Mise à l’échelle d’un écoulement diphasique avec gravité dans un milieu géologique hétérogène : application au cas de la séquestration du CO₂

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Mise à l’échelle d’un écoulement diphasique avec gravité

dans un milieu géologique hétérogène : application au

cas de la séquestration du CO�

Tri Dat Ngo

To cite this version:

Tri Dat Ngo. Mise à l’échelle d’un écoulement diphasique avec gravité dans un milieu géologique hétérogène : application au cas de la séquestration du CO�. Mécanique des fluides [physics.class-ph]. Université Paris Saclay (COmUE), 2016. Français. �NNT : 2016SACLS005�. �tel-01290689�

NNT : 2016SACLS005

Thèse de doctorat

de l’université Paris-Saclay

Préparé à

l’université Paris-Sud

Ecole Doctorale N°579

Sciences mécaniques et énergétiques, matériaux et géosciences (SMEMAG)

Spécialité de doctorat : Mécanique des fluides

Par

Tri Dat NGO

Mise à l’échelle d’un modèle d’écoulement diphasique

avec gravité dans un milieu géologique hétérogène :

Application au cas de la séquestration du CO

Thèse présentée et soutenue à Gif-sur-Yvette, le 26 Janvier 2016

Composition du jury :

M. Vincent LAGNEAU Professeur, Ecole des Mines ParisTech Président du jury

M. Roland MASSON Professeur, Université de Nice Sophia Antipolis Rapporteur

M. Benoît NOETINGER Directeur Expert, IFPEN Rapporteur

M. Harold AURADOU Directeur de Recherche, FAST, Université Paris-Sud Examinateur M. Andro MIKELIC Professeur, Université Claude Bernard Lyon 1 Examinateur

M. Emmanuel MOUCHE Ingénieur (DR), LSCE-CEA Directeur de thèse

iii

Remerciements

Je voudrais profiter de ces deux pages de nature un peu « moins scientifique » pour expri-mer toute ma gratitude aux personnes sans qui cette thèse n’aurait pas été bien terminée. Mes premiers remerciements s’adressent à mes deux encadrants : M. Emmanuel Mouche et M. Pascal Audigane. J’ai constaté moi-même, à travers les discussions avec eux, leur expérience et la clairvoyance grâce auxquelles ils m’ont bien guidé au fil de ces trois années. Je suis gré à Emmanuel pour la grande charge de travail qu’il a gérée en jouant un double rôle, mon directeur de thèse et mon enseignant de la langue française. Merci pour son humour, sa générosité et sa disponibilité, particulièrement pendant la période de « rédaction-correction » de ma thèse, malgré sa douleur au dos. Je souhaite remercier Pascal pour sa gentillesse et son chaleureux accueil dans le cadre de mes courts séjours au BRGM.

Je suis très honoré que M. Roland Masson et M. Benoît Noetinger aient accepté d’être rapporteur de cette thèse. Leurs commentaires et remarques m’ont donné une vision globale sur ce sujet. Je voudrais donc leur adresser mes vifs remerciements.

Je tiens à remercier M. Vincent Lagneau pour l’honneur qu’il me fait de présider mon jury de thèse, mais aussi pour l’intérêt qu’il a porté à l’avancement de mes travaux de-puis le début de ma thèse. Je manifeste également ma profonde gratitude à Messieurs Harold Auradou et Andro Mikelic qui ont bien voulu faire partie de ce jury.

Maintenant, un grand merci à toutes les personnes du laboratoire LSCE-CEA Saclay grâce à qui cette thèse a pu se dérouler dans d’excellentes conditions, en particulier, les représentants de l’équipe de modélisation hydraulique (HYDRO) : Claude Mugler et Christophe Grenier. Je suis très reconnaissant à Claude pour l’aide précieuse qu’elle m’a donnée en corrigeant ce manuscrit.

Mes meilleures pensées vont ensuite vers tous les doctorants, post-doctorants et sta-giaires de l’équipe HYDRO dont j’ai le plaisir de faire leur connaissance : Marie-Alice Harel, Nicolas Roux, Sandro Rinaldi, Mathilde Maquin, Arnaud Rakotondrasoa, Cécile Carrère et Quentin Chanzy.

A few words in English in order to thank Bernd Flemish and other colleagues from Uni-versity of Stuttgart for useful discussions about DuMux _{by email and throughout my} second visit to Stuttgart at the DuMux_{User Meeting in June 2015. Beside high scientific} quality, there are three things that made me fall in love with this meeting : (i) the beauty of the city ; (ii) the kindness of the Stuttgart people, and particularly (iii) the diner at the Beer Garden.

Que serait la vie sans de vrais amis ! Je saisis cette occasion pour exprimer toute ma re-connaissance à mes camarades de la classe 51XF de l’ENSGC de Hanoï. Certains d’entre eux sont également venus en France il y a cinq ans et ont partagé avec moi la nostalgie, les difficultés comme les réussites. Merci également mes coéquipiers dans l’équipe Gio-Lao, avec qui j’ai partagé tant de grands moments, voire versé quelques larmes, sur le terrain de foot. Je ne donne pas ici le nom mais vous savez mieux que moi de qui je parle.

iv

Je ne pourrais pas terminer ces remerciements sans me tourner vers ma famille. Merci mes parents et mon ainé frère au Viet Nam, pour tout l’amour que vous m’offrez. Je vous remercie de m’avoir permis de faire des études dans les meilleures conditions et de m’avoir supporté de commencer mon aventure à l’étranger.

Ma profonde gratitude est adressée à ma femme, Thuy An, qui a pris le relais dès mon arrivée en France. Merci d’avoir partagé M. Tri Dat NGO avec l’écran noir de Putty quand je travaillais chez nous. Merci d’être toujours jolie dans mes yeux et pour ton soutien permanent et inconditionnel.

Finalement, je dédie cette thèse à mon copain, que je considère comme un frère, Truong Giang Pham. Son courage et son optimisme face à la maladie, m’a donné tellement de motivation, d’énergie ainsi que de confiance pour surmonter les difficultés rencontrées, non seulement au cours de cette thèse mais aussi dans ma vie !

Quelques pages ne suffisent jamais et l’essentiel était là. Néanmoins, les lignes blanches suivantes de cette page seront éventuellement remplies à la main au cas où j’ai oublié quelqu’un d’autre . . .

v

À ma femme Thúy An, mon frère et mes parents ! I can run this so far because you tie my shoelaces.

Résumé

Ce travail de thèse porte sur la modélisation mathématique et la simulation numé-rique de la migration par gravité et capillarité du CO2 supercritique injecté dans un site de séquestration géologique hétérogène. Les simulations sont réalisées à l’aide du code DuMux_{. Particulièrement, on s’intéresse à la mise à l’échelle, de l’échelle de la} cellule à l’échelle du réservoir, d’un modèle d’écoulement diphasique CO2-saumure, au sein d’un milieu stratifié périodique constitué d’un réseau de barrières peu perméables horizontales, continues ou discontinues. La mise à l’échelle est effectuée par la méthode asymptotique à double échelle. Dans un premier temps, on considère le cas d’une colonne verticale parfaitement stratifiée. Un modèle homogénéisé est développé puis validé par simulation numérique pour différentes valeurs du nombre capillaire et du flux incident de CO2. La méthode d’homogénéisation est appliquée au cas d’un écoulement dans un milieu bidimensionnel constitué de strates discontinues. Par l’effet de gravité, le CO2 s’accumule sous les strates peu perméables, ce qui conduit à un problème mathématique local non standard. Cette stratification est modélisée à l’aide de l’approche des courants de gravité. L’approche est étendue au cas des strates semi-perméables et en prenant en compte la capillarité. Le modèle mis à l’échelle est comparé à des simulations numériques effectuées pour différents types de strates, avec ou sans pression capillaire, et sa limite de validité est discutée pour chacun de ces cas. La dernière partie de la thèse est dédiée à l’étude des performances du code DuMux _{pour simuler par calcul parallèle l’injection} et la migration de CO2 dans des milieux hétérogènes tridimensionnels (milieu périodique stratifié, milieu fluviatile et milieu réservoir SPE10).

