4.6 Mise à l’échelle de la perméabilité relative
4.6.2 Application aux différents cas d’inclusions
4.6.2.1 Inclusions imperméables
On considère dans un premier temps le cas d’inclusions imperméables. La phase α migre donc dans un milieu délimité par les inclusions et les courants de gravité de la phase β, où α = w, nw et β = nw, w (voir Figure 4.29).
Comme le flux gravitaire est symétrique autour de la saturation Sm
max = 0,5 la courbe de perméabilité effective de la saumure, krw, et celle du CO2, krnw, sont également sy-métriques autour de la saturation Sm
max = 0,5.
La Figure 4.30 montre les perméabilités relatives mises à l’échelle par la méthode SPA pour différentes géométries de cellule. Les courbes solides avec symboles indiquent la perméabilité relative effective verticale tandis que la courbe discontinue indique la per-méabilité de la matrice. Contrairement à la perper-méabilité de la matrice, la perper-méabilité relative effective est une fonction concave. Dans ce cas, le point d’arrêt correspond à une saturation moyenne environ égale à 0,48. Le flux entrant associé à ce point conduit à des courants de gravité qui dépassent la distance verticale entre deux inclusions consécutives
Hm. Ce flux est plus faible que la valeur maximale Fthres discutée au paragraphe 4.2. On constate aussi que la perméabilité relative est indépendante de la géométrie de la cellule, ainsi que de la distance verticale entre strates (résultat non montré). Par contre la perméabilité absolue mise à l’échelle kabs en dépend fortement, comme le montre le tableau 4.1.
116Chapitre 4. Mise à l’échelle de la migration de CO2 dans un système hétérogène périodique 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 krw krnw Saturation of CO2 [-] kr ve rt ic al [-] krw(S) − 2L = 72m krw(S) − 2L = 64m krw(S) − 2L = 56m krw(S) original krnw(S) − 2L = 72m krnw(S) − 2L = 64m krnw(S) − 2L = 56m krnw(S) original
Figure 4.30 – Cas sans capillarité - Inclusions imperméables : perméabilité relative mise à l’échelle obtenue par l’approche SPA dans le cas L0= 40m et Hc= 10m.
2L = 72m 2L = 64m 2L = 56m
kabs [m2] 1.298×10−13 1.739×10−13 2.331×10−13
Tableau 4.1 – Cas sans capillarité - Inclusions imperméables : perméabilité absolue effective, obtenue à partir des simulations d’écoulements monophasiques, dans le cas L0 = 40m et Hc = 10m. La perméabilité de la matrice kmest de 3×10−12 m2.
Le cas 2L = 72 [m] est choisi pour intercomparer les approches SPA et NURP (Figure 4.31).
La Figure 4.31 montre une discontinuité des courbes krαobtenues avec l’approche NURP pour les saturations SCO2 variant entre 0,4 et 0,6, ce qui correspond à des courants de gravité trop épais. Dans le cas des inclusions imperméables, un phénomène complexe apparaît quand l’épaisseur des courants de gravité de la phase α dépasse l’écart vertical entre deux inclusions consécutives Hm. À ce moment, la phase α passe d’un état initial macroscopiquement déconnecté (courant de gravité) à un état connecté, et sa migration dans la matrice peut être décrite comme un écoulement darcéen. À l’inverse, pour l’autre phase β, les courants de gravité commencent à se former et le transfert de la phase β entre les courants n’est plus darcéen. La Figure 4.29 montre un exemple de CO2 décon-necté (Figure 4.29a) et condécon-necté (Figure 4.29b) et inversement pour la saumure. À ma connaissance, il n’existe aucun modèle mis à l’échelle décrivant cette transition entre un écoulement darcéen et un écoulement en courants de gravité.
On observe également que l’approche SPA rend bien compte de la forme de la courbe
krα quand la saturation Sα est faible, Sα < 0.2, quelle que soit la phase α ∈ [w, nw]. Néanmoins, ces deux courbes s’écartent notablement lorsque Sα croit vers 0,5.
