Université du Maine - Le Mans 2008-2009

Propagation et Contrôle Non Destructif dans les solides

AC03

Master Sciences et Technologie mention " Acoustique et Mécanique"

parcours recherche "acoustique" et "matériaux et acoustique"

Université du Maine - Le Mans 2008-2009

Catherine POTEL

I. ONDES ELASTIQUES DANS LES SOLIDES ANISOTROPES

1 Rappels d'élasticité

a) Tenseur des déformations b) Tenseur des contraintes c) Mise sous forme matricielle 2 Comportement d'un solide élastique

a) Relation entre contraintes et déformations : loi de Hooke b) Cas particulier du solide isotrope

c) Milieux ayant des propriétés de symétrie

d) Exemple de calcul de constantes élastiques par changement de repère 3 Equation de propagation

4 Solution de l'équation de propagation sous forme d'ondes planes 5 Propriétés du tenseur de Christoffel

6 Propagation suivant des directions liées aux éléments de symétrie, dans la direction 3

7 Ondes élastiques dans un milieu isotrope 8 Energie - Vecteur de Poynting

a) Bilan énergétique

b) Vitesse d'énergie pour une onde plane 9 Surfaces caractéristiques

a) Surface des vitesses b) Surface des lenteurs c) Surface d'onde

II. REFLEXION ET REFRACTION DES ONDES PLANES MONOCHROMATIQUES

1 Equation de continuité (solides rigidement liés)

2 Conservation de la fréquence et de la projection des vecteurs d'onde sur l'interface

3 Construction graphique : utilisation des surfaces des lenteurs 4 Angles critiques - ondes évanescentes

5 Coefficients de réflexion et de transmission

III. PROPAGATION DANS UNE SEULE COUCHE

1 Propagation à travers une interface 2 Nombre des ondes dans une couche 3 Notations - hypothèses

4 Obtention des vecteurs lenteur et polarisation 5 Vecteur déplacements - contraintes dans une couche 6 Problèmes numériques dans le cas d'une couche

7 Ecriture des conditions aux limites dans le cas d'une couche plongée dans un fluide

IV. PROPAGATION DANS UN MULTICOUCHE 1 Matrice de transfert d'une couche q

2 Ecriture des conditions aux limites aux interfaces extrêmes

V. LES ONDES MODALES : CAS PARTICULIER DES ONDES DE LAMB

1 Introduction

2 Déplacements et contraintes a) Déplacements b) Contraintes

c) Mise sous forme matricielle

3 Modes de Lamb

4 Courbes de dispersion

a) Domaine des basses fréquences b) Domaine des hautes fréquences c) Modes de Lamé

5 Analyse des déplacements 6 Modes de Lamb généralisés

a) Réflexion non spéculaire

b) Modes de Lamb en milieu anisotrope 7 Montage expérimental

a) Génération d'une onde de Lamb b) Mesure de la vitesse de groupe

VI. LES ONDES MODALES : CAS PARTICULIER DES ONDES DE RAYLEIGH

1 Obtention des ondes de Rayleigh en milieu isotrope a) Rappels

b) Existence de l'onde de surface c) Vecteur déplacements-contraintes

d) Conditions aux frontières : méthodes géométrique et analytique 3 Onde de Rayleigh "généralisée"

4 Généralisation aux milieux stratifiés

VII. INTRODUCTION AU CND PAR ULTRASONS 1 Introduction

a) Les transducteurs

b) Les différents types d'échographie 3 Les transducteurs "conformables"

4 Mesure de vitesses ultrasonores - Les précautions de réglage BIBLIOGRAPHIE

C. Potel, Université du Maine 2

Onde mécanique (1/5)

La particule d'eau au centre bouge et transmet son mouvement aux autres z Une onde mécanique est un mouvement oscillatoire qui se

transmet de proche en proche dans un milieu matériel, par voisinage, comme une information, un changement de position que l'on transmet à son voisin.

http://www.kettering.edu/~drussell

Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University

molécule

Représentation schématique de matière constituée de molécules (de masses données) en interactions élastiques.