Mots-clés: Stockage géologique de CO2, écoulement diphasique avec gravité, milieu hétérogène, mise à l’échelle, homogénéisation asymptotique multi-échelle, courant de gravité.

Abstract

This work deals with the mathematical modeling and the numerical simulation of the migration under gravity and capillarity effects of the supercritical CO2 injected into a geological heterogeneous sequestration site. The simulations are performed with the code DuMux_{. Particularly, we consider the upscaling, from the cell scale to the} reser-voir scale, of a two-phase (CO2-brine) flow model within a periodic stratified medium made up of horizontal low permeability barriers, continuous or discontinuous. The up-scaling is done by the two-scale asymptotic method. First, we consider perfectly layered media. An homogenized model is developed and validated by numerical simulation for different values of capillary number and the incident flux of CO2. The homogenization method is then applied to the case of a two-dimensional medium made up of discontin-uous layers. Due to the gravity effect, the CO2 accumulates under the low permeability layers, which leads to a non-standard local mathematical problem. This stratification is modeled using the gravity current approach. This approach is then extended to the case of semi-permeable stratas taking into account the capillarity. The upscaled model is compared with numerical simulations for different types of layers, with or without capillary pressure, and its limit of validity is discussed in each of these cases. The final part of this thesis is devoted to the study of the parallel computing performances of the code DuMux _{to simulate the injection and migration of CO}

2 in three-dimensional heterogeneous media (layered periodic media, fluvial media and reservoir model SPE 10).

Keywords:Geological storage of CO2, two-phase flow including gravity, heterogeneous media, upscaling, multi-scale asymptotic homogenization, gravity current.

Table des matières

2 Upscaling of CO2 vertical migration through a periodically layered media 13 2.1 Introduction . . . 14

2.2 Two-phase incompressible, immiscible flow model . . . 16

2.2.1 Mathematical formulation . . . 16

2.2.2 Dimensionless equations . . . 18

2.3 Upscaled model . . . 19

2.3.1 Capillary-dominant case : Nc≈ O(1) . . . 21

2.3.2 Balance case : Nc= O(ε) . . . 25

2.3.2.1 Effective flux function . . . 25

2.3.2.2 Numerical implementation . . . 26

2.4 Validation of upscaled models . . . 27

2.4.1 Capillary-dominant case . . . 28

2.4.2 Balance case . . . 30

2.5 Summary and conclusions . . . 34

Bibliographie . . . 36

3 Buoyant flow of CO2 through a semi-permeable layer of finite extent 39 3.1 Introduction . . . 40

3.2 Two-phase incompressible, immiscible flow model . . . 41

3.3 One-dimensional piecewise homogeneous porous medium . . . 43

3.3.1 Interface continuity conditions . . . 44

3.3.2 Flow from k− _{to k}+ _{. . . 48}

3.3.3 Flow from k+ _{to k}− _{. . . 49}

3.4 Single horizontal layer of finite extent . . . 52

3.4.1 Gravity current model . . . 53

3.4.2 Capillary-free case . . . 56

3.4.2.1 Maximum inflow flux . . . 57

3.4.2.2 Impact of total velocity fluctuations . . . 60

3.4.3 Gravity-dominant flow . . . 62

3.5 Conclusion . . . 65 ix

x TABLE DES MATIÈRES 3.6 Appendix - Steady state gravity current under semi-permeable barrier fed

by an an uniformly distributed source term for the capillary-free case . . . 67

3.7 Application of gravity current model in the 1D case . . . 68

Bibliographie . . . 70

4 Mise à l’échelle de la migration de CO2 dans un système hétérogène périodique 73 4.1 Contexte et système étudié . . . 74

4.2 Détermination du flux gravitaire maximal . . . 75

4.2.1 Modèle de milieu stratifié équivalent . . . 75

4.2.2 Analyse du flux maximal . . . 76

4.2.2.1 Inclusions imperméables . . . 76

4.2.2.2 Inclusions semi-perméables . . . 77

4.2.3 Validation par simulation numérique de l’hypothèse du flux maximal 77 4.2.3.1 Cas 3a : Inclusion imperméable . . . 79

4.2.3.2 Cas 3b : Inclusion semi-perméable . . . 80

4.3 Développement asymptotique à double échelle . . . 83

4.3.1 Problème de l’écoulement . . . 86

4.3.2 Problème du transport . . . 87

4.4 Flux total mis à l’échelle . . . 90

4.4.1 Inclusions imperméables - sans capillarité (ki_{= 0, p} c= 0) . . . 90

4.4.2 Inclusions perméables - sans capillarité (ki_{6= 0, p} c= 0) . . . 96

4.4.3 Inclusions imperméables - avec capillarité (ki_{= 0, p} c6= 0) . . . 102

4.4.4 Inclusions perméables - avec capillarité (ki_{6= 0, p} c6= 0) . . . 105

4.5 Validation des modèles et discussion . . . 108

4.6 Mise à l’échelle de la perméabilité relative . . . 112

4.6.1 Méthodologie . . . 112

4.6.1.1 Méthode de l’écoulement monophasique (SPA) . . . 112

4.6.1.2 Méthode basée sur la simulation de l’écoulement dipha-sique (NURP) . . . 114

4.6.2 Application aux différents cas d’inclusions . . . 115

4.6.2.1 Inclusions imperméables . . . 115

4.6.2.2 Inclusions semi-perméables . . . 118

4.7 Conclusion . . . 120

4.8 Appendice - Flux gravitaire effectif d’un milieu 1D avec variation de per-méabilité, cas sans capillarité . . . 121

Bibliographie . . . 123

5 Simulation numérique de l’injection de CO₂ dans des milieux 3D 125 5.1 Introduction . . . 126

5.2 Présentation du code DuMux _{. . . 127}

5.2.1 Présentation générale . . . 127

5.2.2 Schéma de discrétisation spatiale . . . 127

5.2.3 Schéma de discrétisation temporelle . . . 128

5.2.4 Modèles disponibles pour la simulation de la migration de CO2 . . 128

5.2.4.1 Classification des modèles . . . 128

5.2.4.2 Formulation des modèles . . . 130

TABLE DES MATIÈRES xi

5.3 Mesure des performances du code DuMux _{. . . 132}

5.3.1 Présentation du problème . . . 133

5.3.2 Récapitulatif des simulations . . . 134

5.3.3 Résultats numériques . . . 134

5.3.3.1 L’effet du schéma numérique . . . 134

5.3.3.2 L’effet du maillage . . . 136

5.3.4 Discussion . . . 138

5.4 Injection de CO2 dans un réservoir hétérogène tridimensionnel . . . 139

5.4.1 Milieux périodiques . . . 139

5.4.1.1 Présentation du cas test . . . 139

5.4.1.2 Résultats numériques . . . 140

5.4.2 Milieux fluviatiles . . . 140

5.4.2.1 Présentation du cas test . . . 140

5.4.2.2 Résultats numériques . . . 142

5.4.3 Réservoir SPE10 . . . 142

5.4.3.1 Présentation du cas test . . . 142

5.4.3.2 Résultats numériques . . . 143

5.5 Conclusion et perspectives . . . 145

5.6 Appendice - Panorama des codes utilisés pour la séquestration géologique de CO2 . . . 146

5.7 Appendice - Variation du nombre d’itérations pour le cas Implicite - ALU-Grid - 2p . . . 147

Bibliographie . . . 148

6 Conclusion générale et perspectives 151 6.1 Bilan de la thèse . . . 152

6.2 Perspectives . . . 154

Bibliographie . . . 155

Appendices 157 A Modèle mis à l’échelle, cas de l’injection dominante sans capillarité 161 A.1 Modèle analytique . . . 162

