Loi de réciprocité quadratique
Leçons : 101, 120, 121,123, 126, 170, 190 Définition 1
Soit p premier impair. Le symbole de Legendre associé à p est
· p
: a ∈ F∗p 7→ ap−21. Il vaut1siaest un carré modulopet−1sinon.
Théorème 2
Si petqsont deux premiers impairs distincts,
p q
q p
= (−1)p−21q−21.
Lemme 3
Sia∈F∗q, l’équationa x2=1a1+a q
solutions.
Démonstration.Soit X =
(x1, . . . ,xp)∈Fpq:
p
P
i=1
x2i =1
. On va compter le nombre d’élé- ments de X de deux manières différentes.
Étape 1 : dénombrement par la formule des classes.
Z/pZ agit sur X par permutation circulaire via a·(x1, . . . ,xp) = (x1+a, . . . ,xp+a), les indices étant considérés modulo p.
Le stabilisateur d’un élément x étant un sous groupe de Z/pZ, il est soit trivial soit le groupe tout entier. Dans le second cas, cela signifie que toutes les composantes de x sont égales et quep x12=1 dansZ/qZ. Selon le lemme, il y a donc 1+p
q
orbites réduites à un singleton.
Ainsi, selon la formule des classes, si x1, . . . ,xr sont les représentants des orbites non triviales,
|X|=1+p q
+
r
X
i=1
p
|Stab(xi)| ≡1+p q
[p]
Étape 2 : dénombrement « géométrique » . On remarque queX =¦
x ∈Fqp:q(x) =1©
oùq(x) =Pp
i=1
x2i. Cette forme quadratique est représentée dans la base canoniqueB parIp.
Introduisons la forme quadratiquer : (y1, . . . ,yd,z1, . . . ,zd,t)7→2
d
P
i=1
yizi +at2 où d = p−1
2 eta= (−1)p−21. Quitte à écrire(y1, . . . ,yd,z1, . . . ,zd,t)sous la forme(y1,z1, . . . ,yd,zd,t), on peut supposer que la matrice
A=
0 1 1 0
...
0 1 1 0
a
Gabriel LEPETIT 1 ENS Rennes - Université Rennes 1
représente rdansB. Or, detA= (−1)p−21(−1)p−21 =1 donc selon la classification des formes quadratiques dans un corps fini, r et q sont équivalentes. Si on fixe u ∈ GLp(Fq) tel que r=q◦u, on constate queuinduit une bijection deX sur
X0=
¨
(y1, . . . ,yd,z1, . . . ,zd,t): 2
d
X
i=1
yizi+at2=1
« .
Il s’agit donc de dénombrer|X0|. Il y a deux types de points dansX0:
• Ceux qui vérifient y1=· · ·= yd =0 : il y en aqd (choix dez) multiplié par 1+a p
= 1+ (−1)p−21q−21 (nombre de solutions deat2=1).
• Les autres : une fois choisi (y1, . . . ,yd) non nul (qd −1 choix) et t (q choix), z est déterminé par l’équation 2
d
P
i=1
yizi+at2 =1 est celle d’un hyperplan affine deFdq; il y a doncqd−1 possibilités pourz.
Ainsi,X0a pour cardinal qd
1+ (−1)p−21q−21
+ (qd−1)×q×qd−1=qd
qd+ (−1)p−21q−21 .
Étape 3 : Conclusion
En comparant les deux calculs précédents modulop, on a 1+
p q
≡qp−1+qd(−1)p−21q−21[p] Or, dansFp,qd =qp−12 =
q p
, etqp−1=1 (Fermat) donc
p q
=
q p
(−1)p−12 q−12 , ce qui n’est autre que la loi de réciprocité quadratique.
Théorème 4
Il y a deux classes d’équivalences de formes quadratiques non dégénérées surFnq, repré-
sentées par In et
1 (0)
...
1
(0) a
où a∈F∗q n’est pas un carré.
Référence : H2G2unpp. 185-186
Gabriel LEPETIT 2 ENS Rennes - Université Rennes 1