Onde mécanique (2/5)

Onde mécanique : onde de compression (3/5)

dans un gaz

dans un ressort http://www.kettering.edu/~drussell

Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University

Onde mécanique : onde de cisaillement (4/5)

système discret

système continu : propagation d'une impulsion le long d'un ressort. Les sections du ressort se déplacent de haut en bas à mesure que le pulse se déplace de la gauche vers la droite

C. Potel, Université du Maine 3

Onde mécanique : onde de flexion (5/5)

ondes de flexion dans une corde vibrante http://www.kettering.edu/~drussell

Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University

GAZ LIQUIDE SOLIDE

V

_air

= 340 m/s V

_eau

= 1500 m/s V

_métal

≅ 6000 m/s

Vitesse de propagation

Aspect schématique des trois états fondamentaux de la matière et ordre de grandeur de la vitesse propagation des ondes de compression pour chacun d'eux

Seul mouvement

autorisé Aucune information n'est transmise

L'information est transmise d'autant plus vite que la raideur des ressorts est grande

ONDE DE CISAILLEMENT

ONDE DE COMPRESSION

De la matière discontinue...

polarisation

propagation

polarisation

propagation

particule λ

λ

... à la matière continue

C. Potel, Université du Maine 4

http://www.ens-lyon.fr/Planet-Terre/Infosciences/Geodynamique/Structure-interne/Sismologie/pendulum.html

Différents types d'onde

I II 0

III

rupture σ = ^F

S

ε = ^∆_L^L

0

zone I Elasticité linéaire zone II Elasticité non linéaire zone III Plasticité

L₀

L

S0 A AA

A

A A

A A

B B

A A

BB L

L_u - F→

F

→

F

→ - F→

AA

AA

AA section

sectionS≈S₀

S <

section S₀ sectionS≈S₀

section S_u<< S₀ Eprouvette non sollicitée

Eprouvette sollicitée avant l'apparition de la striction

Eprouvette sollicitée après l'apparition de la striction

Eprouvette reconstituée après rupture

Essai de traction

→ F L

L'

M N

M' N'

∆ x

u(x+∆ x) - u(x) + ∆ x u(x)

u(x+∆ x)

x x+∆ x

x + u(x) x + ∆ x + u(x+∆ x)

( ) x =

^⎯

M

^{⎯ →⎯}

M ' u r

déplacement particulaire :

variation relative de longueur du petit élément MN :

( ) ( )

[ ]

x u x

x x x u x x u

∆

= ∆

∆

∆

−

∆ +

−

∆

+ ∆ u = u ( x + ∆ x ) ( ) − u x 0

u =

∆ 0 u ≠

∆

simple translation déformation

Allongement d'un fil extensible

Ω +

=S u gradr

( )

^{gradu dx}

x x d x u x d x u x d u u

d ₃

3 2 2 1 1

r r r

r

r r = ⋅

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂ avec

symétrique antisymétrique

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

−∂

∂

− ∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

−∂

∂

− ∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

−∂

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

−∂

∂

− ∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

−∂

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

−∂

∂

∂

= Ω

x 0 u x u 2 1 x u x u 2 1

x u x u 2 0 1 x

u x u 2 1

x u x u 2 1 x u x u 2 0 1

2 3 3 2 1 3 3 1

2 3 3 2 1

2 2 1

1 3 3 1 1 2 2 1

(

j j

) ( )

i j ij j ij j

ix dx u x S dx dx

u + = + +Ω

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂ +∂

∂

= ∂

i j j i j

i x

u x u 2 S 1

( ) ( )

