (par définition P⃗⃗= mv⃗ , ce qui permet d'introduire la notion de force (par définition F⃗ = dPdt⃗⃗ = mdv⃗⃗ dt) dans le cas où le mouvement n'est pas rectiligne uniforme.
B. CONDITION DE CONSERVATION:
Pour que la quantité de mouvement d'un système soit conservée, il est essentiel que la sommation vectorielle des forces extérieures agissant sur le système soit nulle c'est-à-dire le vecteur vitesse est constant.
A l'inverse, les forces internes dues aux collisions n'empêchent pas la conservation. Il est cependant important de considérer le milieu comme un système car la quantité de mouvement de chaque corps prise individuellement n'est pas conservée. C'est la somme vectorielle de chacune d'elles qui reste constante.
Exemple : Dans un référentiel galiléen, et en l'absence de frottement, un système de corps soumis à aucune force extérieure mais entrant en collision les uns avec les autres.
C . ETUDE DES COLLISIONS
La conservation de la quantité de mouvement peut intervenir lors d'une collision entre deux ou plusieurs objets ou particules.
Lorsqu'il y a conservation, l'addition vectorielle des quantités de mouvement de chaque corps faisant partie du milieu conserve la même valeur avant et après la collision. En ayant recours à ce principe, il n'est pas nécessaire de connaitre les forces qui ont lieu lors de la collision.
La quantité de mouvement se conserve dans trois types de collisions :
les collisions élastiques ou chocs élastiques,
les collisions inélastiques,
les collisions parfaitement inélastiques ou chocs mous.
C1. LES COLLISIONS ELASTIQUES
Une collision élastique est une collision qui prend place lorsque la somme des énergies cinétiques après la collision est égale à la somme des énergies cinétiques avant la collision. C'est une collision qui respecte le principe de conservation de l'énergie et durant lequel les objets se séparent.
‖P⃗⃗ avant choc= P⃗⃗ après choc Ecf = Eci
Remarque : Si une balle entre en collision élastique avec une autre balle de même masse initialement au repos, l'angle séparant leur deux trajectoire après la collision sera de 90°.
C2. LES COLLISIONS INELASTIQUES
Une collision inélastique est une collision qui prend place lorsque la somme des énergies cinétiques après la collision est différente de la somme des énergies cinétiques avant la collision.
Cela pourrait prendre place avec des balles de tennis. Une partie de l'énergie cinétique initiale sera transformée en énergie potentielle lors de la déformation de la balle, ce qui explique la variation négative de l'énergie cinétique du système.
‖P⃗⃗ avant choc= P⃗⃗ après choc Ecf ≠ Eci en effet Ecf < 𝐸𝑐𝑖
Figure 1 : Avant une collision entre deux objets
Figure 2 : Après une collision élastique entre deux objets
Figure 3 : Illustration d’un choc élastique particulier
MODOU DIOUF Tous droits réservés Page 18
C3. LES CHOCS PARFAITEMENT INELASTIQUES OU CHOCS MOUSUne collision parfaitement inélastique est une collision qui prend place lorsque le niveau d'énergie cinétique est plus bas que l'énergie cinétique qu'il y avait avant la collision. Durant cette collision, les deux objets s'unissent et se déplacent ensuite avec la même vitesse vectorielle. Par conséquent, on considère que les deux corps n'en forment plus qu'un à la suite de la collision.
3.3.2. NON CONSERVATION DE LA QUANTITE DE MOUVEMENT
Définition : Quand la quantité de mouvement d'un système n'est pas conservée, la raison en est attribuée à des forces extérieures qui ne se compensent pas.
En mécanique newtonienne, l'égalité suivante est la définition de la force s’exerçant sur le centre d'inertie du système : F⃗ = dPdt⃗⃗
Cette force s'appliquant sur le centre d'inertie est la résultante des diverses forces s'exerçant sur les corps du système. En se basant sur cette relation, la variation de la quantité de mouvement ∆P⃗⃗ peut être déterminée par la multiplication de la force moyenne exercée sur le système étudié par le temps d'action de cette force ∆P⃗⃗ = F⃗ moy.∆t.