A.2 Validation du modèle . . . 167

A.2.1 Présentation du cas test . . . 167

A.2.2 Calcul des paramètres effectifs . . . 167

A.2.3 Résultat des simulations : Solution du problème macroscopique . . 169

A.2.4 Résultat des simulations : Dispersion longitudinale . . . 170

A.3 Conclusion . . . 172

B Régime de gravité dominante, sans capillarité - Analyse perturba-tive 173 B.1 Introduction . . . 174

B.2 Modèle analytique . . . 174

B.3 Validation du modèle mis à l’échelle . . . 180

B.3.1 Présentation du cas test . . . 180

B.3.2 Flux gravitaire effectif . . . 180

xii TABLE DES MATIÈRES

B.3.3.1 Résultat des simulations . . . 182

B.3.3.2 Validation du modèle mis à l’échelle . . . 185

B.4 Conclusion . . . 185

Chapitre

1

Introduction

Le commencement est la moitié de tout.

Pythagore Sommaire 1.1 Séquestration géologique du CO2. . . 2 1.2 Principe du stockage . . . 4 1.3 Objectif de la thèse . . . 4 1.4 Plan du manuscrit . . . 6 Bibliographie . . . 9 1

2 Chapitre 1. Introduction

1.1

Séquestration géologique du CO

De nos jours, il existe un consensus au sein de la communauté scientifique et de la popu-lation sur le fait que le climat de la planète est en train de changer et que ce changement est attribué, en grande partie, à l’activité des êtres humains (GIE, 2013; IPCC, 2007). L’utilisation des carburants d’origine fossile (charbon, pétrole ou gaz), l’élevage, l’utili-sation de produits chimiques et la déforestation sont en effet à l’origine des émissions de gaz à effet de serre (GES), gaz reconnus comme la cause principale du réchauffement climatique de la planète.

Le dioxyde de carbone (CO2) provenant essentiellement de l’utilisation des combustibles fossiles (pétrole, gaz, charbon . . . ) représente plus de 60% de l’émission totale anthro-pique des GESs (GIE, 2007). Le contrôle des émissions de CO2devient donc une nécessité pour éviter les effets néfastes du changement climatique. Pour cela, le captage et stockage géologique du CO2 (CSC) se présente comme l’une des mesures prometteuses à moyen et long terme pour réduire l’émission mondiale de CO2. Le rapport publié en 2005 par le Groupement d’experts Intergouvernemental sur l’Evolution du Climat (GIEC) (GIE, 2005) prédit une réduction significative des émissions globales annuelles sur la période 2005-2095 en appliquant les mesures d’atténuation tel que le captage et stockage du CO2 émis par le secteur industriel. Cette solution permettrait de réduire d’un tiers environ l’émission annuelle de CO2.

On distingue trois grands types de formations géologiques considérées comme des ré-servoirs potentiels de stockage à long terme du CO2 : les aquifères salins profonds, les gisements de pétrole et de gaz naturels déplétés et les veines de charbon profondes inexploitées. D’autres possibilités de stockage sont également envisagées telles que le stockage entre des strates de schistes ou dans certaines formations basaltiques. Parmi tous les types de réservoirs envisageables, les aquifères salins (couches de roches poreuses et perméables saturées en eau salée impropre à la consommation) offrent les capacités de stockage les plus importantes (environ de 10 000 milliards de tonnes de CO2, chiffre estimé par le GIEC). Quelques projets de CSC dans les aquifères salins sont présentés dans le tableau 1.1.

Bien que le premier projet commercial d’injection de CO2 et de H2S dans un aquifère salin ait été réalisé dans le bassin d’Alberta au Canada au début des années 90 (Bachu et Gunter, 2004), le projet de Sleipner, situé dans le secteur norvégien de la mer du Nord, est reconnu comme l’opération commerciale pionnière dans le domaine du captage et stockage du CO2. L’injection de CO2 dans l’aquifère salin d’Utsira du champ de Sleip-ner Vest est menée depuis 1996. A ce jour, environ 15 millions tonnes de CO2 ont déjà été stockées et plus de 2 millions tonnes de gaz supplémentaires seront injectées d’ici 2020. L’aquifère d’Utsira, comme la plupart des aquifères géologiques, montre une architecture complexe de déposition, qui consiste en des blocs sableux hautement poreux (35% - 40%) et fortement perméables (Zweigel et al., 2004), séparés par des couches fines de marnes imperméables (Figure 1.1). Grâce à de nombreuses données géologiques et géophysiques acquises sur le site, Sleipner est devenu le site de référence pour étudier et comprendre le comportement hydrodynamique du mélange CO2 - saumure dans une formation géo-logique (Audigane et al., 2007; Bickle et al., 2007; Hayek et al., 2009; Singh et al., 2010).

1.1. Séquestration géologique du CO2 3

Tableau 1.1 – Projets de CSC dans les aquifères salins (Michael et al., 2010)

Projet Location Echelle Début Fin Vitesse Quantité

d’Inj. d’Inj. d’Inj. prévue (t/jour) (kt)

Frio Texas, USA Pilote 2004 2006 250 1,6

Nagaoka Japon Pilote 2003 2005 40 10

Ketzin Ketzin, Allemagne Pilote 2008 2010 86 60

Alberta Bassin Alberta B.C., Commercial 1990 5-190 Acide-gaz Canada

Snøhvit Mer de Barents, Commercial 2008 2 000 23 000 Norvège

Sleipner Mer du Nord, Commercial 1996 2 700 20 000

Norvège

In Salah Krechba Commercial 2004 3 500 17 000

Algérie

Gorgon Ile de Barrow,WA Commercial 2016 12 300 129 000 Australie

MGSC Decatur Decatur, IL, Démonstration 2010 2012 1 000 1000 Etats-Unis

MRCSP Gaylord, MI, Pilote 2008 2009 300-600 600

Michigan Basin Etats-Unis

SECARB Escatawpa, MS, Pilote 2008 2008 160 2,75

Mississippi Etats-Unis

SECARB Early Cranfield, MS, Démonstration 2009 2010 2 700 1 500 Etats-Unis

Les études sur Sleipner portent sur le développement conjoint de modèles mathéma-tiques et de simulateurs numériques. Ceux-ci jouent un rôle très important pour : (i) l’évaluation de la faisabilité du stockage de CO2 dans des formations souterraines ; (ii) l’analyse des essais in-situ ; et enfin (iii) la sélection de nouveaux sites de séquestration.