N uM du

u r r

r = +

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂ +∂

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂ +∂

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂ +∂

∂

∂

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂ +∂

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂ +∂

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂ +∂

∂

∂

∂

∂

=

3 3 2 3 3 2 1 3 3 1

2 3 3 2 2

2 1 2 2 1

1 3 3 1 1 2 2 1 1

1

x u x u x u 2 1 x u x u 2 1

x u x u 2 1 x u x u x u 2 1

x u x u 2 1 x u x u 2 1 x u

S

M N

u d r

M'

N'

r( )N r( )M u

u

( ) ( )

N uM dOM S dOM ur =r +Ω⋅ + ⋅

Tenseur des déformations S

C. Potel, Université du Maine 5

( ) ( )

N uM dOM S dOM ur =r +Ω⋅ + ⋅

=0

Ω S=0

z Si et alors

ur

( ) ( )

N =urM

simple translation M

N

M' N'

O OM

OM OM+d

r r( )N u( )M

u =

OM d

simple translation M

N

M' N'

O OM

OM OM+d

r r( )N u( )M

u =

OM d M

N

M' N'

O OM

OM OM+d

r r( )N u( )M ur( )N =ru( )M

u =

OM d OM d

0 S=

z Si et alors

ur

( )

M =0r ur

( )

N =Ω⋅dOM

( )

MN

x d

x d

x d

x d

x d

x d

0 0 0

u d

u d

u d N u

3 2 1

3 2 1

3 2 1

1 2

1 3

2 3

3 2 1

∧ ω

=

∧ ω ω ω

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

ω ω

−

ω

− ω

ω ω

−

=

= r

r

B B B

B

M=M ' N'

N

ω ω

→

simple rotation

( )

M dOM

ur +Ω⋅ : déplacement du solide au sens mécanique

z Si et alors

ur

( )

M =0r ur

( )

N =S⋅dOM

=0

Ω

déformation

( ) ( ) N u M d O M S d O M

u r = r + Ω ⋅ + ⋅

translation rotation déformation pure mécanique

Interprétation (1/3)

simple translation

M N

N"

d u r

N' M'

M

N

M' N'

x dr

O xr

x d xr+ r

r r( )N u( )M

u =

translation + déformation translation + rotation

translation + déformation + rotation

M N

N"'

N"

u d r

M'

N'

N^IV

r

u d _S

uΩ

d

r

r( )N u

M N

N'

N"

u d r

M'

r( )N u

ur d r

r( )N u( )M u = +_du

r

S₊du

r

Ω

r( )N u

Interprétation (2/3) : déplacement local de deux points

Interprétation (3/3)

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂ +∂

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂ +∂

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂ +∂

∂

∂

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂ +∂

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂ +∂

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂ +∂

∂

∂

∂

∂

=

3 3 2 3 3 2 1 3 3 1

2 3 3 2 2

2 1

2 2 1

1 3 3 1 1 2 2 1 1

1

x u x u x u 2 1 x u x u 2 1

x u x u 2 1 x u x u x u 2 1

x u x u 2 1 x u x u 2 1 x u

S

S_ii: déformation dans la direction x_i S_ij: demi distorsion dans les directions x_iet x_j

M N_i ^→

x

_i

N_j

x

_j

→

N'_i N'_j

α

(

1 u1 x1 u2 x2 u3 x3

)

V '

V≈ +∂ ∂ +∂ ∂ +∂ ∂

(

V'−V

)

V≈divur=traceS

( )

2 1 1 2 0

x d

0 x 2 d

1 x

u x u lim 2

n , n , M

2

1 ∂

+∂

∂

=∂

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛π−α

= γ

→

→

r r

a b

c x₁ x₂

x₃

M

c b a

V= a'

b' c'

