5.7 Appendice - Variation du nombre d’itérations pour le
cas Implicite - ALUGrid - 2p
0 20 40 60 80
0 5 10 15
Number of time step [−]
Linear iteration count
Linear iteration count − 24 cores − 2p Maximal value of iteration number Minimal value of iteration number Averaged value iteration number
0 20 40 60 80
0 5 10 15
Number of time step [−]
Linear iteration count
Linear iteration count − 48 cores − 2p Maximal value of iteration number Minimal value of iteration number Averaged value iteration number
0 20 40 60 80
0 5 10 15
Number of time step [−]
Linear iteration count
Linear iteration count − 96 cores − 2p Maximal value of iteration number Minimal value of iteration number Averaged value iteration number
0 20 40 60 80
0 5 10 15
Number of time step [−]
Linear iteration count
Linear iteration count − 192 cores − 2p Maximal value of iteration number Minimal value of iteration number Averaged value iteration number
0 20 40 60 80
0 5 10 15
Number of time step [−]
Linear iteration count
Linear iteration count − 384 cores − 2p Maximal value of iteration number Minimal value of iteration number Averaged value iteration number
Figure 5.14 – Le nombre d’itération maximal, minimal et moyen pour chaque pas de temps
des simulations du cas Implicite - ALUGrid. Ces courbes restent quasiment inchangées quand le nombre de processeur augmente.
148 BIBLIOGRAPHIE
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Young, L., Russell, T. et al. (1993). Implementation of an adaptive implicit method.
Chapitre
6
Conclusion générale et
perspectives
Les deux mots les plus brefs et les plus anciens, Oui et Non, sont ceux qui exigent le plus de réflexion.
Pythagore Sommaire 6.1 Bilan de la thèse . . . 152 6.2 Perspectives . . . 154 Bibliographie . . . 155 151
152 Chapitre 6. Conclusion générale et perspectives
6.1 Bilan de la thèse
L’objectif de cette thèse est la mise à l’échelle, de l’échelle de la cellule (appelée échelle microscopique) à l’échelle du réservoir (appelée échelle macroscopique), d’un modèle d’écoulement avec gravité et capillarité du mélange diphasique CO2 - saumure au sein d’un milieu stratifié périodique. Le cadre théorique est la méthode d’homogénéisation basée sur le développement asymptotique à double échelle. Les paramètres effectifs du milieu homogène équivalent, tels que le flux effectif, la perméabilité absolue ainsi que la perméabilité relative effective, sont déterminés.
L’enjeu principal de ce travail est lié à la prise en compte de la gravité. Celle ci introduit des problèmes mathématiques, quelle que soit la méthode de mise à l’échelle envisagée, car elle conduit à une ségrégation gravitaire des deux phases, ce qui s’exprime par une stratification locale de la phase légère sous les strates peu perméables. Quand l’effet de gravité est dominant, la saturation à l’ordre ε0, où ε désigne le rapport d’échelles, désignée par S0, dépend à la fois des variables macroscopiques et microscopiques. La résolution de la saturation S0 à l’échelle microscopique devient donc complexe, et doit se faire soit numériquement soit analytiquement, ou semi-analytiquement, en appliquant des hypothèses simplificatrices. Pour cette raison les travaux de thèse se déclinent en deux grands axes : développement de modèles analytiques et simulation numérique. Le travail de simulation numérique a été mené avec le code DuMux développé à l’Université de Stuttgart.
Aspects théoriques
En ce qui concerne le modèle d’écoulement 1D dans un milieu périodique parfaitement stratifié, différents cas ont été étudiés, selon les valeurs du nombre capillaire Nc et du nombre gravitaire Ng. Nous nous sommes particulièrement intéressés au cas où la gravité est dominante à grande échelle (Nc 1, Ng 1). Dans ce cas, le flux mis à l’échelle ne peut être déterminé que numériquement à partir de la résolution du problème local en se basant sur l’algorithme de Mikelic et al. (2002). Le modèle mis à l’échelle semi-analytique a ensuite été validé par simulation numérique en comparant l’évolution temporelle de la saturation de CO2 dans le milieu hétérogène original avec celle dans le milieu homogène équivalent pour différentes valeurs du nombre capillaire Nc et du flux incident. Le bon accord entre les résultats du modèle homogénéisé et ceux des simulations numériques montrent l’efficacité de l’approche asymptotique dans le cas unidimensionnel.