Figure 1.1 – Illustration schématique de l’injection de CO2 sur le site de séquestration de

Sleipner. Pendant le trajet de sa montée gravitaire, le CO2 est piégé en dessous des strates

peu perméables avant d’arriver à la roche de couverture Nordland. Noter l’exagération verticale (Bickle et al., 2007).

4 Chapitre 1. Introduction

1.2

Principe du stockage

Le CO2 est injecté sous pression à un niveau suffisamment profond, environ 0,8 km de profondeur, afin qu’il passe de l’état gazeux à l’état supercritique (pression supérieure à 74 bars et température supérieure à 31°C). Le CO2 supercritique possède des propriétés très particulières (Chadwick et al., 2008) : une grande diffusivité, de l’ordre de celle des gaz, et une densité élevée qui le dote d’une capacité de stockage importante.

Après injection de CO2, différents phénomènes physiques et chimiques se produisent et entraînent quatre mécanismes de piégeage (Bachu et al., 2007; Johnson et al., 2004) : • Accumulation sous la roche couverture ou stratification sous les strates peu perméables (piégeage structurel ou stratigraphique) : Comme le CO2 supercri-tique est plus léger que la saumure environnante, il migre vers le haut sous l’effet de gravité. Le CO2 s’accumule et se stratifie sous les strates imperméables qu’il rencontre sur le trajet de sa montée gravitaire.

• Immobilisation dans les pores (piégeage résiduel): Dès que l’injection s’arrête, l’imbibition se produit au niveau de la queue du panache de CO2 : la saumure tend à revenir dans les pores contenant du CO2 et à remplacer partiellement ce dernier. Une portion du CO2 est laissée sous forme de gouttelettes déconnectées ou résiduelles, et donc immobilisées dans les pores. Ce processus est appelé piégeage résiduel.

• Dissolution (piégeage par solubilité): Une partie du CO₂ injecté se dissout dans la saumure du réservoir. L’eau salée contenant le CO2 est plus lourde que la saumure, et par conséquent migre vers le bas du réservoir, ce qui diminue le risque de fuite du CO2 à travers la roche de couverture.

• Minéralisation (piégeage minéral) : La dissolution du CO2 dans la saumure va créer de l’acide carbonique, qui peut réagir avec les minéraux de la roche d’accueil. Ce processus, qui dépend des caractéristiques chimiques de la roche et de l’eau dans le ré-servoir, peut être rapide ou très lent. Dans tous les cas, il lie efficacement le CO2 à la roche.

Les deux premiers mécanismes de piégeage sont communément appelés piégeages

hydro-dynamiques, tandis que les deux derniers sont considérés comme des piégeages géochi-miques.

1.3

Objectif de la thèse

Dans le cadre de cette thèse, nous nous intéressons particulièrement au piégeage struc-turel/stratigraphique, qui est le mécanisme de piégeage dominant pendant la phase d’in-jection et au début de la période de stockage. Nous négligeons tous les phénomènes chimiques ainsi que l’immobilisation résiduelle du CO2 dans les pores. À l’échelle de temps considérée, la majeure partie du CO2 reste dans l’état supercritique. Par consé-quent, pour étudier la stratification du CO2 sous les strates imperméables, un modèle

1.3. Objectif de la thèse 5

d’écoulement diphasique incompressible et immiscible est tout à fait approprié.

Au cours de ces dernières années, plusieurs travaux de recherche ont été menés pour étudier par simulation numérique l’écoulement multiphasique dans les milieux poreux en général, et la migration du CO2 dans les réservoirs géologiques en particulier (Olden-burg et al., 2001; Pruess et Garcia, 2002; Pruess et al., 2004; Flemisch et al., 2011; Lie

et al., 2012). Cependant, intégrer toutes les données géologiques d’un réservoir dans des

simulations pose des problèmes en termes de temps de calcul et de taille de mémoire. Par conséquent, il est souhaitable de disposer de modèles globaux ou effectifs permettant de simuler l’écoulement dans des milieux homogènes équivalents et qui sont capables de te-nir compte de l’influence de la variabilité de faciès à micro-échelle sur le comportement des fluides à macro-échelle. La technique utilisée pour le transfert des informations à partir des échelles inférieures vers l’échelle du réservoir est nommée "méthode de mise à l’échelle" (upscaling, en anglais).

Afin d’étudier analytiquement l’effet de l’hétérogénéité sur la migration du CO2, les modèles géologiques conceptuels, soit périodiques, soit aléatoires, sont utilisés très fré-quemment. Une approche efficace pour traiter le problème de l’écoulement dans les milieux aléatoires est l’approche stochastique. Cette technique est basée sur l’hypothèse de distribution aléatoire des hétérogénéités. Elle conduit à calculer des paramètres ef-fectifs en prenant la moyenne stochastique des équations hydrodynamiques (Yeh et al., 1985; Mantoglou et Gelhar, 1987; Desbarats, 1995; Chang et al., 1995; Neuweiler et al., 2003; Efendiev et Durlofsky, 2003). Néanmoins, cette méthode n’est valable que pour des milieux faiblement hétérogènes, i.e. les paramètres hétérogènes du milieu tels que la perméabilité, la porosité ... sont du même ordre de grandeur entre les couches.

Dans le cadre de cette thèse, nous considérons des milieux stratifiés avec des variations verticales significatives de perméabilité comme représenté schématiquement sur le site de séquestration de Sleipner. L’objectif principal est la mise à l’échelle, de l’échelle d’écou-lement local à l’échelle du réservoir, d’un modèle d’écoud’écou-lement diphasique avec gravité et

capillarité au sein d’un milieu stratifié constitué d’un réseau périodique de barrières peu

perméables horizontales, continues ou discontinues. Le cadre théorique est la méthode de développement asymptotique à double échelle pour les milieux périodiques (Sánchez-Palencia, 1980; Bensoussan et al., 1978).

Notons que la prise en compte de la gravité introduit des difficultés mathématiques dans toutes les méthodes de mise à l’échelle car elle conduit à la ségrégation gravitaire des phases, ce qui change entièrement la physique (Yortsos, 1995). La migration immiscible par gravité du CO2 dans les aquifères confinés homogènes et infinis est étudiée par de nombreux auteurs (Hesse et al., 2007, 2008; MacMinn et al., 2010) à l’aide de l’ap-proche des courants de gravité (gravity current (GC) en anglais). Récemment, Golding

et al.(2011) ont étendu cette approche pour considérer la migration du mélange

dipha-sique autour d’une barrière horizontale imperméable d’une longueur finie, en prenant en compte la capillarité. Cependant, à ce jour, il y a très peu de travaux de recherche sur l’écoulement diphasique dans un milieu stratifié périodique. Ce sujet fait l’objet de ce travail de thèse.

6 Chapitre 1. Introduction

1.4

Plan du manuscrit

Ce travail de thèse s’articule essentiellement autour de la construction de modèles analy-tiques de mise à l’échelle, accompagnée par des simulations numériques de l’écoulement diphasique. Les modèles homogénéisés présentés dans ce manuscrit sont développés pour différents types de milieux stratifiés périodiques à l’aide de la théorie d’homogénéisation et de l’approche GC. Nous commençons par des milieux parfaitement stratifiés dont les strates sont continues et de longueurs infinies. Notre étude est ensuite étendue au cas de l’écoulement dans un milieu bi-dimensionnel constitué de strates discontinues. Fina-lement, nous considérons différents types de milieux hétérogènes tridimensionnels. La validation numérique de ces modèles exige un code numérique efficace dans la simula-tion des écoulements multiphasiques en milieux hétérogènes. Par efficace nous signifions suffisamment précis en termes de schéma numérique, des temps de calcul raisonnables pour des maillages de quelques centaines de milliers d’éléments et enfin suffisamment er-gonomique pour pouvoir étudier n’importe quelle géométrie. Ce souci d’efficacité nous a

conduit à tester plusieurs codes/outils, tels que MRST (Sintef, www.sintef.no/projectweb/mrst/), TOUGH2 (LBNL, http://esd1.lbl.gov/research/projects/tough/) et DuMux _(Flemisch

et al. (2011), http://www.dumux.org/). Finalement nous avons convergé vers DuMux,

code développé par l’Université de Stuttgart. Dans ce qui suit, toutes les simulations des écoulements dans les milieux 2D et 3D sont réalisées à l’aide de ce code.

