∑ ∑ ∑ MATHÉMATIQUESI PSI

ConcoursCentrale- Supélec2009

Épreuve :

MATHÉMATIQUES I

Filière

PSI

s✉✐t❡

❈❛❧❝✉❧❛tr✐❝❡s ❛✉t♦r✐sé❡s

④❛✱❜⑥④❛⑥

▲❂❆♣♣❡♥❞❬▲✱①❪

s✉✐t❡

❈❛❧❝✉❧❛tr✐❝❡s ❛✉t♦r✐sé❡s

Définitions et notations

On rappelle le résultat suivant : Toute partieXnon videdeNpossède un plus petit élément noté minX.

On rappelle les points suivants de Maple :

• La liste contenant l’unique élémentaest notée[a].

• Le couple(a,b)sera représenté par la liste[a,b].

• Pour ajouter l’élémentx(qui peut être un couple) en queue de la liste Lon invoque :L:= [op(L),x]

Et pour Mathematica :

• La liste contenant l’unique élémentaest notée④❛⑥.

• Le couple(a,b)sera représenté par la liste④❛✱❜⑥.

• Pour ajouter l’élémentx(qui peut être un couple) en queue de la liste Lon invoque :▲❂❆♣♣❡♥❞❬▲✱①❪

On dira qu’une série à termes réels est semi-convergente si elle converge sans converger absolument.

On dira qu’une suite(a_n)_n∈N à valeurs complexes vérifie la propriété(P₁)si pour toute suite complexe(u_n)_n∈Nbornée, la série

∑

^anu_nconverge.

On dira qu’une suite (a_n)_n∈N à valeurs réelles vérifie la propriété (P₂) si pour toute suite réelle(u_n)_n∈N, la convergence de la série

∑

^unentraîne celle de la série

∑

a_nu_n.

L’objectif du problème est d’étudier, en particulier à l’aide de méthodes algorith- miques, des propriétés et des contre-exemples de la théorie des suites et des séries et de caractériser simplement les suites qui vérifient(P₁)ou(P₂).

Les parties I et II sont indépendantes.

Les correcteurs tiendront compte de la présentation, particulièrement de la position correcte des indices.

Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.

Partie I - Réorganisation des termes d’une série semi-convergente

On se donne un réelx. On note, pourn ∈ N^∗,un = (−1)ⁿ

n et on se propose de construire une bijectionsdeN^∗dansN^∗telle que

∞

∑

n=1

us(n) =x.

I.A -On définit simultanément par récurrence trois suites d’entiers naturels(pn)n>0, (qn)n>0et(sn)n>1et une suite(Sn)n>0de réels de la manière suivante :

•p₀=q₀=0,S₀=0

•pour toutn∈N, siSn>xalors :

q_n+1=1+qn, p_n+1=pn, s_n+1=2q_n+1−1 sinon :q_n+1=qn, p_n+1=1+pn, s_n+1=2p_n+1 Dans les deux cas :S_n+1=Sn+us_n+1

On aura intérêt à comprendre la construction précédente sous forme algorithmique.

I.A.1) Écrire une fonctions✉✐t❡qui prend en argumentxet l’entiernet qui ren- voie l’affichage de la liste (ou tableau si l’on préfère)[s₁,s₂, . . . ,sn].

I.A.2) En modifiant la fonction précédente de façon à ce qu’elle retourne le dessin simultané de la liste des points de coordonnées(n,Sn)_n670et de la droite horizon- tale d’ordonnéex(on ne demande pas d’écrire cette nouvelle fonction), on obtient pour x=−1, n=70 le dessin suivant :

- 1.2 - 1 - 0.8 - 0.6 - 0.4 - 0.2 0

n

10 20 30 40 50 60 70

Que constate-t-on pour la suite(Sn)n∈N? Expliquer le principe de l’algorithme.

❈❛❧❝✉❧❛tr✐❝❡s ❛✉t♦r✐sé❡s

④❛✱❜⑥④❛⑥

▲❂❆♣♣❡♥❞❬▲✱①❪

I.B -On pose dorénavant, pour toutn∈N,s(n) =s_n. Prouver, pourn>1, les propriétés suivantes :

{s(1),s(2), . . . ,s(n)}={2, 4, . . . , 2p_n} ∪ {1, 3, . . . , 2q_n−1}

p_n+q_n=n

S_n =u_s(1)+· · ·+u_s(n) En déduire quesest injective.

I.C -

I.C.1) Démontrer qu’une suite d’entiers convergente est constante à partir d’un certain rang.

I.C.2) On se propose de démontrer que la suite(p_n)_n∈Ncroît vers+∞. a) On suppose dans un premier temps que cette suite est majorée.

Utiliser le I.C.1) pour démontrer qu’il existe un entiern₀tel que pourn>n₀, S_n >x et S_n=S_n0−

n−1

∑

k=n₀

1

2qn₀+2k−2n₀+1· En déduire une contradiction.

b) Déduire du raisonnement précédent que la suite(p_n)_n∈^Ndiverge vers+∞. I.C.3) Justifier rapidemment que(q_n)tend vers+∞.

