4.6 Mise à l’échelle de la perméabilité relative
4.6.1 Méthodologie
4.6.1.1 Méthode de l’écoulement monophasique (SPA)
Nous étudions ici comment l’approche SPA, qui signifie en anglais "Single-Phase Averaging", peut être utilisée pour la mise à l’échelle dans le cas où la gravité est dominante. Seul le cas sans capillarité est examiné. Cette méthode permet de déterminer la perméabi-lité relative mise à l’échelle en ramenant le problème de l’écoulement diphasique à celui de deux écoulement monophasiques indépendants (Dykaar et Kitanidis (1992)). La
mé-4.6. Mise à l’échelle de la perméabilité relative 113 thode SPA est bien décrite dans le cas où la capillarité est dominante (Ataie-Ashtiani
et al., 2001; Eichel et al., 2005; Braun et al., 2005). Selon ces derniers auteurs, la dis-tribution locale de saturation et la perméabilité apparente sont obtenues à partir du modèle de percolation. À notre connaissance, aucun travail n’a été consacré jusqu’à pré-sent à la mise à l’échelle de la perméabilité relative lorsque l’effet de gravité est dominant. Nous présentons dans ce qui suit une approche semi-analytique pour calculer par la méthode SPA la perméabilité relative mise à l’échelle du fluide α quand il est macro-scopiquement connecté. Pour cela, on suppose que la migration du fluide α n’est pas impactée par celle du fluide β (α, β ∈ {H2O, CO2}). Autrement dit, le squelette solide et le fluide β créent une nouvelle matrice par laquelle le fluide α peut s’écouler. Ce com-portement physique est illustré sur la Figure 4.29.
Lorsque la saumure est dominante et connexe dans toute la colonne, le CO2 est mino-ritaire et forme des courants de gravité qui s’écoulent vers le haut (Figure 4.29a). La saumure circule vers le bas dans un milieu délimité par les courants de gravité du CO2 et par les inclusions. Inversement, quand le CO2 est majoritaire, la saumure forme des courants de gravité qui s’écoulent vers le bas et le CO2circule vers le haut dans un milieu délimité par les courants de gravité de la saumure et les inclusions. On suppose, dans cette description, que les inclusions sont imperméables et que la ségrégation des phases est complète. Lorsque les inclusions sont semi-perméables, la méthode SPA est toujours applicable comme nous le verrons plus loin.
La procédure de notre approche est décrite ci-après, procédure que l’on peut également trouver dans Durlofsky (1991) et Wen et al. (2003). Pour un flux entrant donné, la distribution de saturation est déterminée analytiquement à l’aide de l’approche des cou-rants de gravité. Une fois la carte de saturation connue, la saturation moyenne Sα et la distribution de perméabilité apparente locale sont calculées. Nous résolvons ensuite l’équation de pression de la saumure ou du CO2 numériquement, en appliquant un gra-dient de pression entre le haut et le bas de la colonne, i.e. on résout l’équation de Darcy dans un milieu matrice délimité par les inclusions et les courants de gravité. Le champ de vitesse est ensuite déduit à partir du champ de pression calculé. Finalement, à partir du débit (i.e. la vitesse intégrée à travers une section transverse à l’écoulement vertical), on en déduit la perméabilité effective du milieu homogène équivalent.
Chaque valeur de perméabilité effective calculée représente un point de la courbe de per-méabilité relative effective krw(S). Nous répétons la procédure ci-dessus avec des valeurs du flux entrant q croissantes jusqu’à la valeur à laquelle l’épaisseur du courant de gravité dépasse l’intervalle vertical entre deux inclusions consécutives. Notons que le flux q ne peut pas non plus dépasser le flux gravitaire maximal mentionné dans le paragraphe 4.2. Autrement dit, cette procédure ne nous permet de construire qu’une partie de la courbe de perméabilité relative mise à l’échelle.
Afin d’obtenir la deuxième composante diagonale du tenseur de perméabilité relative, il faudrait considérer une autre configuration de la simulation du flux en changeant la direction du gradient de pression imposé. Néanmoins, dans notre application, on ne s’in-téresse qu’à l’écoulement vertical à grand échelle, donc à la composante verticale du
114Chapitre 4. Mise à l’échelle de la migration de CO2 dans un système hétérogène périodique CO2 - GC CO2 - GC CO2 - GC CO2 - GC H2O (a) H2O - GC H2O - GC H2O - GC H2O - GC CO2 (b)
Figure 4.29 – Cas sans capillarité : sketch des courants de gravité dans une colonne bidimen-sionnelle pour la montée du CO2(a) et pour la migration descendante de la saumure (b).
tenseur krw,ZZ.
4.6.1.2 Méthode basée sur la simulation de l’écoulement diphasique (NURP) Nous avons développé une méthode a posteriori basée sur la simulation de l’écoulement diphasique avec DuMux et son post traitement. Dans ce qui suit, cette méthode est ap-pelée, par commodité, la méthode NURP, d’après le mot anglais "Numerical Upscaled Relative Permeability". À partir de l’équation (4.18), nous supposons que l’on peut réécrire la vitesse moyenne dans la cellule sous la forme :
hqα,0i= −kabs
µα krα(S0) (∇Xpα,0+ ραge3) , (4.76) où :
- kabs désigne la perméabilité effective du milieu. Elle peut se calculer à l’aide de l’approche SPA dans le cas où le flux de CO2 q est nul, c’est à dire sans courant de gravité.
- krα(S0) est la perméabilité relative mise à l’échelle de la phase α.
En réécrivant l’équation (4.18) sous la forme (4.76), on suppose implicitement que le terme de correction de la vitesse lié à la pression à l’ordre 1 de l’équation (4.18) peut se
4.6. Mise à l’échelle de la perméabilité relative 115 réécrire de façon classique comme un terme correctif à l’ordre 0 et donc conduire à une perméabilité équivalente.
La procédure pour déterminer krα(S0) à partir des simulations d’écoulement diphasique se décompose en quatre étapes :
1. Choix de la cellule dans laquelle l’écoulement est permanent. 2. Calcul numérique de la vitesse moyenne hqα,0i dans la cellule.
3. Calcul numérique du gradient de pression moyen ∂pα,0/∂X3 dans la cellule. 4. Calcul de krα(S0) à partir de l’équation (4.76).
L’application de cette procédure pour différentes valeurs de saturation imposée Si,α conduit à la courbe de perméabilité effective numérique. Notons que cette procédure s’applique quelle que soit la saturation de la phase considérée (connexe ou non connexe). Par conséquent, cette approche nous permet d’obtenir les courbes krnw(S0) et krw(S0) pour toutes les valeurs de saturation.