La suite de ce manuscrit est organisée selon les chapitres suivants :

Chapitre 2 : Mise à l’échelle de la migration du CO2 à travers un milieu

périodique parfaitement stratifié

Nous considérons dans ce chapitre la migration du mélange diphasique CO2-saumure dans un milieu périodique parfaitement stratifié constitué de couches homogènes conti-nues perpendiculaires à la direction d’écoulement. Cette configuration conduit à un mo-dèle unidimensionnel. Lorsque les forces de gravité et de capillarité sont présentes, l’hy-drodynamique du mélange diphasique à l’interface entre les couches est gouvernée par la continuité du flux total et de la pression capillaire. Ces deux conditions de continuité servent à la construction des modèles de mise à l’échelle pour différents régimes d’écou-lement qui sont caractérisés par l’importance relative entre les forces de gravité et de capillarité. Le flux gravitaire mis à l’échelle est ensuite déterminé pour chacun des cas à partir de la résolution d’un problème à l’échelle de la cellule. Dans le cas où l’effet de gravité est dominant à l’échelle macroscopique, la présence de ségrégation gravitaire rend le problème local non standard ; une résolution numérique est alors nécessaire. Les modèles homogénéisés sont ensuite validés par simulation numérique pour le cas capilla-rité dominante et et le cas où la gravité et la capillacapilla-rité sont du même ordre de grandeur. Toutes les simulations sont réalisées avec un code "fait maison" basé sur l’algorithme de C. Cancès (Cances, 2008) et utilisant le schéma de discrétisation de Godunov (Godunov, 1959).

1.4. Plan du manuscrit 7

Chapitre 3 : Migration par gravité du CO2 autour de et à travers une strate

semi-perméable isolée

Avant d’étudier l’écoulement du CO2 au sein d’un milieu multistrate périodique bidi-mensionnel, il faut tout d’abord considérer la migration du mélange diphasique autour et à travers une strate isolée. Notons que le cas où la strate est imperméable a été étudié par Golding et al. (2011). Le traitement des strates semi-perméables et en prenant en compte à la fois la gravité et la capillarité nous conduit à considérer le comportement hydrodynamique des fluides à l’interface entre la matrice et la strate. Pour cette étude, nous considérons, dans un premier temps, l’écoulement du CO2dans un milieu bi-couche dont la perméabilité de chaque couche est différente. Le passage de CO2 à travers l’in-terface est discuté pour chaque combinaison de perméabilités du milieu.

Nous étudions ensuite la migration du CO2 dans un réservoir constitué d’une seule strate isolée. Comme la barrière est semi-perméable, le CO2 peut soit passer à travers la strate, soit s’accumuler et s’étaler sous l’interface matrice-strate et remonter vers l’extrémité des strates. Nous avons proposé un nouveau modèle de courant de gravité prenant en compte le terme de fuite à travers la barrière dans deux cas, sans et avec capillarité. Pour clore ce chapitre, des cas tests numériques sont effectués afin de valider le modèle proposé. Cette partie constitue un article à soumettre à Journal of Fluid Mechanics, dont la mise en page a été adaptée au format du manuscrit.

Chapitre 4 : Mise à l’échelle de la migration de CO2 dans un système

pério-dique de strates

Ce chapitre décrit la mise à l’échelle de l’écoulement d’un panache de CO2 dans un système stratifié périodique bi-dimensionnel. L’objectif est de déterminer les lois et pa-ramètres mis à l’échelle du milieu homogène équivalent, tels que le flux effectif et les perméabilités absolue et relative. En supposant que la condition initiale et les conditions aux limites du milieu sont symétriques, le problème se simplifie donc en la migration du CO2 dans une colonne verticale constituée de strates discontinues décalées.

Dans un premier temps, nous démontrons, par modélisation analytique et simulation nu-mérique, que le flux gravitaire entrant dans la colonne ne peut pas dépasser une valeur maximale. Ensuite, nous effectuons un développement asymptotique à double échelle, qui montre que quand la gravité est dominante, le flux mis à l’échelle ne peut être dé-terminé qu’à partir de la résolution d’un problème local non standard. La particularité de ce problème est notamment liée à la stratification du CO2 sous l’effet de gravité dans la cellule, qui ne peut pas être décrite par la méthode d’homogénéisation classique. Le problème local est donc résolu à l’aide de l’approche GC. Différents cas sont étudiés : nous considérons tout d’abord un cas simplifié, inclusion imperméable et sans capillarité, que nous étendons progressivement en étudiant les inclusions perméables et en prenant compte la capillarité.

Le flux mis à l’échelle est déterminé et ensuite comparé à celui obtenu à partir des simulations numériques pour chacun des cas. Pour finir, les courbes de perméabilité

8 Chapitre 1. Introduction

relative mises à l’échelle sont déterminées à l’aide de deux approches : une approche semi-analytique SPA (Single-Phase Averaging) et une autre approche a posteriori NURP (Numerical Upscaled Relative Permeability). L’approche SPA suppose une ségrégation complète des deux phases. Elle est basée sur l’approximation qui considère l’écoulement diphasique comme la somme de deux écoulements indépendants : un écoulement mo-nophasique de type Darcy d’une phase et un écoulement dans des courants de gravité de l’autre phase. Ces écoulements ont lieu dans un espace restreint par les strates et l’écoulement de l’autre phase. Les perméabilités relatives obtenues à l’aide de l’approche NURP sont calculées directement à partir des résultats des simulations numériques effec-tuées avec le code DuMux_{. Le domaine de validité de chaque méthode est ensuite discuté.} Chapitre 5 : Simulation numérique de l’injection de CO2 dans des milieux 3D Au vu de la complexité des problèmes physiques soulevés dans les milieux 2D, nous considérons le problème de l’écoulement tri-dimensionnel de façon prospective. Concrè-tement, nous avons effectué une étude numérique de l’injection et de la migration du CO2 dans un réservoir tridimensionnel. Dans un premier temps, nous avons étudié la performance du code DuMux _{à simuler par parallélisation un écoulement diphasique} in-compressible et immiscible dans un réservoir homogène tridimensionnel. Dans un second temps, nous montrons quelques résultats des simulations numériques de l’injection et de la migration du CO2 dans différents types de milieux hétérogènes tridimensionnels : milieux périodiques, milieux fluviatiles et milieu réservoir SPE 10.

BIBLIOGRAPHIE 9

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Chapitre

2

Upscaling of CO

₂

vertical

migration through a periodically

layered media

Bad times have a scientific value. These are occasions a good learner would not miss.

