B´ezier et B-Splines D-IRIS2-05.tex
Utilisation des courbes de B´ ezier et des B-Splines
On consid`ere la demi-droite y =−1 ; x <−1 et la demi-droite y= 1 ; x >1
On veut relier les deux demi-droites par un arc de courbe lisse et tangente en chacune des demi-droites a ses extr´emit´es (voir figure ci-dessous).
x y
−2 −1 O −→
i 2
−1
~j
×P00 × P0
×P1
×P2
×P3
×P30
P00(−2 ; −1) ; P0(−1 ;−1) ; P1(0 ; −1) ; P2(0 ; 1) ; P3(1 ; 1) ; P30(2 ; 1)
On va effectuer cette liaison en utilisant d’abord une courbe de B´ezier de degr´e trois, `a quatre points de contrˆole, puis ensuite, en utilisant deux arcs de courbes B-Splines de degr´e deux contrˆol´es par quatre autres points.
1) Courbe de B´ ezier de degr´ e trois
On consid`ere la courbe de B´ezier de degr´e trois contrˆol´ee par les quatre points suivants : P0 (−1 ; −1) ; P1 (0 ; −1) ; P2 (0 ; 1) ; P3 (1 ; 1)
Cet arc de courbe est d´efini pour t ∈[0; 1] par :
−−→OM (t) =
3
X
k=0
Bk3(t)−−−→ OPk
Dans cette formule, lesBnk sont les n+ 1 polynˆomes de Bernstein de degr´e n d´efini par : Bkn(t) = Cnktk(1−t)n−k 06k 6n
a) Justification du choix des points de contrˆole : La courbe de B´ezier contrˆol´ee par P0P1P2P3 va bien du point P0 au pointP3 et les vecteurs tangents −−→
P0P1 en P0 et −−→
P2P3 en P3 fournissent bien des tangentes horizontales.
♣♦♥
♠ 1 / 4 LATEX 2ε
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b) D´etermination des quatre polynˆomes de Bernstein de degr´e trois :
Bnk(t) = Cnktk(1−t)n−k
B0,3(t) = t0(1−t)3 = 1−3t+ 3t2−t3 B1,3(t) = 3t1(1−t)2 = 3t−6t2+ 3t3 B2,3(t) = 3t2(1−t)1 = 3t2−3t3 B3,3(t) = t3(1−t)0 = t3
c) Equations param´´ etriques de l’arc de courbe de B´ezier :
−−→OM (t) = (1−3t+ 3t2−t3) −1
−1
+ (3t−6t2+ 3t3) 0
−1
+ (3t2−3t3) 0
1
+ (t3) 1
1
−−→OM (t)
x(t) = 2t3−3t2 + 3t−1 y(t) = −4t3+ 6t2−1
t ∈[ 0 ; 1 ]
d) Etude des variations et repr´´ esentation graphique de la courbe :
x0(t) = 3 (2t2−2t+ 1) y0(t) = 12t(1−t)
t 0 1
2 1
x(t) −1 → 0 → 1
x0(t) 3 + 3/2 + 3
y0(t) 0 + 3 + 0
y(t) −1 ↑ 0 ↑ 1
y0(t)
x0(t) ↔ 2 ↔
x y
−2 −1 O −→
i 2
−1
~j
×P00 ×
P0 ×
P1
×P2
×P3
×P30
♣♦♥
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2) Courbes B-Splines de degr´ e deux
On consid`ere les deux arcs B-Splines de degr´e deux contrˆol´es par les quatre points suivant : P00 (−2 ; −1) ; P1 (0 ; −1) ; P2 (0 ; 1) ; P30 (2 ; 1)
Ces deux arcs de B-Splines sont d´efinis pour t∈[ 0 ; 1 ] par :
−−−−−→
OM0(t) = R02(t)−−→
OP00 +R12(t)−−→
OP1 +R22(t)−−→
OP2
−−−−−→
OM1(t) = R02(t)−−→
OP1 +R12(t)−−→
OP2 +R22(t)−−→
OP30
Dans ces formules, les Rkn sont les n+ 1 polynˆomes de Riesenfeld de degr´e n d´efini par : Rkn(t) = (n+ 1)
n−k
X
i=0
(−1)i (t+n−k−i)n
i! (n−i+ 1)! 06k 6n
a) Justification du choix des points de contrˆole : La courbe B-Splines contrˆol´ee par P00P1P2P30 va bien du point P0, milieu de P00P1 au point P3, milieu de P2P30
Les vecteurs tangents−−→
P00P1 enP0 et−−→
P2P30 enP3 fournissent bien des tangentes horizontales.
De plus, les deux arcs de courbe se raccordent en O, milieu de P1P2 et le vecteur tangent commun−−→
P1P1 en O est vertical.
b) D´etermination des trois polynˆomes de Riesenfeld de degr´e deux :
R02(t) = t2−2t+ 1 2
R12(t) = −2t2+ 2t+ 1 2
R22(t) = t2 2
c) Equations param´´ etriques des deux arcs de B-Spline :
−−−→OM0 (t) = t2−2t+ 1 2
−2
−1
+−2t2 + 2t+ 1 2
0
−1
+t2 2
0 1
(C1)
x(t) = −t2+ 2t−1 y(t) = t2−1
−−−→OM1 (t) = t2−2t+ 1 2
0
−1
+−2t2 + 2t+ 1 2
0 1
+t2 2
2 1
(C2)
x(t) = t2 y(t) = 2t−t2
♣♦♥
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d) Etude des variations et repr´´ esentation graphique des deux arcs B-Spline :
(C1)
x(t) = −t2 + 2t−1 y(t) = t2−1
x0(t) = 2 (1−t) y0(t) = 2t
t 0 1
x(t) −1 → 0
x0(t) 2 + 0
y0(t) 0 + 2
y(t) −1 ↑ 0
y0(t)
x0(t) ↔ l
(C2)
x(t) = t2 y(t) = 2t−t2
x0(t) = 2t y0(t) = 2 (1−t)
t 0 1
x(t) 0 → 1
x0(t) 0 + 2 y0(t) 2 + 0
y(t) 0 ↑ 1
y0(t)
x0(t) l ↔
x y
−2 −1 O −→
i 2
−1
~j
C1
C2
×P00 ×
P0 ×
P1
×P2
×P3
×P30
♣♦♥
♠ 4 / 4 LATEX 2ε