I.C.4) Déduire de ce qui précède quesest une bijection deN^∗sur lui-même.

I.D -

I.D.1) Démontrer que, pour tout entiern>0, on a :

|S_n+1−x|6|S_n−x| ou |S_n+1−x|6|u_s(n+1)|

I.D.2) En déduire que pour tout naturelN, il existe un entiern>Ntel que

|S_n+1−x|6|u_s(n+1)|

I.D.3) Justifier l’existence d’un entiern₀tel que pourn>n₀,p_n>1 etq_n>1.

I.D.4) Soitn>n₀. On notev_n =max |S_n−x|, |u_2pn+1|, |u_2qn+1−1| .

Démontrer que(v_n)_n>n₀ est décroissante. En déduire qu’elle converge vers 0.

I.D.5) Démontrer que(S_n)converge versxet conclure.

I.E -

I.E.1) Démontrer l’existence d’une constanteγ>0 telle que :

∑

n k=1

1

k =lnn+γ+o(1) quandn→+∞.

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I.E.2) Donner un développement analogue pour

∑

ⁿ

k=1

1

2k−1 en fonction deγ.

I.E.3)

a) Justifier, pour tout naturelntel quep_n>1 etq_n>1, l’égalité : S_n=

pn

∑

k=1

1 2k−

qn

∑

k=1

1 2k−1· b) En déduire que :

S_n= 1 2ln

p_n

n−p_n

−ln 2+o(1).

c) En déduire un équivalent simple dep_net deq_n. d) Déterminer la limite de :

|u_s(1)|+|u_s(2)|+· · ·+|u_s(n)|

|u₁|+|u₂|+· · ·+|u_n| quandn→+∞.

Partie II - Suites vérifiant ( P

₁

) et ( P

₂

)

II.A -Montrer qu’une suite complexe(a_n)_n∈N telle que la série

∑

a_n converge ab- solument vérifie(P₁).

II.B -Soit(a_n)_n∈^Nune suite réelle telle que la série

∑

^|an+1−a_n|converge.

II.B.1) Prouver que la suite(a_n)_n∈N possède une limite.

II.B.2) Soit(u_n)_n∈N une suite réelle telle que la série

∑

^unconverge.

On noteU_n=u₀+u₁+· · ·+u_n. Prouver, pour tout entier naturelN, la relation :

N

∑

n=0

a_nu_n =

N−1

∑

n=0

(a_n−a_n+1)U_n+a_NU_N. En déduire que la suite(a_n)_n∈^Nvérifie(P₂).

II.C -Soit(a_n)_n∈Nune suite de nombres complexes telle que la série

∑

^|an|diverge.

Construire une suite(u_n)_n∈Nde nombres complexes de module 1 telle que la série

∑

anundiverge. Caractériser les suites complexes(a_n)_n∈Nvérifiant(P₁).

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b) Soitk>3 un indice tel quen_k−2>n_k−1. Prouver l’inégalité : k−16A_nk−16k−1+ 1

2^k−1n_k En déduire quen_k+1−2>n_k.

c) Calculer explicitement la différenceA_nk+1−1−A_nk−1en fonction dek,n_ketn_k+1. En déduire, pourk>3, l’ inégalité :

1 2^kln

n_k+1+1 n_k+1

6 A_nk+1−1−A_nk−16 1 2^kln

n_k+1 n_k

· d) Déduire des deux questions précédentes, pourk>3, l’ inégalité :

2^k− 2 n_k 6ln

n_k+1 n_k

62^k+ 1

n_k+1−ln

1+ 1 n_k+1

+ln

1+ 1

n_k

·

e) En utilisant une série convenable, étudier la convergence de la suite de terme général(lnn_k−2^k); puis prouver l’existence d’une constanteC>0 telle que :

n_k ∼

k→+∞C exp 2^k

. en déduire que : A_nk ∼

k→+∞

ln(lnn_k) ln 2 ·

puis que : A_n ∼

n→+∞

ln(lnn) ln 2 ·

Que peut-on penser de l’exécution de la fonction✐♥❞❡①❡r?

II.E -Soit(a_n)_n∈Nune suite de réels quelconques telle que, pour toute suite(ε_n)_n∈N

de réels tendant vers 0, la série

∑

^εna_nconverge.

a) Prouver que la série

∑

^εn|a_n|converge.

b) En déduire que la série

∑

^|an|converge.

II.F -Soit maintenant(a_n)_n∈Nune suite de réels telle que, pour toute suite(x_n)_n∈N, la convergence de la série

∑

^xnentraîne la convergence de la série

∑

^anx_n. II.F.1) Prouver que la suite(a_n)_n∈N est bornée.

II.F.2) Soit(ε_n)_n∈Nune suite réelle de limite nulle. Prouver la convergence de la série

∑

^εn(a_n+1−a_n).

II.F.3) Prouver que la série

∑

^|an+1−a_n|converge.

II.F.4) Caractériser les suites vérifiant(P₂).

• • • • • •

✐♥❞❡①❡r