Ralph Waldo Emerson

Sommaire

2.1 Introduction . . . 14 2.2 Two-phase incompressible, immiscible flow model . . . 16 2.3 Upscaled model . . . 19 2.4 Validation of upscaled models . . . 27 2.5 Summary and conclusions . . . 34 Bibliographie . . . 36

14Chapitre 2. Upscaling of CO2 vertical migration through a periodically layered media

2.1

Introduction

Nowadays, it is widely recognized that anthropogenic activities, particularly the burning of fossil fuels, is the main reason of the increasing of carbon dioxide (CO2) accumulation in the atmosphere. This trend, with a constant acceleration, contributes largely to global warming. It expressed urgency to find short-term and medium-term solutions that allow a cleaner employment of fossil fuels, while giving us time to develop the technology and infrastructure required by renewable energy utilization.

Among the various techniques to reduce greenhouse gas emissions, the geological storage of CO2 in supercritical form in gas or oil depleted reservoirs or deep saline aquifers have emerged as one of potential solutions due to their immediate reduction of emissions, the large volumes available, and the wide geographic distribution of these formations (Phi-lippe and René, 2003). Of all the possible CO2storage options, geosequestration in saline aquifers is generally considered as having the greatest CO2 storage potential (Mouche et al., 2010; Michael et al., 2010). It should be noticed that the Sleipner project which started in 1996 is the world’s first demonstration of carbon dioxide capture and under-ground storage. The CO2 is injected at a level deep enough to achieve the supercritical state promoting the injectivity and the effective storage capacity. After injection, the CO2 which is lighter than surrounding brine rise upward to the top of the reservoir due to the buoyancy effect and stratifies under low-permeability layers. At Sleipner, the sub-surface CO2 plume has been monitored from the surface by time-lapse seismic surveys. The seismic data obtained in 2002 showed the CO2 accumulation under the mudstone layers (Figures 2.1).

Geological reservoirs are in general heterogeneous. Geological heterogeneity which in-cludes variations in porosity, lithology, mechanical properties, structure... has significant effect on the transport in the porous media. Furthermore, the multiphase flow model amplifies the impact of small-scale structures and heterogeneity on macro-scale beha-vior. Simulating multiphase flow in complex but realistic medium requires a very high numerical resolution that leads to a colossal CPU times as well as poses challenges for the convergence of mathematical schemes. Therefore, it is desirable to derive global or effec-tive models of equivalent homogeneous reservoirs which take into account the influence of micro-structure on the macro-scale behavior. The technique used for transforming information from the process scale to the simulation scale is named upscaling. Different categories of the such technique are outlined by Eichel et al. (2005). Among them, the homogeneization method using asymptotic expansion draws our attention because this approach is suitable to the modeling of multiphase flow in stratified media, which is the case of some sequestration sites, e.g. Utsira formation at the Sleipner field.

Although gravity effect on migration of fluids was investigated in the past using both ana-lytical (Shvidler and Levi, 1970; Siddiqui and Lake, 1997; Silin et al., 2009; Nordbotten et al., 2005) and numerical approaches by a number of researchers (Doughty, 2007; Riaz et al., 2008), the upscaling of such a problem is less studied than the capillary-driven and viscous-driven flow problems. Szymkiewicz et al. (2011) studied the upscaling of incompressible or slightly compressible two phase flow in 2D porous media in the capil-lary dominant case using homogenization method. In this work, the effective parameters and the upscaled constitutive relationship are numerically derived by using the capillary

2.1. Introduction 15

Figure 2.1 –The Sleipner plume profile, viewed from the southeast, circa July 2002. The Figure

shows the distribution of injected CO2 after 5 Mt of injected CO2(Bickle et al., 2007). The nine

plume layers are well defined aerially, having ponded beneath intra-formational shales within the Utsira Sand. (after Cavanagh and Haszeldine (2014))

. equilibrium assumption.

Panfilov and Floriat (2004) proposed an upscaled model which seems to be applicable only to the viscous-driven case. Bolster et al. (2011) investigated the impact of buoyancy on front spreading in low heterogeneous porous media in two-phase immiscible flow using stochastic method.

Mouche et al. (2010) proposed an homogenized model for the migration of CO2 plume under buoyancy effect in a vertical column consisting of a perfectly periodic layered po-rous medium. Moreover, although this model works well for capillary-free flow, it cannot be applied to the case where the capillarity and gravity force are in the same order of magnitude. This paper addresses this case and complements the work of Mouche et al. (2010).

In the present work, one of the main cases of interest is the countercurrent flow, qt= 0, which means that there is no phase injection into the column. We consider vertical rise towards the top of reservoir due to gravity effect in a 1D vertical column with periodic variation of permeability (Figure 2.2). The dynamics of the two phase flow CO2-brine depends strongly on the scaling of the relative ratio between gravity and capillarity forces, characterized by the capillary number Nc which will be defined in Section 2.2.2. According to the value of Nc at microscale, we classify the problem into four different

16Chapitre 2. Upscaling of CO2 vertical migration through a periodically layered media regimes of CO2 migration : capillarity-dominant flow (Nc  1), balance case (Nc ≈ 1), gravity-dominant flow (Nc  1) and capillary-free flow (Nc = 0). For each case, a theoretical result is developed and compared to numerical simulation results.

To complete this research, we address the case where all processes are present : capil-larity, gravity and viscosity. We propose and validate a model of CO2 migration with a low injection rate at the inlet of a periodically stratified media. The matching between analytical and numerical results proves the accuracy of the homogenization method.

2.2

Two-phase incompressible, immiscible flow model

2.2.1 Mathematical formulation

We consider a vertical column filled with a periodic layered porous medium made up of low and high permeability layers (Figure 2.2). Without any loss of generality we as-sume that the layers have the same thickness equal to δc. The column height is H and supposed to be much greater than δc. Consequently, the small parameter ε = δc/H is

much smaller than one, ε  1. Only the intrinsic permeability is supposed to be hete-rogeneous and the other material parameters (e.g. porosity) remain constant over the medium. The absolute permeabilities of the low and high permeability layers are k− _and k+ respectively.

Figure 2.2 –Vertical periodic stratified porous medium.

Let us consider two-phase flow and assume that the fluids are incompressible, immiscible and there is no mass transfer between phases. Such a problem can be described by mass conservation equations and modified Darcy’s law for the two phases. The mass balance of phase α is expressed as :

2.2. Two-phase incompressible, immiscible flow model 17

φ∂Sα

∂t +

∂qα

∂z = Sα , α= nw, w, (2.1)

where φ [-] is the porosity of the medium, the subscripts w and nw denote the wetting (brine) and non-wetting (CO2) phase. Sα [-], qα [L/T] and Sα [L/T] are respectively the saturation, darcian velocity and sink/source terms of the phase α, z is the spatial direction oriented positively upwards. The velocity qα is given by the modified Darcy’s law : qα = − kkrα µα _∂p α ∂z − ραg  , α= nw, w, (2.2)

where g [L/T2_{] is the gravity acceleration ; k [L}2_{] is the absolute permeability of medium} in single phase flow which varies spatially within heterogeneous media k = k(z) ; pα [M/(LT2_{)], ρα [M/L}3_{], µα [M/(LT)] and kr}

α [-] denote, respectively, the pressure, the

density, the viscosity and the relative permeability of phase α. The relative permeabilities are assumed to be functions of the phase saturations only. They can be given by either a Van Genuchten (Van Genuchten, 1980) or a Brooks and Corey’s (Brooks and Corey, 1964) model. In this paper, only Brooks-Corey is considered :

krw = S

2

we, (2.3)

krnw = (1 − Swe)

2_{, (2.4)}

where Swe denotes the normalized wetting saturation, defined by :

Swe =

Sw− Swr

1 − Swr − Snwr

. (2.5)

In Eq. (2.5), Sαr denotes the residual saturation (or irreversible saturation) of phase α.

