Problème du transport

Considérons maintenant le problème du transport de la saturation en fluide non mouillant donné par l’équation (4.9). Le type de transport dépend de l’importance relative des termes de flux gravitaire, capillaire et visqueux. Pour le déterminer, il faut tout d’abord adimensionner les équations. Les quantités caractéristiques sont choisies de façon simi-laire au cas unidimensionnel traité en page 18. Les variables spatiales X = (X1, X₃) sont adimensionnées par la hauteur H du domaine car nous nous intéressons au comporte-ment à grande échelle des fluides. Le temps caractéristique est celui de l’écoulecomporte-ment de CO2 lié à la gravité. La perméabilité absolue dans la matrice est choisie comme la valeur caractéristique k0 du domaine. Puisque l’on est dans le cas sans injection, qui conduit à une vitesse totale macroscopique nulle, la vitesse d’une phase U est prise comme valeur typique de la vitesse totale. Dans les équations suivantes, les caractères avec chapeau désignent les variables adimensionnées.

ˆ X= ^X

H ^{, ˆk}= ^k

k₀^{, ˆt}= ^k0g∆ρ

φHµ_w^t,qˆ_t= Uqt (4.23)

Le nombre capillaire Ncet le nombre visqueux Nq sont donnés par :

N_c= ^σ g(ρw− ρnw)H s φ k0 = ^Pe g∆ρH^{, (4.24)} N_q = ^{U µ}w g∆ρk0 . (4.25)

Dans ce qui suit, les variables sans chapeau désignent par commodité les variables adi-mensionnées. L’équation (4.9) est réécrite sous forme adimensionnée comme suit :

88Chapitre 4. Mise à l’échelle de la migration de CO2dans un système hétérogène périodique ∂S

∂t + ∇.Φ(S) = 0, (4.26)

où le flux non-dimensionnel de la phase non mouillante, Φ(S), est donné par

Φ(S) = Nqq_tf(S) + kΛ(S)e3− N_ckΛ(S)∇pc(S), (4.27) où pc(S) = J(S)/^√k, avec J(S), la fonction de Leverett.

On note que le problème dépend forcément des nombres adimensionnés. Vu que la dériva-tion du modèle est basée sur le développement en ε = δc/H, les nombres adimensionnés doivent être comparés à ce paramètre. Dans ce travail, nous envisageons le cas où l’effet de gravité est dominant à grande échelle. Les valeurs du nombre capillaire Nc et du nombre visqueux Nq sont donc très petites :

N_q ≈ ε1, N_c≈ ε1. (4.28)

Comme seul le flux diffusif est proportionnel au gradient de pression, le nombre capillaire est donc dépendant de la taille du domaine d’observation. Par conséquent, l’ordre en ε du nombre capillaire Nc dans l’équation (4.28) implique que la gravité et la pression capillaire s’équilibrent à petite échelle.

La saturation, la pression des phases ainsi que la vitesse totale sont développées en séries de puissances de ε comme suit :

S = ∞ X k=0 ε^kS_k, (4.29) p_α = ∞ X k=0 ε^kp_α,k, i= w, nw. (4.30) q_t= ∞ X k=0 ε^kq_t,k, (4.31)

En appliquant le développement asymptotique en ε, la divergence des variables macro-scopiques devient ∇X → ∇_X+ ε−1∇_Y. Le caractère Y désigne la variable spatiale à petite échelle ou dans la cellule. Les fonctions de saturation S, telles que f(S), Λ(S) et

pc(S) sont développées par des séries de Taylor.