M

V'=a'b'c' déformation supposée sans

cisaillement

M^I II

→

n

dS

→

T

d F

^→

( ) T . n

S d

F lim d n , M

T

dS 0

r

r = =

→

→

→

k k i i

= T n T

x₃

x₂

x₁ ∆S₂

∆

^→

F

₃

∆

^→

F

₂

∆

^→

F

₁

∆

^→

F cisaillement

traction ou compression

i k k i 0 k s

i

T

S lim F T

k

∆ =

= ∆

→

∆

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

=

33 32 31

23 22 21

13 12 11

T T T

T T T

T T T T

( )

32 22 12 x

x

T T T e

T e , M

T

2 2

B

=

⋅

→

r = r

Tenseur des contraintes T (1/2)

C. Potel, Université du Maine 6

x₃

x₂

x₁

O M

A₁

A₂ A₃

dS₂ T₁₂

T₂₂ T₃₂

dS₃

dS₁ T₁₁

T₂₁ T₃₁

T₁₃

T₂₃ T₃₃

Tenseur des contraintes T (2/2)

z Hypothèse des petites déformations :

rigidités élastiques

z Notation matricielle : c

_{α β}

= c

_{i j k l}

( ) ( ) ( )

( ) ( )32 23 4 ( ) ( )31 13 5 ( ) ( )12 21 6 3 33 2

22 1 11

↔

=

↔

=

↔

=

↔

↔

↔

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂ +∂

∂

= ∂

i j j i j

i x

u x u 2 S 1

T

_{i j}

= c

_{i j k l}

S

_{k l}

12 6 13 5 23 4

33 3 22 2 11 1

S 2 S S 2 S S 2 S

S S S S S S

=

=

=

=

=

=

T

_α

= c

_{α β}

S

_β

Loi de Hooke

( ) ( ) k _l j i

↔ β

↔ α

Loi de Hooke

avec et

Loi de Hooke

( )( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

₁₁ ¹²₁₂

12 11

12 11

2 12 11

12 11

12 12 11

c c

c 2

2 2 E

3 c 2 c 3

2 E

3 3

E 2

1 3 B E

c c 2 c 2 c

E 3 E

E

2 c c 1

2 E

E c 3

2 E 2

1 1

E

c , c ,

, E ,

E

+ µ

+ λ

λ µ

µ ν −

ν

µ + +

− λ µ µ ν

−

− + µ

+ λ

µ + λ µ

µ − ν µ

µ +

− λ µ

µ

− µ ν

− ν + λ ν

µ λ µ

ν

E: Module de Young (Pa) ν: Module de Poisson (sans unité)

B: Module d'élasticité volumique (Pa/m²) λ , µ: Coefficients de Lamé (Pa)

c₁₁, c₁₂: constantes de rigidité (Pa)

Relations en solide isotrope

z Eléments de symétrie directe : A

_n

, axe de rotation d'ordre n rotation d'angle 2 π / n propriétés inchangées

z Eléments de symétrie inverse : A

_n

, axe de rotation inverse d'ordre n rotation d'angle 2 π / n

symétrie par rapport à un centre C z Miroir : axe inverse d'ordre 2 : A

₂

= M

propriétés inchangées

x

₁

x

₃

x

₂

C

rotation π

M

symétrie

M'

x

₁

x

₃

x

₂

C

M'

^⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1 H

l l

l mi nj pk q mnpq ijk

*

ijk

H H H H c c

c = =

Matrice de passage

Symétries d'orientation des cristaux

C. Potel, Université du Maine 7

Constantes de rigidité élastiques

extrait de D. Royer et E. Dieulesaint, "Ondes élastiques dans les solides", tome 1 : propagation libre et guidée, Masson, (1996)

