Étude de la propagation des ondes de Lamb dans une plaque fissurée
SEDDIKI Mouna1, DJELOUAH Hakim1
1Laboratoire Physique des Matériaux, Équipe de recherche Physique des Ultrasons
USTHB, Faculté de Physique, BP 32 El Allia, Bab-Ezzouar, Alger, Algérie Résumé—La propagation des ondes de Lamb, dans un guide
d’onde élastique, a été étudiée expérimentalement et numériquement. Ce guide d’onde est une plaque d’acier d’épaisseur e = 1.51 mm. Cette plaque comporte un défaut (une rainure de largeur de 3 mm et d’épaisseur de 0.5 mm) situé à 4 cm par rapport à l’extrémité libre de la plaque. La simulation a été faite en utilisant la méthode des éléments finis sous le logiciel Comsol Multiphysics. Les ondes de Lamb ont été expérimentalement générées par contact au moyen d’un transducteur piézoélectrique monté sur un sabot en plexiglas d’angle fixe. Quant à leur détection, un vibromètre laser a été utilisé. Dans cette étude, nous nous sommes intéressés à l’identification des modes de Lamb propagatifs dans la plaque inspectée. Pour cela, nous avons appliqué différentes méthodes de traitement du signal aux résultats obtenus numériquement : la représentation espace-temps, la transformée de Fourier spatio- temporelle ainsi que la Pseudo-Distribution de Wigner-Ville Lissée. Cette dernière a été également utilisée pour traiter les résultats expérimentaux. L’étude révèle un bon accord entre les résultats numériques et expérimentaux. Nous montrons que la Pseudo-Distribution de Wigner-Ville Lissée est très efficace en terme de détection du défaut existant dans la plaque ainsi que pour l’identification des modes de Lamb multiples résultant de l’interaction de l’onde incidente avec la rainure.
Mots clés—Ondes de Lamb; simulation par éléments finis ; analyse temps-fréquence.
I. INTRODUCTION
L’usage des ondes de Lamb est de plus en plus répandu dans les applications du Contrôle Non Destructif (CND) pour détecter les éventuels défauts existant dans les structures en plaques ou dans les tubes. De par leurs propriétés, ces ondes permettent d’ausculter de telles structures sur de longues distances et de manière plus rapide par rapport aux ondes conventionnelles utilisant des ondes de volume [1-5].
Cependant ces ondes guidées ont la particularité d’être dispersives. Plusieurs modes de Lamb peuvent coexister dans le guide d’onde contrôlé ; ce qui complique l’interprétation des résultats. Pour étudier la dispersion de ces ondes, différentes méthodes de traitement du signal ont été développées par les chercheurs [6-9]. Dans le présent travail, nous proposons d’étudier expérimentalement et numériquement la propagation des ondes de Lamb dans une plaque d’acier comportant une rainure située à 4 cm de l’extrémité libre de la plaque. Les
résultats numériques sont traités par différentes techniques de traitement du signal : la représentation temps-position, la transformée de Fourier spatio-temporelle et la Pseudo- Distribution de Wigner-Ville Lissée (PDWVL). Les résultats expérimentaux, quant à eux, sont interprétés uniquement par la PDWVL.
Le principal objectif de ce travail est de montrer l’aptitude de la Pseudo-Distribution de Wigner Ville Lissée à mettre en évidence l’existence d’un défaut dans la plaque inspectée en séparant l’écho issu de la rainure de celui provenant de l’extrémité libre de la plaque.
II. THEORIE DES ONDES DE LAMB
Les ondes de Lamb sont des perturbations élastiques se propageant dans des plaques lorsque l’épaisseur est du même ordre de grandeur que la longueur d’onde. Ces ondes de plaques sont dispersives [1]. L’équation caractéristique de dispersion s'écrit sous la forme suivant [2] :
Dans cette expression, p et q sont donnés par :
, (2)
où ω est la pulsation, k est le nombre d’onde correspondant au mode recherché, et sont respectivement les vitesses de propagation des ondes longitudinale et transversale dans le matériau. La discrimination entre les modes symétriques et antisymétriques est donnée par le paramètre α. Dans le cas des modes symétriques alors que pour les modes antisymétriques .