La forme asymptotique de l’équation (4.26) s’écrit alors : ∞ X k=0 ε^k∂Sk ∂t + ∇_X+ ε−1∇_Y^.Φ(S) = 0. (4.32) En utilisant l’équation (4.28), le flux total développé Φε(S) s’écrit :

Φ^ε= Φ0+ εΦ1+ ε2Φ₂+ ... = ε ∞ X k=0 ε^kq_t,k f(S0) + εS1f⁰(S0) + ... + k Λ(S0) + εS1Λ0(S0) + ... e₃ − εk Λ(S0) + εS1Λ0(S0) + ...^ ∇_X+ ε−1∇_Y^ pc(S0) + εS1p⁰c(S0) + ... . (4.33)

4.3. Développement asymptotique à double échelle 89 Considérons l’équation (4.33) aux différents ordres :

ε⁰ : Φ0 = kΛ(S0)e3− kΛ(S0)∇Ypc(S0)

ε¹ : Φ1 = qt,0f(S0) + S1kΛ0(S0)e3− k[Λ(S0)∇Xpc(S0) + Λ(S1)∇Ypc(S0)] En général, on définitPn

k=0ε^khS_ki comme l’approximation au nème ordre pour la satu-ration, où la parenthèse angulaire désigne la moyenne dans tout le domaine :

hr_i= ¹ kΩk

Z

Ω

(^r)dΩ.

Un modèle à grande échelle est également appelé modèle au nème ordre s’il décrit le comportement de la saturation au nème ordre (Panfilov et Floriat, 2004). Considérons l’équation (4.32) à ordre ε−1 et ε0 :

ε⁻¹ : ∇Y.Φ₀= ∇Y.[kΛ(S0)e3− kΛ(S0)∇Ypc(S0)] = 0, (4.34)

ε⁰ : ^∂S0

∂t + ∇X.Φ₀+ ∇Y.Φ₁ = 0. (4.35)

L’intégration de l’équation (4.35) nous donne l’équation de transport mise à l’échelle à l’ordre zéro. Notons que le troisième terme s’annule après intégration du fait des condi-tions de périodicité 1

kΩk

R

Ω

∇_YΦ₁dΩ = h∇Y.Φ₁i = 0. L’équation mise à échelle à ordre

ε⁰ s’écrit :

∂ hS₀i

∂t + ∇X. hΦ₀i= 0. (4.36)

On constate que l’effet de capillarité locale est prise en compte directement dans la fonction hΦ0i via la résolution de l’équation (4.34). L’objectif étant de déterminer les paramètres effectifs du milieu homogène équivalent, la fonction du flux effectif hΦ(S0)i est tout d’abord calculée. En supposant que S0 dépend uniquement des variables ma-croscopiques X, on déduit à partir de l’équation (4.34) que ∇Y.ke₃ = 0, ce qui n’est pas correct car la cellule est hétérogène. Par conséquence, la saturation à ordre ε0 dépend impérativement à la fois des variables macroscopique X et microscopique Y :

S0 = S0(X, Y, t). (4.37)

Autrement dit, même à l’ordre ε0, la continuité du flux Φ0 et de la pression capillaire conduisent à une discontinuité de saturation à l’interface entre la matrice et l’inclusion. Cette remarque est similaire à celle faite dans le cas "balance" de l’écoulement unidi-mensionnel dans un milieu parfaitement stratifié présenté dans la section 2.3.2. Alors que dans le cas unidimensionnel la résolution du problème local peut être effectuée di-rectement sans hypothèses simplificatrices grâce à la simplicité de la géométrie, cela est beaucoup plus difficile dans le cas multidimensionnel.

Afin de diminuer le coût de la résolution numérique du problème de l’écoulement (4.34) dans une cellule 2D, la méthode des courants de gravité (GC) est utilisée. Cette approche

90Chapitre 4. Mise à l’échelle de la migration de CO2dans un système hétérogène périodique

peut s’appliquer pour déterminer la carte de saturation dans la cellule, correspondant à un flux entrant donné. La répétition de cette démarche pour différentes valeurs de flux nous permet de tracer la courbe de flux effectif en fonction de la saturation moyenne dans la cellule. Néanmoins, il faut noter que cette approche n’est valide que quand la hauteur de courant est beaucoup plus faible que son extension longitudinale (hypothèse de Boussinesq). Elle ne permet pas non plus de décrire la distribution de saturation du CO2 dès que le courant de gravité franchit le bord de la cellule. Malgré ces inconvé-nients, l’approche des courants de gravité est la clé pour déterminer de façon analytique la stratification locale du CO2 sous l’inclusion peu perméable.