Exemples : Choc entre deux boules de billard
Le choc entre deux boules de billard peut être approximé comme étant une collision élastique à une, deux ou trois dimensions. Dans cet exemple, les équations de la conservation de la quantité de mouvement et de la conservation de l'énergie cinétique donnent, pour une particule de masse m1 et m2 ayant chacune une vitesse initiale 𝐮⃗⃗ 1 et 𝐮⃗⃗ 2 et une vitesse finale 𝐯⃗ 1 et 𝐯⃗ 2 :
𝐦𝟏𝐮⃗⃗ 1 + 𝐦𝟐𝐮⃗⃗ 2 = 𝐦𝟏𝐯⃗ 1 + 𝐦𝟐𝐯⃗ 2
Le théorème s'énonce alors ainsi : la variation de la quantité de mouvement du système est égale à la somme des forces extérieures s'exerçant sur le système : dPdt⃗⃗ = ∑ F⃗ ext
Cette relation est fondamentale : c'est elle qui permet d'étudier le mouvement d'un solide sans avoir besoin de connaître les forces de liaison interatomique. Elle sert à étudier autant la chute d'une pomme que le mouvement de la Lune autour de la Terre.
4. THEOREME GENERAUX DE LA DYNAMIQUE
4.1. THEOREME DU CENTRE D'INERTIE (TCI) (2°LOI DE NEWTON) Enoncé semi-quantitatif donné en classe de première :
Dans un référentiel Galiléen, si le vecteur vitesse 𝑣 G du centre d'inertie d'un solide varie, alors la somme 𝐹 = ∑ 𝐹 𝑒𝑥𝑡 des forces extérieures appliquées à ce solide n'est pas nulle et réciproquement. La direction et le sens de cette somme 𝐹 sont ceux de la variation ∆𝑣 G de 𝑣 G entre deux instants proches.
Remarque : Pour un point matériel ce résultat constitue la 2° loi de Newton.
Exemple : Mouvement rectiligne accéléré
- Référentiel Galiléen : le solide Terre.
- Système étudié : le palet.
- Le solide est soumis à 3 forces extérieures :
Figure 4 : mouvement rectiligne sur coussin d’air
MODOU DIOUF Tous droits réservés Page 19
P⃗⃗ : essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le palet.R⃗⃗ : action normale de la piste sur le palet. Ici, grâce au coussin d'air, on néglige les frottements.
T⃗⃗ : action du fil sur le palet.
-La somme P⃗⃗ + R⃗⃗ + T⃗⃗ = 0⃗ + T⃗⃗ = T⃗⃗ des forces extérieures appliquées à ce solide n'est pas nulle.
- Etudions la variation de la vitesse V⃗⃗ G du centre d'inertie du palet.
- Représentons les vecteurs vitesses :
- Déterminons les variations de vitesse :
∆V⃗⃗⃗⃗⃗ G2 = V⃗⃗ G3 - V⃗⃗ G1 = 1,063 i - 0,563i = 0,500 i
∆V⃗⃗⃗⃗⃗ G3 = V⃗⃗ G4 - V⃗⃗ G2 = 1,313i - 0,813 i = 0,500i
- Conformément à la deuxième loi de Newton, la somme des forces extérieures appliquées au solide :P⃗⃗ + R⃗⃗ + T⃗⃗ = 0⃗ + T⃗⃗ = Ti a bien la direction et le sens de la variation ∆V⃗⃗⃗⃗⃗ G = 0,500i du vecteur V⃗⃗ G.
- De plus, ici, la variation de vitesse ∆V⃗⃗⃗⃗⃗ G2 = ∆V⃗⃗⃗⃗⃗ G3. Cela est lié au fait que la force T⃗⃗ est un vecteur constant.
- L'introduction du vecteur accélération a⃗ G du centre d'inertie du solide va permettre de donner un énoncé plus précis de la deuxième loi de Newton appelé relation fondamentale de la dynamique (relation applicable à tout le solide en translation).
Enoncé : Dans un référentiel Galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par l'accélération de son centre d'inertie :
∑ F⃗
ext= m a⃗
G(1)
Démonstration :
D’après la définition de la force relative à la quantité de mouvement, ∑ F⃗ ext = ∆P⃗⃗⃗⃗⃗
dt
Sur une courte durée ∑ F⃗ ext = dPdt⃗⃗ = m dv⃗⃗ Gdt soit ∑ F⃗ ext = m a⃗ G.