La résolution numérique de l’équation (1) par la méthode de Newton-Raphson, nous permet d’obtenir les différentes formes de courbes de dispersion, illustrées sur la figure (1) ci- dessous, dans le cas d’une plaque d’acier d’épaisseur e = 1.51 mm, de masse volumique ρ = 8002 kg/m3 et dont les vitesses
(1)
de propagation des ondes longitudinales et transversales sont respectivement VL=5860m/s et VT=3284 m/s.
Fig.1. Différentes formes des courbes de dispersion des ondes de Lamb dans une plaque d’acier.
III. ETUDE NUMERIQUE
La méthode des éléments finis a été utilisée pour la simulation numérique de la propagation des ondes de Lamb dans une plaque d’acier isotrope, élastique et d’épaisseur e=1.51mm. Le régime transitoire en 2D développé sous le logiciel Comsol Multiphysics a été employé. Pour générer le mode S0, les déplacements théoriques, horizontal u et vertical v, relatifs à ce mode sont introduits sur le bord gauche du guide. Chacune de ces composantes sera traitée, par la suite, par les différentes techniques de traitement du signal proposées. Une excitation quasi harmonique de 8 périodes et de fréquence centrale de 1MHz est appliquée. Deux paramètres numériques doivent être optimisés : le pas temporel Δt utilisé pour la résolution numérique, et la taille Δx des éléments constituant le maillage spatial de la structure à étudier. Dans notre cas, nous avons choisi Δx = 1 mm suivant l’axe Ox et Δt=0.05µs. Ces deux paramètres vérifient largement la condition de Shannon [10].
IV. ETUDE EXPERIMENTALE
L'instrumentation utilisée dans l’étude expérimentale est représentée sur la figure (2).Un transducteur de contact de fréquence centrale 1 MHz (bande utile entre 0.5 MHz et 1.5 MHz) monté sur un coin en plexiglas d’angle θ = 45°, est utilisé pour générer les ondes de Lamb dans le guide étudié.
L’utilisation d’un tel sabot permet une génération sélective ou préférentielle du mode S0 sous incidence oblique. Pour la détection des ondes de Lamb générées, un vibromètre laser est utilisé pour une mesure ponctuelle du déplacement normal sur la surface de la plaque. Le signal détecté est amplifié et transmis à un oscilloscope numérique pour la sauvegarde et l'affichage numérique. Un bus IEEE est employé pour transférer les données à un micro-ordinateur. Les données ainsi
stockées, ont été traitées par la technique de traitement de signal temps-fréquence adoptée dans le cadre du présent travail.
Fig.2. Schéma du dispositif expérimental.
V. TRAITEMENT DU SIGNAL
Nous proposons dans cet article, l’utilisation de trois méthodes de traitement du signal pour étudier la propagation des ondes de Lamb dans un guide d’onde élastique. Les deux premières méthodes proposées, nécessitent un échantillonnage spatial des données traitées. C’est pourquoi, elles ont été appliquées uniquement aux résultats numériques. Cependant la troisième méthode de traitement du signal proposée n’exige pas que les données soient échantillonnées spatialement. Par conséquent, cette dernière a été appliquée sur les résultats obtenus numériquement et expérimentalement.
A.Représentation Temps-Position
Les résultats numériques sont rangés dans une matrice dont les lignes correspondent aux échantillons temporels et les colonnes aux positions de mesures (nœud de la surface du guide d’onde). Chaque élément de cette matrice représente la valeur instantanée du déplacement normal à la surface de la plaque. La représentation de l’amplitude du déplacement en fonction de la position et du temps est nommée représentation
"temps-position", elle est donnée en niveaux de gris. Ce type de représentation permet de suivre qualitativement la propagation des ondes à la surface de la plaque, mais elle ne donne aucune information sur leur composition fréquentielle, ni sur les nombres d’onde des modes de Lamb [11].