For simplicity, in this paper we neglect all residual saturations. The saturations of wetting and non-wetting phase sum up to 1 : Sw+ Snw = 1. In what follows, the saturation of non-wetting phase Snw is written for convenience as S. Therefore, Eqs. (2.3) and (2.4) can be rewritten as :

krw(S) = (1 − S)

2_{, (2.6)}

krnw(S) = S

2_{. (2.7)}

The capillary pressure is defined as :

pc(S, z) = pnw− p_w. (2.8)

and is given by the Leverett relationship

pc= σ

s

φ

k(z)J(S), (2.9)

where J(S) = (1 − S)−1

2 is the Leverett J-function depending on the saturation of non-wetting phase, σ [Pa] is the interfacial tension between phases. The entry pressure corresponds to the capillary pressure value when S = 0 :

pe(z) = pc(0, z) = σ

s

φ

18Chapitre 2. Upscaling of CO2 vertical migration through a periodically layered media Eqs. (2.2) and (2.8) allow to recast the non-wetting phase darcian velocity as following :

qnw= qtf(S) + k(z) µw Λ(S)  ∆ρg −∂pc ∂z  , (2.11)

where qtis the total velocity :

qt= qw+ qnw, (2.12) and f(S) = krnw(S) krnw(S) + Mkrw(S) , Λ(S) = krnw(S)krw(S) krnw(S) + Mkrw(S) , (2.13)

with M = µnw/µw, the viscosity ratio, and ∆ρ = ρw − ρnw. As the system is unidi-mensionnal the total velocity is constant, equal to zero in the case of counterflow (no injection) or to the CO2injection rate at the bottom of the column if CO2is injected into the domain. In Eq. (2.13), f(S) is the fractional flux, a monotonic increasing S-shaped function and Λ(S) the buoyant flux function, a S-bell shaped function (Hayek et al., 2009; Mikelic et al., 2002; Van Duijn et al., 2007).

Since sink/source terms are absent and by substituting Eq. (2.11) into Eq. (2.1), we deduce : φ∂S ∂t + ∂ ∂z  qtf(S) + k(z) µw Λ(S)  ∆ρg −∂pc ∂z  = 0. (2.14) 2.2.2 Dimensionless equations

Let us define dimensionless variables by dividing each physical variables by its charac-teristic value. It should be noted that the dimensionless numbers for two-phase flow at the macro-scale can be different from one author to another. In order to consider large scale behavior of the fluids, the depth H of the medium is set as the characteristic length scale and the time T for CO2 to migrate all along the column filled with the high permeability material only is set as the characteristic time of observation. The intrinsic permeability of this material k+ _{is also chosen as the permeability scale of the medium.} In the following equation, the characters with hat denotes the dimensionless variables :

ˆz = z H , ˆk(z) = k(z) k+ , ˆt= k+g(ρw− ρg) φHµw t. (2.15)

These scalings allow to introduce our definitions of the capillary number Ncand viscous number Nq : Nc= σ (ρw− ρnw)gH s φ k+ , Nq= qtµw (ρw− ρnw) gk+. (2.16) The capillary number and the viscous number measure at the column scale the relative importance of the capillary flux and the viscous flux respectively with respect to the gravity flux. Note that the capillary number depends on the dimension of the domain. Thus, it might be worth introducing the notion of capillary number at microscale. The capillary number at micro scale, denoted N∗

c, is scaled by the layer thickness δc instead of the column height H.

N_c∗ = σ (ρw− ρnw)gδc s φ k+ = Nc ε . (2.17)

2.3. Upscaled model 19

By using the dimensionless number in Eq. 2.16, the dimensionless non-wetting phase transport equation reads :

∂S ∂t + ∂ ∂z ( Nqf(S) + k(z) Λ(S) 1 − Nc p k(z)J 0 s ∂S ∂z !) = 0. (2.18)

where, to simplify notations, dimensionless variables are written without hats.

In the Eq. (2.18), the quantity inside the braces is the flux of the non-wetting phase Φ : Φ(S) = Nqf(S) + k(z)Λ(S) 1 −pNc k(z)J 0 s ∂S ∂z ! . (2.19)

The two first terms in Eq. (2.19) represent the convective flux C(S) = F (S) + G(S) =

Nqf(S) + k(z)Λ(S) and the last term the diffusive flux D(S).

2.3

Upscaled model

CO2 migration in a porous medium with periodically varying permeability can be ups-caled by adopting the homogenization procedure introduced by Bensoussan et al. (1978) and Sánchez-Palencia (1980). Following the work of Mouche et al. (2010), we introduce two spatial variables, the macroscale variable z and the microscale variable ξ = z/ε. The permeability is defined as :

kε(z) = k(z/ε) = k(ξ) =

(

k− if 2i − 1 ≤ ξ ≤ 2i,

k+ _{if 2i ≤ ξ ≤ 2i + 1,} (2.20) where the interfaces between the layers are located at the points {εi : i ∈ Z}.

A characteristic cell Ω contains a low-permeability layer (−1 < ξ < 0) and a high-permeability layer (0 < ξ < 1). The saturation can be rewritten as power series of

ε:

S(z, t) ≡ S(z, ξ, t) = S0(z, ξ, t) + ε1S1(z, ξ, t) + ε2S2(z, ξ, t) + ... where the function Si(z, ξ, t) is periodic in ξ.

A macroscale model will be called of order n if it describes the behavior of the upsca-led saturation S(z, t) up to the εn _{order (Panfilov and Floriat, 2004). We consider the} zeroth-order upscaled model of the problem. The effective saturation is thus defined as the averaged value of S0(z, ξ, t) over the cell Ω :

S(z, t) = 1 kΩ k Z Ω S0(z, ξ, t)dΩ = 1₂ Z 1 −1 S0(z, ξ, t)dξ. (2.21) The derivation operator with respect to z becomes :

∂ ∂z = ∂ ∂z + 1 ε ∂ ∂ξ. (2.22)

20Chapitre 2. Upscaling of CO2 vertical migration through a periodically layered media Substituting the saturation expansion Eq. (2.21) and the derivation Eq. (2.22) into Eq. (2.18), we obtain : ∂(S0+ εS1+ ε2S2+ ...) ∂t +  _∂ ∂z + 1 ε ∂ ∂ξ  Φ(ξ, S) = 0 (2.23)

The asymptotic form of flux term reads : Φ(S) ≡ Φ(ξ, S) = γ(ξ, S) + α(ξ, S) −∂S ∂z + 1 ε ∂S ∂ξ  β(ξ, S) = ε−1_Φ −1(ξ, S0) + ε0Φ0(ξ, S0, S1) + ε1Φ1(ξ, S0, S1, S2) + ... (2.24) with α(ξ, S) = k(ξ)Λ(S), β(ξ, S) = Nc q k(ξ)Λ(S)dJ dS, γ(S) = Nqf(S). (2.25)

Here and at the sequel, the first and second derivatives in S of function Ψ(ξ, S) will be respectively denoted as Ψ0_{(ξ, S) and Ψ}00_{(ξ, S). The function Φ(S),} dJ

dS, α(ξ, S), β(ξ, S) and γ(S) must also be expanded as power series of ε :

