avec variation de perméabilité, cas sans capillarité
Notons S+ et S−les saturations dans les couches respectivement perméable et peu per-méable, saturations supposées être constantes. w+ et w−sont respectivement la fraction volumique correspondante de chaque couche dans une cellule. La saturation effective est la moyenne arithmétique dans tout le domaine :S= w+S++ w−S−. (4.79)
Mouche et al. (2010) ont traité un cas particulier où la fraction volumique w+= w−= 1 2. Selon cet article, le flux gravitaire mis à l’échelle est la moyenne harmonique des flux dans les couches et la contribution du flux dans la matrice est donc dominante. Dans notre travail, nous essayons d’établir une formule générale du flux mis à l’échelle G qui pourrait être valide pour toutes les valeurs de fraction volumique.
Commençons en écrivant : S+ = S − w−δS et S− = S + w+δS avec δS = S−− S+. La continuité du flux dans l’équation (4.55) se réécrit G = k+Λ(S − w−δS) = k−Λ(S +
w+δS). Développons la fonction Λ jusqu’au deuxième ordre en δS :
Λ(S − w−δS) ' Λ(S) − w−δSΛ0(S) + 21w−2δS2Λ00(S) (4.80) Λ(S + w+δS) ' Λ(S) + w+δSΛ0(S) + 21w+2δS2Λ00(S) (4.81) On obtient : w2− k− −w 2 + k+ ! G= w2 −Λ(S + δS) − w2 +Λ(S − δS) = (w2 −− w2+)Λ(S) + w−w+δSΛ0(S) (4.82)
122Chapitre 4. Mise à l’échelle de la migration de CO2 dans un système hétérogène périodique et w− k− +w+ k+ G= w−Λ(S + δS) − w+Λ(S − δS) = Λ(S) +12w−w+δS2Λ00(S) (4.83) À partir de l’équation (4.82), on déduit :
δS= 1 w−w+Λ0(S) " w2 − k− −w 2 + k+ ! G −(w2 −− w+2)Λ(S) # . (4.84)
La combinaision des équation (4.84) et (4.83) conduit à :
β(k−, k+)G = Λ(S) + Λ00(S) 2w−w+(Λ0(S))2 h α(k−, k+)G − (w2 −− w2+)Λ(S)i2 , (4.85) où α(k−, k+) = w−2 k− −w+2 k+ et β(k−, k+) = w− k− +w+ k+. Finalement, le flux effectif G s’écrit
G(S) = ψ(S) − q ψ(S)2− χ(S)(α(k−, k+))2 (α(k−, k+))2 , (4.86) où ψ(S) = (w2 +− w2−)Λ(S)α(k−, k+) +w−w+(Λ0(S))2 Λ00(S) β(k−, k+), (4.87) et χ(S) = (w2 −− w2 +)2Λ(S)2+2w−w+(Λ0(S))2 Λ00(S) Λ(S). (4.88) Si on néglige le terme δS2
, on peut déduire G(S) facilement à partir des équations (4.80) et (4.81) :
G(S) = w− 1 k− +w+
k+
Λ(S). (4.89)
On constate que le flux mis à l’échelle est également la moyenne harmonique dans tout le domaine. Le résultat obtenu dans ce travail est donc comparable à celui de Mouche
BIBLIOGRAPHIE 123
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Chapitre
5
Simulation numérique de
l’injection de CO2 dans des
milieux 3D
La vie, c’est comme une bicyclette, il faut avancer pour ne pas perdre l’équilibre.
Albert Einstein
Sommaire
5.1 Introduction . . . 126 5.2 Présentation du code DuMux . . . 127 5.3 Mesure des performances du code DuMux. . . 132 5.4 Injection de CO2 dans un réservoir hétérogène tridimensionnel . . . . 139 5.5 Conclusion et perspectives . . . 145 5.6 Appendice - Panorama des codes utilisés pour la séquestration
géolo-gique de CO2 . . . 146 5.7 Appendice Variation du nombre d’itérations pour le cas Implicite
-ALUGrid - 2p . . . 147 Bibliographie . . . 148
126 Chapitre 5. Simulation numérique de l’injection de CO2 dans des milieux 3D
5.1 Introduction
Au vu de la complexité des questions soulevées par la physique de l’écoulement dipha-sique CO2-saumure en 2D, l’application de la méthode de mise à l’échelle analytique au cas 3D n’est pas envisageable pour l’instant. Par ailleurs, une mise à l’échelle numérique nécessite de travailler sur des blocs d’un million de mailles minimum. Nous envisageons donc ici le problème 3D de façon prospective, et essentiellement en termes d’outils numé-riques et de parallélisation. Concrètement nous étudions ici les performances de calcul d’un écoulement diphasique CO2-saumure dans un réservoir tridimensionnel de grande échelle, homogène et hétérogène, initialement saturé en eau.
À l’heure actuelle, plusieurs simulateurs numériques permettent de traiter le problème d’un écoulement diphasique 3D dans un réservoir hétérogène. La complexité du code et l’efficacité des calculs dépendent fortement des caractéristiques physiques de l’écou-lement (nombre de phases, nombre de composants considérés) ainsi que de la méthode de discrétisation utilisée et du schéma numérique spatio-temporel. Le tableau 5.5 dans l’appendice 5.6 résume les caractéristiques de quelques codes ou outils disponibles pour la simulation numérique de problèmes physiques divers liés au contexte du stockage géo-logique du CO2 (Jiang, 2011).
Dans le cadre de cette thèse, nous avons choisi le code DuMux (Flemisch et al., 2011) développé par l’université de Stuttgart pour les raisons suivantes. Premièrement, DuMux est un code source libre entièrement accessible sur Internet. Deuxièmement, un grand nombre de modèles physiques sont disponibles dans DuMuxet permettent ainsi de traiter nombre de situations physiques. Finalement, le code DuMux est doté d’une capacité de calcul parallèle. Cela nous permet, non seulement l’exécution plus rapide du programme en distribuant le travail, mais aussi la résolution des problèmes plus gros, ce qui exige cependant plus de ressource matérielle accessible, notamment la mémoire.
L’objectif de ce présent chapitre est d’étudier les performances du code DuMux pour simuler par calcul parallèle l’injection et la migration de CO2 dans différents types de milieu 3D (homogène et hétérogène). Pour cela, nous considérons soit des problèmes simplifiés en appliquant l’hypothèse des écoulements incompressibles et immiscibles, soit des problèmes plus complexes mettant en jeu plusieurs difficultés (écoulement compres-sible prenant en compte le changement de phases ou/avec de fortes hétérogénéités du milieu).
Ce chapitre est organisé comme suit. La section 5.2 est dédiée à la présentation du code DuMux. Nous nous sommes fortement inspirés du manuel du code, accessible sur le site http://www.dumux.org. Ensuite, nous présentons dans la section 5.3 les mesures de performance du code DuMux en simulant sur un gros maillage de plus un million d’éléments l’écoulement incompressible et immiscible d’un mélange diphasique CO2 eau dans un milieu homogène. Nous étudions l’influence du schéma numérique utilisé, de la discrétisation et la décomposition du domaine sur l’efficacité parallèle du code. Enfin, dans la dernière section 5.4, nous montrons quelques résultats des simulations numériques en vue d’illustrer l’effet de l’hétérogénéité du réservoir sur la migration du panache de CO2 pendant la période d’injection.