4.6. Mise à l’échelle de la perméabilité relative 117 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Saturation of CO2 [-] kr ve rt ic al [-] krw(S) SPA krw(S) original krw(S) NURP krnw(S) SPA krnw(S) original krnw(S) NURP
Figure 4.31 –Cas sans capillarité - Inclusions imperméables : perméabilités relatives effectives de la saumure (ligne discontinue bleue avec étoiles) et du CO2(ligne discontinue-pointillée rouge avec étoiles), obtenues avec les méthodes SPA et NURP dans le cas 2L = 72m, L0 = 40m et
Hc= 10m. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10 −6 Saturation of CO 2 [−] Effective flux [m/s] G(S) - DuMux G(S) - NURP G(S) - GC G(S) - Matrix
Figure 4.32 –Cas sans capillarité - Inclusions imperméables : flux effectif mis à l’échelle obtenu à partir des simulations diphasiques pour le cas L0= 40m et Hc= 10m.
Une fois les perméabilités relatives effectives krnw connues, on peut calculer le flux mis à l’échelle :
118Chapitre 4. Mise à l’échelle de la migration de CO2 dans un système hétérogène périodique
où
Λ(S) = krnw(S)krw(S)
krnw(S) + M × krw(S). (4.78)
Comme seule l’approche NURP permet de construire sans limitation les courbes krw(S) et krw(S), le flux effectif est reconstruit à partir des perméabilités relatives calculées avec cette approche. La Figure 4.35 montre une comparaison entre la fonction Φ(S) recons-truite à partir des résultats obtenus avec l’approche NURP et celle obtenue à partir des simulations numériques avec DuMux comme cela a été fait au paragraphe 4.4.1. Le très bon accord entre ces courbes justifie pleinement les hypothèses de l’approche NURP et notamment l’expression proposée pour la vitesse de la phase α mise à l’échelle (équation (4.76)).
4.6.2.2 Inclusions semi-perméables
Considérons maintenant des inclusions semi-perméables. En négligeant l’effet de la fluc-tuation de vitesse comme discuté au paragraphe 4.4.2, page 98, on peut déterminer analytiquement la carte de saturation et donc la distribution locale de la perméabilité apparente de chaque phase dans la cellule. La perméabilité relative mise à l’échelle est ensuite calculée à partir de simulations d’écoulements monophasiques. Les résultats sont présentés sur la Figure 4.33. Contrairement au cas des inclusions imperméables, la per-méabilité relative effective est une fonction convexe constituée de deux parties quasiment linéaires. Le point de discontinuité rend compte de l’apparition (ou disparition) des cou-rants de gravité sous les inclusions semi-perméables. Comme dans le cas précédent des inclusions imperméables, la variation de la longueur influence uniquement la valeur de perméabilité absolue mise à l’échelle (cf. tableau 4.2) mais pas les courbes de perméabi-lité relative effective.
2L = 72m 2L = 64m 2L = 56m
kabs [m2] 1,242×10−12 1,350×10−12 1,458×10−12
Tableau 4.2 – Cas sans capillarité - Inclusions perméables : perméabilité absolue effective, obtenue à partir des simulations des écoulements monophasiques dans le cas L0= 40m et Hc= 10m. La perméabilité de la matrice kmest de 3×10−12 m2 et celle des inclusions est de 3×10−13
m2.
La Figure 4.34 montre la comparaison entre les résultats des approches SPA et NURP pour le cas 2L = 72m, L0= 40m et Hc= 10m. La discontinuité des courbes numériques obtenues avec la méthode NURP dans le cas des inclusions imperméables, discontinuité liée au changement de régime d’écoulement (connexe - non connexe), n’apparaît plus dans le cas des inclusions semi-perméables car les deux phases sont connectées dans tout le domaine quel que soit le flux imposé à la base de la colonne. On constate que les courbes krα obtenues avec les deux méthodes, SPA et NURP, concordent parfaitement. La comparaison entre le flux effectif calculé à partir de l’approche NURP et celui obtenu à partir des simulations numériques est montré sur la Figure 4.35. On constate que les
4.6. Mise à l’échelle de la perméabilité relative 119 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 krw krnw Saturation of CO2 [-] kr ve rt ic al [-] krw(S) − 2L = 72m krw(S) − 2L = 64m krw(S) − 2L = 56m krw(S) original krnw(S) − 2L = 72m krnw(S) − 2L = 64m krnw(S) − 2L = 56m krnw(S) original
Figure 4.33 –Cas sans capillarité - Inclusions perméables : perméabilité relative mise à l’échelle obtenue à partir des simulations des écoulements monophasiques dans le cas L0= 40m et Hc= 10m pour trois géométries de VER.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Saturation of CO2 [-] kr ve rt ic al [-] krw(S) SPA krw(S) original krw(S) NURP krnw(S) SPA krnw(S) original krnw(S) NURP
Figure 4.34 – Cas sans capillarité - Inclusions perméables : perméabilités relatives effectives de la saumure (ligne discontinue bleue avec étoiles) et du CO2(ligne discontinue-pointillée rouge avec étoiles), obtenues avec les méthodes SPA et NURP dans le cas 2L = 72m, L0 = 40m et
Hc= 10m.