B.Transformée de Fourier Spatio-Temporelle (2D-FFT) La transformée de Fourier spatio-temporelle consiste à présenter les ondes de Lamb dans l'espace dual vecteur d’onde-pulsation (kx, ω). Pour effectuer cela, nous faisons subir au signal temporel initial s(x, t) deux transformées de Fourier successives, temporelle puis spatiale. L’expression de la transformée de Fourier spatio-temporelle H (k, f) est donnée par [9] :
0 1 2 3
x 107 0
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
(rad.s-1) kx (m-1)
A0 S0 A1 S1 A2 S2 A3 S3 A4 S4
0 2 4
x 106 0
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
fréquence (Hz) V (m.s-1)
0 2 4
x 106 0
1000 2000 3000 4000 5000
fréquence (Hz) VG (m.s-1)
(3) La transformée de Fourier spatio-temporelle du signal est ensuite représentée dans l’espace tout-fréquence dual de l’espace spatio-temporel.
C. Pseudo-Distribution de Wigner-Ville Lissée (PDWVL) La distribution de Wigner-Ville (DWV) est une technique d'analyse temps-fréquence qui interprète un signal donné dans le plan temps-fréquence de manière synchrone. Cette technique permet d’examiner la variation du contenu fréquentiel en fonction du temps. Le résultat de cette distribution fournit la densité d'énergie des différentes composantes fréquentielles du signal à des instants donnés. En raison de l'existence des termes d’interférence non nuls dans la DWV, nuisibles à l’interprétation des résultats, elle peut être remplacée par la Pseudo distribution de Wigner-Ville Lissée (PDWVL), dans laquelle des fonctions de pondération sont convoluées avec la DWV pour restreindre et diminuer l'effet des termes d'interférence [12]. La PDWVL d’un signal temporel x(t) est donnée par [13]:
I (t, f) = ∫∫ h (τ) g (ζ -t) x (ζ+ τ/2) x* (ζ - τ/2) e-i2Пft dζ dτ (4) où x* est le complexe conjugué de x, h et g sont respectivement les fenêtres de lissage temporelle et fréquentielle.
VI. RESULTATS ET DISCUSSIONS A.Résultats Numériques
Nous avons appliqué les différentes techniques de traitement du signal, décrites précédemment, sur les composantes u et v du vecteur déplacement de particules, selon Ox et Oy respectivement, du mode S0 obtenu numériquement dans le cas d'une plaque d’acier saine (sans défaut). Par la suite, nous avons appliqué la même procédure pour étudier le cas d’une plaque ayant les mêmes caractéristiques mais comportant une rainure située à 4 cm de l’extrémité libre.
Sur les figures (3-a) sont illustrées les représentations des matrices temps-position correspondant aux composantes u (à droite) et v (à gauche) du mode S0 issues de l’étude numérique effectuée sur un guide d’onde sans défaut. Sur ces figures, l’axe des abscisses représente les positions relevées aux différents nœuds du maillage par élément finis, tandis que le temps figure sur l’axe des ordonnées orienté du haut vers le bas. L’intervalle temporel exploité dans cette étude numérique est de 50µs, plage temporelle suffisante pour que l’onde S0 incidente effectue un aller-retour dans la plaque étudiée. Nous observons, sur ces figures, des fronts d’onde parallèles correspondant à la propagation du mode S0 généré et réfléchi à la position x=0.1m qui correspond à l’extrémité libre du guide d’onde simulé. La pente de ces fronts d’onde ne change
pas, ce qui traduit que seul le mode S0 a été généré numériquement.
Sur les figures (3-b) est représentée la 2D-FFT des composantes u (à gauche) et v (à droite) du mode S0 généré numériquement dans une plaque d’acier saine. Le module ǀH(k,f)ǀ est représenté en niveaux de couleur. L’axe des abscisses représente la fréquence, l’axe des ordonnées correspond au nombre d’onde réel kx. Les valeurs positives de ce dernier indiquent une propagation vers les x croissants, tandis que les valeurs négatives indiquent une propagation en sens opposé. Nous avons superposé les courbes de dispersion théorique sur les images obtenues par la 2D-FFT afin d’identifier le mode propagatif qui est dans ce cas-là le mode S0, généré numériquement aux alentours de la fréquence d’excitation de 1MHz.