Remarque1: Si ∑ F⃗ (ext) = 0⃗ alors a⃗ G = 0⃗ et, par conséquent,V⃗⃗ G reste constant en direction, sens et norme (on retrouve la première loi de Newton).
MODOU DIOUF Tous droits réservés Page 20
Remarque 2 : Le TCI et la RFD sont valables dans le cadre de la mécanique classique (Vsolide petite devant celle de la lumière). Lorsque Vs proche de celle de la lumière, l’étude se fait dans le cadre de la mécanique relativistedéveloppée par Albert EINSTEIN.
4.2. LOI DES ACTIONS RECIPROQUES (3° LOI DE NEWTON)
Enoncé : Lorsque deux solides S1 et S2 sont en interaction, les forces qu'ils exercent l'un sur l'autre sont directement opposées : 𝑭⃗⃗ 1/2 = - 𝑭⃗⃗ 2/1
Exemples
Exemple n° 1 : Interaction à distance Terre / Lune.
La Terre attire la Lune avec une force F⃗ T/L.
Réciproquement, la Lune attire la Terre avec une force F⃗ L/T égale et opposée à F⃗ T/L : F⃗ T/L = - F⃗ L/T
Exemple n° 2 : Interaction de contact solide / sol.
Un solide, immobile par rapport à la Terre, appuie sur le sol horizontal avec une force F⃗ solide/sol. Réciproquement, le sol soutient le solide, avec une force F⃗ sol/solide,
telle que : F⃗ solide/sol= - F⃗ sol/solide
Remarque :
- Le vecteur F⃗ solide/sol est différent du vecteur poids du solide P⃗⃗
(leur point d'application, notamment, est différent).
Le vecteur P⃗⃗ existe même en l'absence du sol. Si on confond le poids P⃗⃗ appliqué au centre de gravité G avec la force de Newton exercée par la Terre sur le solide, l'action réciproque représentant l'action du solide sur la Terre serait appliquée au centre de la Terre.
- Sur le solide S s'exercent deux forces extérieures :
P⃗⃗ (Poids) : essentiellement action gravitationnelle de la Terre sur le solide S (force à distance).
F⃗ sol/solide : action verticale du sol sur le solide S (force de contact).
Comme le solide est au repos dans le référentiel terrestre (Galiléen), on peut, d'après le principe de l'inertie, écrire : P⃗⃗ + F⃗ sol/solide = 0⃗
LES TROIS (03) LOIS DE NEWTON :
Le principe d’inertie, le théorème du centre d’inertie et la loi des actions réciproques sont les trois(03) lois de NEWTON qui, complétés par la loi de la gravitation universelle, constituent le fondement de la mécanique classique.
4.3. THEOREME DE LENERGIE CINETIQUE (TEC)
Enoncé : Dans un référentiel Galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un solide, entre deux instants tinitial et tfinal, est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre ces deux instants.
∆Ec =∑ 𝑤(𝐹 𝑒𝑥𝑡) .
Pour un solide en translation : 12 m.V²final - 12 m.V²initial = W(F⃗ 1) + W(F⃗ 2) + ...
Démonstration :
∑ w(F⃗ ext) = ∫ dw(F⃗ ext) or dw =F⃗ .dl⃗⃗⃗ = travail élémentaire et dl⃗⃗⃗ = déplacement élémentaire
⟹ ∑ w(F⃗ ext) = ∫ F⃗ . dl⃗⃗⃗ avec F⃗ = dpdt⃗⃗ = mdv⃗⃗ dt
⟹ ∑ w(F⃗ ext) =∫ mdv⃗⃗ dt. dl⃗⃗⃗ = ∫ m v⃗ . dv⃗⃗⃗⃗ car dl dt = v⃗ .
⟹ ∑ w(F⃗ ext) = ∫ m vdvcos(dv⃗ .v⃗ ) =∫ mv. dvcar (dv⃗ .v⃗ )=0 On sait que dv2 = d (v.v) = vdv + vdv = 2vdv donc vdv = d (12dv2)
⟹ ∑ w(F⃗ ext) =∫ d(V1V2 12dv2) = 12 m.V2² - 12m.V1² = ∆Ec ⟹ ∑ 𝐰(𝐅 𝐞𝐱𝐭) = ∆Ec.
NB : Le TEC n’est pas une nouvelle loi de la mécanique classique ; c’est une conséquence du TCI et une manière commode de résoudre une question.