deux courbes coïncident non seulement dans la partie sans courants de gravité, mais aussi dans la partie où des courants de gravité apparaissent. Notons que l’approche GC conduit à un écart au flux effectif NURP et au flux numérique dans la gamme de satu-ration où les courants de gravité sont présents.
120Chapitre 4. Mise à l’échelle de la migration de CO2 dans un système hétérogène périodique 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10 −6 Saturation of CO 2 [−] Effective flux [m/s] G(S) - DuMux G(S) - NURP G(S) - GC G(S) - Matrix
Figure 4.35 – Cas sans capillarité - Inclusions perméables : flux effectif mis à l’échelle obtenu à partir des simulations diphasiques pour le cas L0= 40m et Hc = 10m.
4.7 Conclusion
Nous avons abordé dans ce chapitre le problème de la mise à l’échelle de l’écoulement principalement gravitaire d’un panache de CO2 dans un système stratifié périodique bi-dimensionnel. Ce problème se simplifie en un problème de migration de CO2 dans une colonne verticale à strates discontinues décalées avec des conditions aux limites latérales à flux nul.
Dans un premier temps, nous avons montré qu’il existe un flux gravitaire maximal pou-vant pénétrer dans la colonne. Cette analyse a été ensuite validée par des simulations numériques dans une colonne constituée d’une strate isolée et en considérant le rapport entre le flux sortant et entrant autour et à travers la strate pour différentes saturations imposées en bas de colonne.
Nous avons ensuite effectué un développement asymptotique à double échelle. Celui ci montre que, lorsque la gravité est dominante, l’équation de transport à grande échelle est de type Buckley-Leverett et le flux mis à l’échelle est donné par la résolution d’un problème local non standard. La particularité de ce problème est notamment liée à la stratification sous l’effet de gravité du CO2 dans les cellules, ce qui ne peut pas être décrit par la méthode d’homogénéisation classique. Le problème local est donc résolu à l’aide de l’approche GC (Gravity Current). Nous avons étendu ensuite cette approche au cas des strates semi-perméables et en tenant compte de la capillarité.
Le flux mis à l’échelle est comparé à celui obtenu à partir des simulations numériques pour différents types de strates, avec ou sans pression capillaire. Nous avons montré que l’approche GC n’est valide que pour des saturations imposées faibles, ce qui conduit à des courants de gravité de faible épaisseur par rapport à leur extension longitudinale.
4.8. Appendice - Flux gravitaire effectif, cas sans capillarité 121 Enfin, nous avons appliqué les méthodes SPA (Single Phase Averaging) et NURP (Nume-rical Upscaled Relative Permeability) pour déterminer les perméabilités relatives mises à l’échelle du CO2, krnw, et de la saumure, krw, dans le cas sans capillarité. L’approche semi-analytique SPA est basée sur des simulations d’écoulements monophasiques de chaque phase dans un milieu nouveau dont la distribution de perméabilité est déter-minée analytiquement par l’approche GC. Cette approche ne peut s’appliquer au calcul de krα que pour des saturations Sα faibles. Cela implique donc deux conditions : (i) la hauteur des courants de gravité doit être plus petite que l’écart vertical entre deux inclu-sions, et (ii) le flux entrant ne peut pas dépasser la valeur maximale du flux gravitaire. Les perméabilités relatives effectives ainsi obtenues concordent parfaitement avec les per-méabilités calculées numériquement, tout particulièrement pour des strates perméables quand les deux phases sont connectées dans tout le domaine. L’approche NURP est basée sur une détermination numérique de perméabilités relatives. Elle permet de s’affranchir des contraintes liées à l’approche SPA, et, de ce fait, elle conduit à de très bons résultats.