Λ(S) = Λ(S0+ εS1+ ε2S2+ ...) = Λ(S0) + εS1Λ0(S0) + ε2 1 2(S1)2Λ00(S0) + S2Λ0(S0)  , J0(S) = J0(S0) + εS1J00(S0) + ..., α(ξ, S) = α(ξ, S0) + εS1α0(ξ, S0) + ..., β(ξ, S) = β(ξ, S0) + εS1β0(ξ, S0) + ..., γ(S) = γ(S0) + εS1γ0(S0) + ... (2.26)

Inserting these expansions and incorporating the terms of the same order εi_{, we deduce} the expansion flux expression :

Φ(ξ, S) = ε−1_Φ

−1(ξ, S0) + ε0Φ0(ξ, S0, S1) + ε1Φ1(ξ, S0, S1, S2) + ... (2.27) As discussed in Section 2.1, the flow regime depends strongly on the capillary number

Nc. There are four flow regimes :

1. Capillary-dominant case : Nc≈ O(1) (N∗

c ≈ O(1ε) at micro-scale) 2. Balance case : Nc≈ O(ε) (N_c∗ ≈ O(1) at microscale) 3. Gravity-driven case : Nc≈ O(ε2_{) (N}∗

c ≈ O(ε) at micro-scale) 4. Capillary-free case : Nc= 0 (N∗

c = 0)

The capillary-free case has been studied both for the piecewise constant medium by a number of authors (Kaasschieter, 1999; Cunha et al., 2004; Hayek et al., 2009) and per-fectly layered media by Mouche et al. (2010). We study here the two first flow regimes only, the capillary-dominant case and the balance case. The gravity-driven case is dis-cussed in the Chapter 3.

2.3. Upscaled model 21

2.3.1 Capillary-dominant case : Nc ≈ O(1)

The flux equations for different orders in ε are :

ε−1 : Φ−1(ξ, S0) = −β(ξ, S0) ∂S0 ∂ξ = 0 ε0 : Φ0(ξ, S0, S1) = γ(S0) + α(ξ, S0)−, − β(ξ, S0) _∂S 0 ∂z + ∂S1 ∂ξ  − S1β0(ξ, S0) ∂S0 ∂ξ . (2.28)

The saturation equations for different orders of ε are also easily derived :

ε−2 : ∂Φ−1 ∂ξ = − ∂ ∂ξ  β(ξ, S0) ∂S0 ∂ξ  , ε−1 : ∂Φ−1 ∂z + ∂Φ0 ∂ξ = − ∂ ∂z  β(ξ, S0) ∂S0 ∂ξ  + ∂ ∂ξ  γ(S0) + α(ξ, S0) − β(ξ, S0) _∂S 0 ∂z + ∂S1 ∂ξ  − S₁β0(ξ, S0) ∂S0 ∂ξ  , ε0 : ∂S0 ∂t + ∂Φ0 ∂z + ∂Φ1 ∂ξ = 0. (2.29)

At the cell scale, the saturation function Si(z, ξ, t) is defined by :

Si(z, ξ, t) =

(

S_i−(z, ξ, t) on (−1, 0),

S_i+(z, ξ, t) on (0, 1). (2.30)

In the capillary-dominant case, the flux Φ−1is equal to 0 (Mikelic et al., 2002). Therefore, we deduce from (2.28) that the saturation in the order ε0 _{is constant in each layer} (Mouche et al., 2010) :

S0(z, ξ, t) =

(

S₀−(z, t) on (−1, 0),

S₀+(z, t) on (0, 1). (2.31)

The discontinuous ε0_{-order flux functions in each cell are :} −1 < ξ < 0 : Φ− 0(z, t) = γ(S − 0) + k −_Λ(S− 0 ) − Nc √ k−_Λ(S− 0)J 0_(S− 0) ∂S₀− ∂z + ∂S₁− ∂ξ ! , 0 < ξ < 1 : Φ+ 0(z, t) = γ(S0+) + k+Λ+(S0+) − Nc √ k+Λ(S+ 0 )J 0_(S+ 0 ) ∂S₀+ ∂z + ∂S₁+ ∂ξ ! . (2.32)

We deduce the gradient of S1 in each layer : ∂S₁− ∂ξ = γ(S−₀) + k−Λ(S₀−) − Φ−₀(z, t) Nc √ k−Λ(S₀−)J0(S₀−) − ∂S₀− ∂z , (2.33) and ∂S₁+ ∂ξ = γ(S₀+) + k+Λ+(S+₀) − Φ+₀(z, t) Nc √ k+Λ(S+ 0)J0(S0+) −∂S + 0 ∂z . (2.34)

22Chapitre 2. Upscaling of CO2 vertical migration through a periodically layered media Integration of (2.33) over [-1,0] and (2.34) over [0,1] leads to :

S₁−(0) − S₁−(−1) = Z 1 0 ∂S₁− ∂ξ dξ= γ(S₀−) + k−Λ(S₀−) − Φ−₀(z, t) Nc √ k−_Λ(S− 0 )J0(S − 0) −∂S − 0 ∂z , (2.35) and S₁+(1) − S₁+(0) = Z 1 0 ∂S₁+ ∂ξ dξ= γ(S₀+) + k+Λ+(S₀+) − Φ+₀(z, t) Nc √ k+Λ(S+ 0 )J0(S0+) −∂S + 0 ∂z . (2.36)

Moreover, the ε1_{-order saturations in cells can be calculated from the continuity} condi-tion of capillary pressure at the interface ξ = 0 and its periodicity condicondi-tion at the cell endpoints ξ = ±1. Continuity of capillary pressure reads :

J(S₀−+ εS₁−(0, z, t) + ...) √ k− = J(S₀++ εS₁+(0, z, t) + ...) √ k+ , (2.37)

and its expansion gives :

ε0: J(S − 0 ) √ k− = J(S+₀) √ k+ , ε1: S₁−(0, z, t)J 0_(S− 0) √ k− = S + 1 (0, z, t) J0(S+₀) √ k+ . (2.38)

Capillary pressure periodicity condition reads :

J(S₀−+ εS₁−(−1, z, t) + ...) √ k− = J(S₀++ εS₁+(+1, z, t) + ...) √ k+ , (2.39) and yields ε1: S₁−(−1, z, t)J 0_(S− 0 ) √ k− = S + 1(+1, z, t) J0(S₀+) √ k+ . (2.40)

By incorporating (2.35), (2.36), (2.38) and(2.40), we obtain the relationship between

S₀−(z, t), S₀+(z, t) and Φ0(z, t) : J0(S₀−) √ k− ( γ(S₀−) + k−Λ(S₀−) − Φ−₀(z, t) Nc √ k−_Λ(S− 0 )J0(S − 0 ) −∂S − 0 ∂z ) = J0(S₀+) √ k+ ( γ(S₀+) + k+Λ+(S₀+) − Φ+₀(z, t) Nc √ k+_Λ(S+ 0 )J0(S0+) − ∂S + 0 ∂z ) . (2.41)

Finally, the zeroth order upscaled flux function which is a function of ε0_{-order saturation} in cells can be derived from Eq. (2.41) :

Φ0(z, t) = ₁ 2 k−_Λ(S− 0) + 1 k+_Λ+_(S+ 0) ( Nq 2k−_krw(S− 0 ) + Nq 2k+_krw(S+ 0) + 1− Nc 2 J0(S₀−) √ k− ∂S₀− ∂z + J0(S₀+) √ k+ ∂S₀+ ∂z !) . (2.42)