C. Potel, Université du Maine 8

0°/90° 0°/45°/90°/135°

Matériaux composites :

exemple des composites de type carbone-époxyde

couche à 0°

x₁ x₂

x₃ ≡A₆ x'₂ x'₁ x'₃

x"₁ x"₂

x"₃

R x₁/-90° R x₃/-90° ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

0 0 1

1 0 0

0 1 0

1 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 0

1 0 0

0 0 1 H

l l

l mi nj pk q mnpq ijk

*

ijk H H H H c c

c = =

matrice de passage

mnpq 1 q 1 p 1 n 1 m

* 1111

*

11 c H H H H c

c = =

z

seul H₃₁≠0 m=n=p=q=3 c^*₁₁=c₃₃₃₃=c₃₃

mnpq 2 q 2 p 1 n 1 m

* 1122

*

12 c H H H H c

c = =

z

seuls H₃₁≠0 et H₁₂≠0 m=n=3 ; p=q=1 c^*₁₂=c₃₁

mnpq 3 q 3 p 1 n 1 m

* 1133

*

13 c H H H H c

c = =

z

32

*

13 c

c = seuls H₃₁≠0 et H₂₃≠0 m=n=3 ; p=q=2

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

•

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

•

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

•

•

•

⋅

⋅

⋅

•

•

•

⋅

⋅

⋅

•

•

• αβ=

x c

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅ αβ=

55 44 66 22 12 32

12 11 13

23 13 33

*

c c c c c c

c c c

c c c

c

etc...

Exemple de calcul

O

x

₁

x

₂

x

₃

R

0

→

T

_tot

M

→

n

dσ

Σ V

z Résultante dynamique

( )

_⎮

⌡

⎮⌠

⌡

⎮⌠

⌡

⌠

∂ ρ∂

=

V

V R

V d

t / u

d ₂

2 0

r r

=∫∫∫_V f dV F_e r_e r

⎮⌡

⎮⌠

⌡

⎮⌠

⌡

=⌠

⎮⌡

⎮⌠

⌡⌠ σ

=

ΣT .nd V divT dV

Fri totr tot T^→tot(M,nr)=Ttot.nr

( )

( )

( )

^{∑ ∑}

∑

∑

∑

= =

=

=

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

= ∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

∂ +∂

∂ +∂

∂

∂

∂ +∂

∂ +∂

∂

∂

∂ +∂

∂ +∂

∂

∂

=

= ³

1 i

x 3

1

j j

j i

3 1

j j

j 3 3

1

j j

j 2 3

1

j j

j 1

0 3

3 3 2

2 3 1

1 3

3 3 2 2

2 2 1

1 2

3 3 1 2

2 1 1 1 1

0 x t tot

x t tot

x t tot

0

tot i

3 2 1

x e T

x T x T x T

x T x T x T

x T x T x T

x T x T x T

e . T div

e . T div

e . T div T

div r

r r r

B B B

z Résultante des forces extérieures

( )

_∫∫∫ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

→ →

V V

V f divT d

ext r_e

R

e e

e f f

f 0

r r

r = +δ

avec

avec

M dV

Σ V

→

f

_e

ds

Equation de propagation (1/3)

z PFD pour les résultantes :

z A l'équilibre changement de variable :

(

→V

)

=

(

V R

)

∀V

→

, / d

ext r ₀

R

2 2 e tot

t T u

div

f ∂

ρ∂

=

+ r

V r V V

V V

⎮ ∀

⌡

⎮⌠

⌡

⎮⌠

⌡

⌠

∂ ρ∂

⎮ =

⌡

⎮⌠

⌡

⎮⌠

⌡

⌠ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ + d ,

t d u

T div

f ₂

2 e tot

r r

0 T div fe₀ 0

r

r + = ^T=Ttot−T0

2 2

e t

T u div

f ∂

ρ∂

= +

δr r

3 , 2 , 1 i x , T t

u ³

1

j j

j i 2

i 2

∂ =

= ∂

∂

ρ∂ ∑

=

z Report dans l'équation de propagation

∑ ∑= = ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

= ³ ∂

1 i

x 3

1

j j

j i

e i

x T T

div r

or

variation de contrainte autour de la position d'équilibre

e e

e f f

f 0

r r

r = +δ

avec

( )