Ce travail a ensuite été étendu au cas de l’écoulement dans un milieu bi-dimensionnel périodique constitué des strates horizontales discontinues. En 2D, la résolution numé-rique du problème local reste aussi couteuse en temps de calcul que la simulation du problème de l’écoulement diphasique dans le milieu complet. Nous avons donc considéré deux approches pour résoudre ce problème analytiquement (ou semi-analytiquement), soit par l’analyse en perturbation soit par l’approche des courants de gravité (GC). La première approche se limite au cas des milieux faiblement hétérogènes. À titre d’exemple, un modèle de mise à l’échelle d’un écoulement diphasique dominé par la gravité utilisant l’analyse en perturbation a été développé. Au contraire, l’approche GC est capable de traiter le problème local à petite échelle dans le cas où la perméabilité des strates et de la matrice sont très différentes. Cette approche est donc devenue notre référence théorique.
6.1. Bilan de la thèse 153 Cette approche est le seul moyen pour approximer analytiquement l’accumulation du CO2 sous les strates imperméables ou peu perméables.
Le problème local nous a conduit à considérer un milieu constitué d’une strate isolée de longueur finie. Dans un premier temps, nous avons appliqué le modèle de Golding et al. (2011) pour étudier le cas d’une strate imperméable. Dans un second temps, nous avons étendu ce modèle au cas d’une strate semi-perméable, en tenant compte du terme de fuite de CO2 à travers les strates. Les résultats obtenus avec notre modèle sur différents cas tests résolus numériquement, avec et sans capillarité, sont satisfaisants en terme de capacité d’estimation de : (i) l’épaisseur des courants de gravité sous l’interface entre la strate et la matrice ; et (ii) la zone de passage du CO2 à travers les strates lorsque la capillarité est prise en compte.
L’étape suivante a consisté à déterminer la courbe de flux mise à l’échelle à partir de la solution du problème local. Différents cas ont été considérés : du cas le plus simple, strate imperméable et sans capillarité, au cas le plus compliqué, strate semi-perméable et avec capillarité. Les courbes analytiques sont en assez bon accord avec les courbes obtenues numériquement, en particulier dans le cas d’un faible flux incident, ce qui conduit à des courants de gravité de faible épaisseur par rapport à leur largeur.
Finalement, nous avons proposé deux approches pour calculer les perméabilités relatives mises à l’échelle : une approche semi-analytique SPA et une approche à posteriori NURP. Les résultats de ces deux approches coïncident assez bien, notamment pour de faibles flux incidents. Par ailleurs, l’approche à posteriori a été validée en comparant le flux numérique obtenu avec le code DuMux avec le flux mis à l’échelle reconstruit à partir des courbes de perméabilité relative effective.
Aspects numériques
Bien que le but des simulations numériques réalisées dans ce travail ait été essentiellement de valider des modèles analytiques, nous avons consacré le dernier chapitre à une étude purement numérique et de nature exploratoire. Nous avons testé, dans ce chapitre, les capacités du code DuMux à simuler par un calcul parallèle un écoulement diphasique au sein d’un milieu tridimensionnel homogène ou hétérogène. Une étude des performances du code a été menée et nous a convaincu de la capacité de parallélisation de DuMux. Des simulations numériques de l’injection et la migration du CO2 dans différents types de milieux hétérogènes (milieux périodiques, milieux fluviatiles et milieu réservoir SPE 10) ont conclu ce chapitre.
Limitations
Pour la partie théorique, la principale limitation de notre approche vient de l’hypothèse simplificatrice d’équilibre vertical de l’approche GC. Cette hypothèse n’est valable que pour des courants de gravité relativement fins, i.e. dont la hauteur est faible par rapport à l’extension longitudinale, ce qui correspond à un flux incident relativement faible. De plus, l’approche GC n’est pas capable de décrire la transition de régime d’écoulement
154 Chapitre 6. Conclusion générale et perspectives
du CO2, du transport dans les courants de gravité qui sont macroscopiquement décon-nectés au transport dans des chenaux condécon-nectés quand le CO2envahit la micro-structure.