Les figures (3-c) correspondent à la PDWVL accompagnée du signal temporel et du spectre des composantes u (à gauche) et v (à droite) du mode S0 généré numériquement dans une plaque d’acier saine. L’axe des abscisses indique les fréquences, l’axe des ordonnées indique le temps orienté du haut vers le bas. Les courbes de dispersion de la vitesse de groupe ont été superposées sur ces représentations temps- fréquence pour identifier le mode de Lamb généré qui est encore une fois le mode S0 localisé à la fréquence 1MHz.
L’ensemble des figures (4) correspond aux mêmes traitements précédents sur les résultats issus de l’étude numérique de la propagation du mode S0, mais obtenus cette fois-ci dans une plaque d’acier fissurée.
En comparant les figures (4-a) aux figures (3-a), nous constatons l’apparition de nouveaux fronts d’onde de pente différente par rapport aux fronts d’onde existant déjà sur la représentation temps-position ce qui révèle l’existence d’un deuxième mode de Lamb résultant de l’interaction du mode S0 incident avec la rainure à x =0.04 m. L’utilisation de la 2D- FFT (figure 4-b) et de la PDWVL (figure 4-c) nous ont permis de confirmer cette conversion du mode S0 en mode A0.
Cependant, il est à noter qu’en utilisant la PDWVL, seule la composante verticale (v selon Oy) du mode S0 a mis en évidence l’existence du défaut (apparition d’une tache qui coïncide avec le mode A0). Ceci signifie que cette composante du mode S0 est plus sensible à ce type de défaut ce qui justifie l'utilisation, dans nos expériences, du vibromètre laser qui permet de détecter le déplacement vertical sur la surface du guide d’onde étudié.
B.Résultats Expérimentaux
L’application de la PDWVL sur les résultats expérimentaux obtenus sur une plaque saine et une plaque fissurée montrent que cette méthode est capable de détecter la rainure et elle met en évidence le phénomène de conversion du mode S0 en mode A0 suite à l’interaction du mode incident avec la rainure. Les résultats obtenus expérimentalement sont en bonne corrélation avec les résultats numérique ce qui nous permet de valider notre modèle numérique et d'envisager son utilisation pour l’étude d’autres configurations.
Fig.3: Analyse de la propagation des compposantes u selon Ox (à gauche) et v selon Oz (à droite) du mode S0 dans une plaque d’acier saine: (a) Représentation temps-position, (b) 2DFFT,(c) PDWVL.
Position (m)
Temps(s)
Représentation temps-position de la composante u selon Ox du mode S0
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5 x 10-5
-6 -4 -2 0 2 4 6 x 10-7
Onde Incidente
Onde Réflichie
Position (m)
Temps(s)
Représentation temps-position de la composante v selon Oy du mode S0
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5 x 10-5
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x 10-7
Onde Incidente
Onde Réflichie
Fréquence (Hz)
Nombred'ondekx(m-1)
Double FFT Spatio-temporelle de la composante u selon Ox du mode S0
2 4 6 8 10 12 14 16 18
x 105 -6000
-4000 -2000 0 2000 4000 6000
A0 Réflichi
Mode S0 Réflichi A1 Incident
A1 Réflichi Mode S0 Incident
A0 Incident
Fréquence (Hz)
Nombred'ondekx(m-1)
Double FFT Spatio-temporelle de la composante v selon Oy du mode S0
2 4 6 8 10 12 14 16 18
x 105 -6000
-4000 -2000 0 2000 4000 6000
A0 Incident
A0 Réflichi Mode S0 Incident
Mode S0 Réflichi
A1 Réflichi A1 Incident
-1 -0.5 0 0.5 1
x 10-7 0
0.5
1
1.5
2
2.5 x 10-5
Signal Temporel
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 106 0
0.5 1
TFTemps(s)
Fréquence (Hz)
PDWVL de la composante u selon ox du mode S0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 106 0
0.5
1
1.5
2
2.5 x 10-5
Mode S0
A0
A1
-4 -2 0 2 4
x 10-8 0
0.5
1
1.5
2
2.5 x 10-5
Signal Temporel
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 106 0
0.5 1
Fréquence (Hz)
TFTemps(s)
PDWVL de la composante v selon oy du mode S0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 106 0
0.5
1
1.5
2
2.5 x 10-5
A0
Mode S0
A1
(a)
(b)
(c)
Fig.4: Analyse de la propagation des composantes u selon Ox (à gauche) et v selon Oz (à droite) du mode S0 dans une plaque d’acier fissurée : (a) Représentation temps-position, (b) 2DFFT,(c) PDWVL.
