Energétique 2

(1)

I-Energie potentielle E_p

Energétique 2

Pour ces cas, le travail réalisé est indépendant des trajectoires et dépend uniquement des positions initiale et finale des forces encore appelées forces conservatives.

I-1 Energie potentielle de pesanteur

L'énergie potentielle dépend de l'altitude z de l'objet, plus l'objet est haut et plus il y a d'énergie potentielle.

E_P = mgz

E_P1–E_P2= mg (z₁ - z₂)= mgh

(2)

F = charge sur le ressort f = flèche du ressort

Energétique 2

F=k.f

Aire W_1/2

I - 2. Energie potentielle élastique.

Charge sur le ressort : avec : l₀ longueur libre ou longueur au repos ; x longueur du ressort sous charge ; f déformation ou flèche du ressort ; k raideur du ressort.

Travail élémentaire développé par une charge F comprimant le ressort.

Si x₁ – x₂ = dx est très petit, F₁ ≈ F₂ = F varie très peu et le travail élémentaire s'ex prime par : ΔW = F dx = k (l_o - x) dx

Le travail total est donné par :



^ ^ ^

 2 1

12 22 0

2 /

1 ( )

) 2

(l x dx k f f k

W Énergie potentielle du ressort

) (

²

2 1 2 2 1

2

2 f k f

E E E kf

p p p









(E_pen J ; k en N.m ^-1;f en m)

La compression du ressort permet d'accumuler de l'énergie potentielle. Pour les ressorts de torsion : E_p =1/2kα² (α en rad ; k en Nm.rad^-1).

F = kf = (k(l₀-x)

(3)

Energétique 2

II Energie cinétique E_k

On peut considérer l'énergie cinétique comme étant une sorte d'énergie potentielle liée à la vitesse de déplacement.

Plus un solide se déplace rapidement, plus il accumule de l'énergie cinétique.

II – 1 . Solide en translation rectiligne

Tous les points du solide se déplacent à la même vitesse :

...



 V

_G

V

_M

V

L'énergie cinétique d'un solide en translation rectiligneest égale à la moitié du produit de la masse m du solidepar le carré de sa vitesse V.

2

2 1 mV T

E

_k

 

_avec _E

k en J (joules) ; m en kg ; V en m.s^-1 Exemple

Énergie cinétique d'un camion de masse égaleà 14 000 kg roulant à 108 km.h^-¹

V = 108/3,6= 30 m.s ^-1

E_k = 2 x 14000x 30² =6 300 000J

Remarque :si la vitesse du véhicule est divisée par deux (54 km.h^-1), l'énergie cinétique est divisée par 4 (6 300/4 = 1 575 kJ) et inversement. Le travail des freins consiste à absorber de l'énergie cinétique pour ralentir le véhicule. En cas de chocs, l'énergie cinétique accumulée est brutalement convertie en déformations (carrosserie, etc.).

E_k = 6300 kJ

(4)

Energétique 2

II -2. Solide en rotation par rapport à un axe fixe

Pour l'élément M de masse dm dont la vitesse est V_M = ωr, l'énergie cinétique est :

E_i = ½(ωr)² dm = ½ω² r² dm.

Pour l'ensemble du solide : E_k =½ ω ²Σr²dm.

Le terme J = Σr²dm représente le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation (voir cours « moment d'inertie »).

L'énergie cinétique d'un solide en rotation est égale à la moitié du produit du moment d'inertie J du solide (par rapport à son axe de rotation) par le carré

de sa vitesse angulaire ω.

E_k = T = ½Jω² avec E_k en J (joules) ; J en m². kg ; ω en rad.s^-1

Exemple

Déterminons l'énergie cinétique d'un volant de presse cylindrique

(Ø 2m, h= 0,5 m) tournant à 1 000 tr.min^-1 autour de son axe de révolution.

La masse volumique de l'acier est ρ = 7 800 kg.m ^-3.

m = masse du volant = masse volumique x volume.

= ρ x (π R²h) =7800x π x 0,5 = 12 252 kg

kg x m

J mR ² 6126 ².

2 1 12252 2

2

 



 

^kJ

x J

Ek 33590

100030 61262 2 ²

1  ²



 

^E^k^³³⁵⁹⁰^kJ

(5)

Energétique 2

II - 3. Solide en mouvement plan Définition 1

²

G



G

k

T mV J

E 2

1 2

1

₂





E_k (ou T) : énergie cinétique en J (joules)

V_G : vitesse (absolue) du centre de gravité G du solide (m.s ^-1) ω: vitesse angulaire du solide (rad.s^-1)

m : masse du solide (kg)

J_G:moment d'inertie du solide par rapport à un axe perpendiculaire au plan du mouvement et passant par G (m².kg).

Définition 2

²

I



k

T J

E 2

 1



_avec

J

i 

J

_G 

mAG

_²

Le point I est le centre instantané de rotation du mouvement

et J_I le moment d'inertie par rapport à l'axe instantané de rotation (axe passant par I et perpendiculaire au plan du mouvement).

Exemple : prenons le cas d'un disque plein, masse m, rayon R, roulant sans glisser sur un plan horizontal à la vitesse angulaire ω, déterminons son énergie cinétique.

Le mouvement est un mouvement plan de centre instantané de rotation I.

2 mR ² J

R V

G G



 

2 ² ² 2 1

² 2 ²

² 1 1 2

2 1 mV

2

J  m  R mR  E

k



G



G

 

Remarque :

2 ² 1

^I



k

J

E 

4 ² ² 3 m R E

k

 

 ₂ ^² ^²  ^²

2 1 mR mR  E

k

 

 ^²  ^²

2 1 J mIG  E

k



G



4 ² ² 3 m R E

k

 

V

G



(6)

Energétique 2

III- Conservation de l’énergie

L’énergie totale d’un système isolé reste constante.

Un système est isolé si aucune matière, ni rayonnement, ni chaleur ne s’échappe, ni ne rentre.

Il est impossible d’avoir création ou disparition d’énergie.

L’énergie ne peut que se transformer d’une forme en une autre,

se transférer d’un système à un autre ou se stocker.

(7)

Energétique 2

IV- Théorème de l’énergie cinétique

Dans un référentiel galiléen, pour un corps ponctuel de masse m constante parcourant un chemin reliant un point A à un point B, la variation d’énergie cinétique est égale à

la somme des travaux W des forces extérieures et intérieures qui s’exercent sur le solide considéré :

Energétique 2

Energétique 2

Energétique 2

I - 2. Energie potentielle élastique.



) (

²

2

2

f k f

E E E kf









Energétique 2

...





 V

V

V

2 1 mV T

E

 

Energétique 2

kg x m

J mR ² 6126 ².

2 1 12252 2

 



 

 

Energétique 2

²



T mV J

E 2

1 2

1







²



T J

E 2

 1



J

J

mAG

2 mR ² J

R V



 

2 ² ² 2 1

² 2 ²

² 1 1 2

2 1 mV

J  m  R mR  E





 

2 ² 1



J

E 

4 ² ² 3 m R E

 

 2 ² ²  ²

2 1 mR mR  E

 

 ²  ²

2 1 J mIG  E





4 ² ² 3 m R E

 

V

 ₂ ^² ^²  ^²

 ^²  ^²