2

2 e 0

e t

T u T div f f ₀

∂ ρ∂

= + + δ

+ r r

r

→0

2 2

t T u

div ∂

ρ∂

= r

en dehors des sources en présence de sources

et

Equation de propagation (2/3)

C. Potel, Université du Maine 9

z Loi de Hooke T_ij=c_ijklS_kl ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂ +∂

∂

= ∂

k k

k x

u x u 2

S 1 ^l

l

avec l

( )

k ijk k ij k ijk k ijk j

i x

c u 2c 1 x c u 2 1 x c u 2 T 1

∂ + ∂

∂ = + ∂

∂

= ∂ _l ^l _{l l} ^l

l l

=

k ijk j

i x

c u

T ∂

= _l∂ ^l

z Dérivée des contraintes

3 , 2 , 1 i x , T t

u ³

1

j j

j i 2

i 2

∂ =

= ∂

∂

ρ∂ ∑

=

k j 2 ijk j j i

x x c u x T

∂

∂

= ∂

∂

∂ _l

l

z Equation de propagation

3 , 2 , 1 i x , x c u t

u

k j 2 2 ijk

i 2

∂ =

∂

= ∂

∂

ρ∂ _l ^l

Remarque : pas d'hypothèse d'onde plane

Equation de propagation (3/3) Les ondes planes (1/2)

( )

^{r;t fˆ}

(

^{n r c t}

) (

^{gˆn r c t}

)

uˆ_i r = r⋅r− ₀ + r⋅r+ ₀

M O r= r

( )

[

^{c t n r}

]

F κ ₀ −r⋅r

OM0

cos OM M O n r

nr⋅r=r⋅ = θ= z

z

θ →n

→n M₀

M

O →r

→n

x

y z

O R

M

→r

A 1 instant donné, en tout point M tel que constante

r n⋅r= r

la valeur de la variable de champ (grandeur physique) est la même.

Ces points sont situés dans un même plan, appelé plan d'onde (surface d'onde plane), perpendiculaire à la direction de n :^→

Š

Les ondes planes (2/2)

(

^c0^t−ⁿr⋅r^r

)

=^constante

(

^{c t n r}

)

⁰

d ₀ −r⋅r =

c0

t d

r nr⋅dr=

Lorsque le temps varie, suivre une valeur donnée de F

vitesse à laquelle doit se déplacer un point géométrique M pour suivre une valeur donnée de F

Š

c.à.d. soit

si r // n c n

t d

r d

0

r r

→ =

→

→n c₀

c₀ c₀

Les plans d'onde qui véhiculent une valeur donnée de la variable de champ F, se déplacent parallèlement à eux-mêmes dans la direction n qui leur est perpendiculaire, et avec la vitesse de propagation c₀.

→

z Equation de propagation ^{, i 1,2,3}

x x c u t

u

k j 2 2 ijk

i 2

∂ =

∂

= ∂

∂

ρ∂ _l ^l

Solution en ondes planes (1/2)

z Forme de solutions particulières _⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ⋅

−

= V

x t n F V P

r t n F P

u_{i i i} ^{j j}

r r

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

∂ =

∂

V x t n

"

F t P

u _{j j}

2 i i 2

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

∂ =

∂

V x t n ' VF P n x

u _{j j j}

j l l

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛−

−

∂ =

∂

∂

V x t n

"

V F n P n V

x t n

"

V F n V P n x x

u _{j j}

2 k j j j k

j k

j 2

l l

l

(1)

(2)

(3)

(2) et (3) dans (1) , r, t

V x t n

"

V F n P n V c

x t n

"

F

P_i ^{j j} _ijk ^j ₂^{k j j}⎟⎟ ∀ ∀

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

ρ r

l l

l

l P

V n c n P_i= _ijk ^j ₂^k ρ

l

ln n P

c P

V² _i= _{ijk j k} ρ

l

Γi : tenseur de Christoffel

C. Potel, Université du Maine 10