Position (m)
Temps(s)
Représentation temps-position de la composante u selon Ox du mode S0
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5 x 10-5
-6 -4 -2 0 2 4 6 x 10-7
Onde Incidente
Réflexion et conversion de modes par la rainure
Onde Réflichie
Position (m)
Temps(s)
Représentation temps-position de la composante v selon Oy du mode S0
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5 x 10-5
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x 10-7
Onde Incidente
Réflexion et conversion de modes par la rainure
Onde Réflichie
Fréquence (Hz)
Nombred'ondekx(m-1)
Double FFT Spatio-temporelle de la composante u selon Ox du mode S0
2 4 6 8 10 12 14 16 18
x 105 -6000
-4000 -2000 0 2000 4000 6000
Mode S0 Incident
Mode S0 Réflichi A1 Incident
A1 Réflichi A0 Incident
A0 Réflichi
Fréquence (Hz)
Nombred'ondekx(m-1)
Double FFT Spatio-temporelle de la composante v selon Oy du mode S0
2 4 6 8 10 12 14 16 18
x 105 -6000
-4000 -2000 0 2000 4000 6000
Mode S0 Incident
A1 Réflichi A1 Incident
Mode S0 Réflichi A0 Incident
A0 Réflichi
-4 -2 0 2 4
x 10-7 0
1
2
3
4
5 x 10-5
Signal Temporel
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 106 0
0.5 1
TFTemps(s)
Fréquence (Hz)
PDWVL de la composante u selon ox du mode S0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 106 0
1
2
3
4
5 x 10-5
Mode S0
A0
A1
-5 0 5
x 10-8 0
1
2
3
4
5 x 10-5
Signal temporel
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 106 0
0.5 1
TFTemps(s)
Fréquence (Hz)
PDWVL de lacomposante v selon oy du Mode S0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 106 0
1
2
3
4
5 x 10-5
Mode S0
Conversion du mode S0 Incident A1 en Mode A0 (Défaut) Echo provenant
du défaut Mode S0
Incident
Echo provenant de l'extrémité
(a)
(b)
(c)
Fig. 5 : PDWVL des résultats expérimentaux obtenus sur : (a) plaque d’acier saine, (b) plaque d’acier fissurée.
I. CONCLUSION
La propagation du monde S0 de Lamb dans un guide d’ondes élastique en acier comportant une fissure a été étudiée expérimentalement et numériquement. Trois méthodes de traitement du signal ont été proposées pour l’identification des modes de Lamb se propageant dans ce guide. Le phénomène de conversion de mode a été observé lors de l’interaction du mode incident avec la rainure. La combinaison des trois méthodes de traitement du signal utilisées (la Représentation temps-position, la 2D-FFT et la PDWVL) a mis en évidence la grande sensibilité de la composante verticale du mode S0 au type de défaut étudié. Les résultats montrent aussi que la PDWVL permet d'identifier les différents modes en les séparant dans le plan temps-fréquence à partir de très peu de mesures contrairement aux autres techniques de traitement du signal qui nécessitent un échantillonnage spatial pour réaliser une représentation dans l’espace dual ou une représentation temps-position. Ces qualités donnent à cette méthode
d’analyse un potentiel certain pour l’identification des différents modes coexistant dans une plaque résultant d'une conversion de mode en présence d’un défaut dans le milieu de propagation.
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“Time–Frequency Toolbox for MATLAB,” CNRS, France and Rice University, USA, 1998.
-2 0 2
x 10-3 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 x 10-5
Signal Temporel
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 106 0
0.5 1
TF
Fréquence (Hz)
Temps (s)
PDWVL de la propagation du mode S0
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 106 4.5
5 5.5 6 6.5 7 7.5 8
x 10-5
A0
S0
-0.02 0 0.02
2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 x 10-4
Signal Temporel
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 106 0
0.5 1
Fréquence (Hz)
TFTemps (s)
PDWVL
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 106 2
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
x 10-4
Mode S0 Incident
Conversion du Mode S0 en Mode A0 (Défaut)
(a)
(b)
